Pythagore et les pythagoriciens

Drapeau vert : Cet article ne demande aucune connaissance mathématique particulière


Demandez à une personne lambda de vous citer le nom d’un théorème mathématique. Les chances d’entendre le nom du théorème de Pythagore sont non négligeables, et pour cause. Abordé relativement tôt dans la scolarité, ce théorème possède un cadre de départ simple, un énoncé tout ce qu’il y a de plus compréhensible et des applications nombreuses, y compris dans des domaines qui dépassent les mathématiques pures et dures. Pourtant, ce théorème était connu bien avant le VIe siècle avant J.C., période à laquelle Pythagore est supposé avoir vécu. Ce nom ne serait-il alors qu’une ignoble usurpation ? Qui était Pythagore et quel est son apport aux mathématiques d’aujourd’hui ? Attachons-nous plus en détails à l’histoire et la personnalité de ce savant grec qu’est Pythagore. Si le théorème portant son nom sera bien mentionné, il ne s’agit pas d’un article dédié à sa présentation : le théorème de Pythagore fera très certainement l’objet d’un autre billet, un autre jour.

Pythagore peint dans l'école d'Athènes

Pythagore écrivant. Tableau L’école d’Athènes de Raphaël, image provenant de https://www.cineclubdecaen.com/peinture/peintres/raphael/ecoledathenes.htm

Entre mythe et réalité

Les premières biographies de Pythagore ont été rédigées bien après la mort du personnage, et se sont ainsi vu affublées de nombreuses légendes sur le mathématicien et philosophe antique. Lui-même se serait déclaré fils d’Hermès, le messager des dieux, ou réincarnation d’Euphorbe, un héros de la guerre de Troie. D’ailleurs, le nom « Pythagore » signifie étymologiquement « celui qui a été annoncé par la Pythie »,  preuve que l’homme ne pouvait décidément pas être banal. On le dit aussi athlète, médaillé olympique dans toutes les compétitions de pugilat, un ancêtre de la boxe, alors qu’il est seulement âgé de 17 ans. Bref, on en dit beaucoup de choses, sans trop savoir à quel saint se vouer.

La vie de Pythagore, né sur l’île de Samos au VIe siècle avant J.C., est dans un premier temps faite de voyages dans le Monde antique. Voguant en Phénicie (actuelle Syrie), en Thrace, en Crète, en Inde, il suit divers enseignements qui affinent sa pensée, puis revient à Samos où il enseigne en public, sans rencontrer un franc succès. Pythagore aurait alors une cinquantaine d’années.

Son activité d’enseignement coupe court après l’arrivée au pouvoir du tyran Polycrate, et Pythagore fuit (ou est banni de) Samos pour s’installer à Crotone, en Italie. Là, il gagne en influence et commence à rassembler de nombreux adeptes, les pythagoriciens. Cet ordre, aussi qualifié de secte, est davantage philosophique et religieux que scientifique ou mathématique. Il faut dire qu’à cette époque, les disciplines sont étroitement liées. Cette école pythagoricienne est divisée en quatre degrés. Si Pythagore dispense une partie de ses enseignements en public, il en réserve une partie non substantielle aux membres appartenant aux plus hauts degrés de l’échelle pythagoricienne, ceux que l’on nommera alors les acousmaticiens, les auditeurs, et les mathématiciens, ceux qui détiennent le savoir. Les premiers se contentent d’écouter les enseignement de Pythagore, dissimulé derrière un rideau, alors que les derniers sont autorisés à voir Pythagore derrière celui-ci. Ces deux groupes doivent vivre en commun, partager tout ce qui leur appartient.

Ce qui différencie toutefois les mathématiciens des autres élèves de Pythagore, c’est l’art de la démonstration que le savant grec leur inculque. Contrairement aux acousmaticiens, pour qui les choses ne sont qu’énoncées, les mathématiciens sont ainsi formés à l’art de la preuve et du raisonnement.

Le mot « mathématicien » ne revêt donc pas le sens que nous lui donnons aujourd’hui. Les connaissances que partage Pythagore sont aussi bien scientifiques que philosophiques ou religieuses. Ainsi, Pythagore commande à ses disciples d’honorer les dieux quotidiennement, de porter des vêtements sacrés faits de lin, ou encore, est un partisan de la métempsycose, autrement dit, de la réincarnation de l’âme dans un nouveau corps, y compris celui d’un animal. C’est une des raisons pour laquelle Pythagore prône le végétarisme, par crainte de manger un animal dont l’âme habitait autrefois le corps d’un être humain. Le régime pythagoricien, très strict, est ainsi composé de légumes, crus de préférence, mais pas de fèves : les farceuses ont trop tendance à donner des flatulences pour faire office de repas. Par ailleurs, leur forme rappelle trop les parties génitales pour être mangées.

Outre ces préoccupations religieuses et diététiques, le nombre occupe également une place centrale dans la doctrine pythagoricienne.

Tout est nombre

Cette phrase pourrait faire office de credo pour Pythagore et ses disciples, qui décelaient un certain mysticisme dans l’arithmétique. Tout dans la nature peut se ramener à un nombre. Le 10 est ainsi élevé au rang de nombre sacré, symbole de la Fraternité Pythagoricienne. Il peut également être dessiné sous la forme d’un triangle, comme les nombres 3 ou 6. 4 et 9, eux, prennent l’apparence de carré, 5 et 12 sont des pentagones, etc. Pythagore marie ainsi l’arithmétique, l’étude des nombres, à la géométrie, l’étude des formes. Quant au 0, son existence est tout simplement ignorée, voire refusée. L’argument est simple : puisque qu’on ne peut pas dessiner de carré dont l’aire vaut 0, alors ce nombre est vide de sens.

 

Pythagore représentait les nombres sous la forme de polygone. Par exemple, le 10 était représenté par un triangle, le 12 par un pentagone et le 9 par un carré.

Le nombre se trouve également dans l’astronomie : à l’époque, Pythagore savait déjà que la Terre n’était pas plate, mais bel et bien sphérique. Pythagore aurait également identifié l’étoile du matin et l’étoile du soir comme étant une seule et même entité, la planète Vénus.

Le nombre se voit aussi dans la musique : il est possible d’établir une relation entre la longueur d’une corde que l’on fait vibrer et la hauteur du son qu’elle émet. Quarte, quinte, octave, tout n’est que nombre ici. Bref, pour résumer, le nombre est divin, le nombre est partout. Les choses, les objets sont des nombres. La justice porte le chiffre 4, le mariage est représenté par le chiffre 5, le chiffre nuptial.

Il est toutefois hors de question de parler d’irrationnel ! Pour Pythagore, pour tout nombre, il existe un système d’unité tel que ce nombre puisse s’écrire comme entier. En d’autres termes, tout nombre est une fraction, un quotient de deux nombres entiers, et rien d’autres. Et c’est là que vient le drame.

Les troubles du Théorème de Pythagore

Tablette Plimpton 322

La tablette Plimpton 322, datée de -1800, présente déjà des triplets pythagoriciens

Voilà, on y vient. Le théorème de Pythagore, si je vous demandais de me le citer, j’obtiendrais des réponses qui ressemblent à cela :

Dans un triangle rectangle, le carré de la longueur de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés.

Ce théorème était connu, au moins en partie, bien avant l’époque de Pythagore, puisque des tablettes comportant des triplets pythagoriciens – des nombres entiers a, b et c tels que a2 + b2 = c2 – ont été retrouvées et datées de 1800 avant notre ère. Quant à la démonstration originale, est-elle réellement l’oeuvre de Pythagore ? Il est impossible de l’affirmer avec certitude. Dans ses Eléments, Euclide propose bien une démonstration de ce théorème, mais sans jamais donner le nom de Pythagore : le théorème et sa réciproque sont tout simplement nommés Proposition 47 et Proposition 48 et se trouve à la toute fin du livre d’Euclide.

A l’époque de Pythagore, ce théorème va pourtant semer la confusion parmi les disciples Pythagoriciens : considérons un carré qui fait un pas de côté, quelle est la longueur de sa diagonale ?

Diagonale du carré de côté 1

Quelle est la longueur de la diagonale de ce carré ABDC de côté 1 ?

Si on se place dans le triangle ABC, rectangle en A, on peut appliquer le théorème de Pythagore : AB2 + AC2 = BC2, autrement dit, BC2=2. Seulement, quel est le nombre – positif, évidemment puisqu’il s’agit de longueur – dont le carré vaut 2 ? L’école pythagoricienne dans ses fondements affirme que tout est nombre, et que ce nombre dont le carré vaut 2 doit forcément s’écrire sous la forme d’une fraction.

Or, ce résultat va être contredit. La démonstration que le nombre dont le carré vaut 2 est irrationnel est attribué à Hippase de Métaponte, un fervent admirateur de Pythagore lui-même, mathématicien au sein de son école. Le raisonnement est on ne peut plus simple : si l’on suppose que ce nombre peut s’écrire sous la forme d’une fraction, alors prenons-en une forme irréductible, une fraction qui ne peut pas être simplifiée. Par quelques opérations basiques, on est capable de montrer que le numérateur et le dénominateur de cette fraction sont tous les deux paires, et donc divisibles par 2, ce qui est absurde puisque l’on a supposé notre fraction irréductible. C’est donc que l’hypothèse de départ est fausse, et que ce nombre inconnu dont le carré vaut 2 ne peut pas être écrit sous la forme d’une fraction.

Cette découverte jette le trouble sur l’école pythagoricienne. Toutes leurs croyances s’effondrent alors : il existe des grandeurs que l’on nomme alors incommensurables. On raconte qu’Hippase de Métaponte aurait été exilé ou noyé par ses condisciples après avoir partagé ses découvertes à des non initiés. D’autres plus fantaisistes, prétendent que de vagues de suicide collectif auraient décimé les rangs des pythagoriciens. Toujours est-il que l’existence des irrationnels jette un froid parmi les disciples de Pythagore.

La fin des pythagoriciens

Au cours de sa vie, Pythagore ne s’est pas fait que des amis. Un homme nommé Cylon de Crotone souhaite en effet de se venger de lui, puisque le savant ne l’avait pas jugé apte à suivre ses enseignements. Et le gouverneur Cylon a la dent dure : il fait incendier la maison où se réunissent les pythagoriciens et dont seulement trois réchappent. Malgré des tentatives désespérées de relancer le mouvement, les pythagoriciens s’effacent peu à peu.

Certains disent que Pythagore aurait péri dans l’incendie de cette maison, d’autres racontent que, fuyant les Syracusiens, il se serait trouvé face à un champ de fèves, encore elles. Incapable de remettre ses croyances en cause, Pythagore aurait alors refusé de traverser ce champ tabou, préférant mourir sous les lames ennemies. A-t-on toutefois besoin de rappeler que les biographies de Pythagore apparaissent plusieurs siècles après sa mort ? Il ne serait pas surprenant que leurs auteurs ne se soient pas contentés d’une mort banale pour un homme de la trempe de Pythagore de Samos.

Les références

  • Jamblique, Vie de Pythagore
  • Biographie de Pythagore par Diogène Laërce

Ces textes peuvent être retrouvés pour tout ou en partie dans le livre The Complete Pythagoras de Kenneth S. Guthrie

  • Euclide, Eléments

 

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