Probabilités #1 : Le paradoxe de Bertrand, ou les dangers de l’intuition

Drapeau jaune : Cet article demande quelques connaissances mathématiques et un peu d’abstraction pour être entièrement compris


Quitte à parler de probabilités sur ce blog, je pourrais vous assaillir de formules et de définitions toutes plus mystérieuses les unes que les autres. Les plus allergiques fuiraient alors ces pages comme la peste tandis que les sceptiques les observeraient d’un air interrogateur, en se demandant si tout de même, ces matheux n’en feraient pas des caisses pour compter des boules rouges et des boules noires planquées dans une urne.

Après tout, de prime abord, les probabilités forment une discipline accessible, pourvu que l’on sache compter convenablement. Ce n’est pas tout à fait faux, mais pas non plus vrai pour autant. A vrai dire, cette théorie a longtemps souffert d’un manque de rigueur qui aboutissait à des résultats paradoxaux. C’est l’un de ceux-là, nommé le Paradoxe de Bertrand, que je vais présenter aujourd’hui, en espérant convaincre mes curieux lecteurs que les symboles et les théories alambiquées ne sont pas là que pour faire joli.

Le problème

Prenons un cercle, celui qu’il vous plaira de choisir, pourvu que son rayon vaille 1 (donc pas tout à fait comme il vous plaira finalement). 1 cm, 1 dm, 1 km, peu importe, il s’agit simplement là d’avoir la même base pour notre cercle.

Dans ce cercle, choisissons une corde au hasard, c’est-à-dire un segment qui relie deux points appartenant au cercle. La question est la suivante : quelle est la probabilité que la longueur L de cette corde soit supérieure ou égale à \sqrt{3}, c’est-à-dire la longueur du côté d’un triangle équilatéral inscrit dans ce cercle ?

« Solution » numéro 1

Pour prendre une corde au hasard, il suffit de prendre deux points sur le cercle au hasard. Choisissons-en un au hasard, et regardons ce qu’il se passe pour le choix du second.

Paradoxe de Bertrand, méthode 1

Ici, les cordes vertes ont une longueur supérieure à la longueur du côté du triangle en pointillés, alors que les cordes rouges ont une longueur inférieure.

On peut tracer un triangle équilatéral inscrit dans le cercle à partir de notre premier point choisi. On constate facilement que si l’on prend notre deuxième point dans la zone rouge, alors la corde aura une plus petite longueur que celle du côté du triangle. Inversement, en prenant le second point sur l’arc vert, on aura une corde plus longue que le côté du triangle. Finalement, pour que notre corde soit plus longue que le côté du triangle, il faut que notre second point tombe sur l’arc vert, ce qui arrive une fois sur trois.

Ce raisonnement peut être le même quelque soit le premier point choisi. Dans notre cas, on dit que la probabilité que la longueur L de cette corde soit plus grande que la longueur l du triangle est de \frac{1}{3}. On notera aussi \mathbb{P}(L \geq l)=\frac{1}{3}. Seulement, il existe d’autres méthodes pour choisir une corde au hasard, et en voici une deuxième

« Solution » numéro 2

Cette fois, choisissons un rayon de notre cercle, au hasard. Sur ce rayon, prenons un point, lui aussi au hasard. A partir de ce point, on peut construire la corde dont ce point est le milieu.

Paradoxe de Bertrand, méthode 2

Sur le rayon en noir, on choisit un point au hasard. Lorsqu’on choisit le point au-delà du côté en pointillés, alors la corde est pus courte que celui-ci. C’est l’inverse lorsque l’on prend le point avant les pointillés.

Nous allons ici tracer le triangle équilatéral de sorte que l’un de ses côtés soit perpendiculaire au rayon que nous avons choisi. On remarque que le côté et le rayon se coupent en leur milieu. De plus, lorsque l’on prend un point entre le centre du cercle et le point d’intersection du côté et du rayon, on obtient une corde de longueur supérieure à la longueur du côté. Le scénario inverse se produit en prenant le point de l’autre côté de ce point d’intersection.

​Encore une fois, le raisonnement fonctionne pour n’importe quel rayon, et puisque le côté du triangle coupe le rayon en son milieu, cela signifie que dans un cas sur deux, la corde est plus longue que ce côté.  Autrement dit, \mathbb{P}(L \geq l)=\frac{1}{2}. Deux méthodes, deux résultats… et ce n’est pas fini !

« Solution » numéro 3

Invoquons une propriété mathématique et choisissons un point au hasard sur le disque (le cercle et son intérieur). Pourvu qu’on ne choisisse pas le centre du cercle, alors il existe une et une seule corde pour laquelle ce point soit le milieu.

Paradoxe de Bertrand, méthode 3

En choisissant un point au hasard sur le disque, on construit la corde dont ce point est le milieu. Il suffit de choisir notre point à l’intérieur du cercle en pointillé pour obtenir une corde de longueur supérieure à celle du côté du triangle.

 Le résultat est un peu plus compliqué à déterminer dans ce cas, mais pas inaccessible pour autant. Dans mon triangle équilatéral, je peux tracer un cercle dit inscrit dans le triangle : il s’agit du plus grand cercle qui puisse « rentrer » à l’intérieur du triangle. Ce nouveau cercle à le même centre que notre plus grand cercle, mais son rayon est de moitié plus court. Si l’on prend un point à l’intérieur de ce cercle, alors la longueur de la corde sera plus grande que le côté du triangle équilatéral. Et inversement si on le prend à l’extérieur.

Puisque le rayon de ce petit cercle est deux fois plus petit que celui du grand cercle, alors la surface qu’il délimite est non pas deux mais quatre fois plus petite !

Rappel pour ceux qui l’auraient oublié, l’aire A d’un disque est donnée par la formule A = \pi * R * R où R est la longueur du rayon. Le grand disque a donc une aire de \pi * 1 * 1 = \pi et celle du petit disque est de \pi* \frac{1}{2} *\frac{1}{2}= \frac{\pi}{4}.

On a donc 1 chance sur 4 d’avoir une corde plus longue que le côté du triangle, soit \mathbb{P}(L \geq l)=\frac{1}{4}. Et un troisième résultat différent.

Quelle est la bonne solution ?

Puisque l’on a trois résultats différents, il semble invraisemblable que les trois soient justes, et au moins deux sont par conséquent faux. La réponse est un peu plus compliquée que cela, et tient dans le choix « au hasard » de la corde. Dans les trois démonstrations proposées, nous n’avons pas eu recours au même hasard à chaque fois, et cela aboutit à ces probabilités différentes. Elles ne sont pas toutes fausses pour autant, mais elles ne répondent simplement pas à la même question, tout simplement parce que le problème de départ manquait de rigueur.

L’intuition est un précieux allié lorsqu’il s’agit de mathématique. Il ne faut pas non plus perdre de vue qu’elle peut devenir un terrible ennemi, et à plus forte raison en probabilités, où l’on se remet souvent à elle. Dans le but d’éviter ce genre de situations ambiguës, nous avons besoin d’une théorie des probabilités rigoureuse et suffisamment bien ficelée pour ne pas tomber sur ce genre de résultat paradoxal à première vue.

D’ailleurs, il y a de nombreuses choses discutables dans les démonstrations proposées plus haut. Peut-on vraiment choisir comme cela deux points du cercle au hasard ? Si l’arc rouge est deux fois plus grand que l’arc vert, a-t-on vraiment deux fois plus de chance de tomber dans l’arc rouge que dans l’arc vert ? Que fait-on des points d’intersection de ces deux arcs ? Pourquoi oublie-t-on les diamètres dans les méthodes 2 et 3 ?

Nous verrons, dans les prochains articles, comment apporter un peu de rigueur et de discipline pour répondre pas à pas à toutes ces questions qui peuvent se poser.  Rassurez-vous, cela ne veut pas dire que cela signe le début des formules illisibles. La progression se fera pas à pas, en douceur. Il s’agit davantage de comprendre comment peut naître une théorie, et comment elle se formalise.

A bientôt !

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Un commentaire pour Probabilités #1 : Le paradoxe de Bertrand, ou les dangers de l’intuition

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