Probabilités #2 : Lancer de dés et loi uniforme

Univers et événements

Dans le dernier article sur les probabilités, nous avons vu que l’intuition pouvait se révéler trompeuse lorsqu’il s’agissait de mathématiques. Ici nous allons voir comment il est possible de formaliser les probabilités en utilisant une expérience tout à fait banale : celle d’un lancer de dé à 6 faces, numérotées de 1 à 6.

L’expérience aléatoire dont il est question ici est une expérience que vous avec probablement tous fait au moins une fois dans votre vie : on jette le dé, sans se soucier de la force du lancer, de la longueur de la table ou de la force du vent, puis on regarde le chiffre qui est affiché sur le haut de notre cube. Celui-ci peut bien évidemment prendre toutes les valeurs entières de 1 à 6 inclus. On dit que ces valeurs forment l’univers de notre expérience aléatoire. On le note généralement \Omega, et dans notre cas, \Omega = {1,2,3,4,5,6}.

Avant de lancer notre dé, on peut très bien parier sur l’issue de notre lancer de dés. Est-ce que l’on obtiendra un 6 ? Un 3 ? On peut aussi supposer que le résultat sera un chiffre pair, un chiffre entre 2 et 5, un nombre premier, etc… Ces suppositions ou ces paris portent le nom d’événements. Ce sont des sous-ensembles de l’univers \Omega.

Certains événements particuliers ne comptent qu’un seul élément : c’est le cas quand on parie que le dé tombera sur le 6 ou le 3. On dit alors que ces événements sont élémentaires. Pour un dé, la probabilité de chacun de ces éléments est égale à \frac{1}{6}, puisque notre dé possède 6 faces :  on a une chance sur six de sortir le chiffre 6, etc…

A partir de là, notre probabilité est entièrement déterminée. Quelle est la probabilité de tomber sur un chiffre pair ? C’est la probabilité de tomber sur 2, 4 ou 6. Puisqu’on ne peut pas tomber à la fois sur 2 et 4, 4 et 6, ou 2 et 6, alors c’est aussi la somme des probabilités de tomber sur 2, sur 4, ou sur 6, c’est-à-dire \frac{1}{6} +\frac{1}{6} +\frac{1}{6} = \frac{1}{2}

Quelle que soit l’événement que l’on choisit, il suffit de la décomposer en événements élémentaires et d’ajouter les probabilités de ces événements élémentaires. Et voilà, dans notre cas où l’univers n’est pas très compliqué, définir les probabilités des événements élémentaires sert à définir toutes les probabilités possibles pour notre expérience du lancer de dé : c’est ce que l’on appelle une loi de probabilité. En l’occurrence, la probabilité que nous avons défini s’appelle la loi uniforme sur \Omega.

Loi uniforme

La loi uniforme sur un univers qui comporte un nombre fini d’éléments est très simple à appréhender : chaque élément de l’univers a la même probabilité de sortir. Dans le cas de notre lancer de dé, chaque face avait ainsi une chance sur 6 d’être dévoilé, mais si nous lancions un dé à 20 faces, alors chaque face aurait eu une chance sur 20 de sortir, et ainsi de suite.

Si l’on prend un événement, peu importe lequel, alors il suffit de compter le nombre de cas qui permettent de réaliser cet événement, et diviser ce nombre par tous les cas possibles, et on obtient alors la probabilité de cet événement.

Par exemple, pour un dé à 20 faces, pour obtenir un nombre premier, il faut que le dé tombe sur la face 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 ou 19. Il y en a 8, sur 20 nombres possibles, la probabilité d’obtenir un nombre premier en lançant un dé à 20 faces est donc de \frac{8}{20}.

Somme de lois uniformes

Qu’arrive-t-il alors si on tire deux dés deux fois de suite, sans lien entre ces dés, et que l’on fait la somme obtenue par chaque dé ?

On peut donner un nouvel univers pour cette seconde expérience, qui est cette fois-ci \Omega_2 = {2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}, qui comporte 11 éléments. En effet, il est impossible d’obtenir 1 en lançant deux dés et en faisant la somme de leurs résultats. On pourrait rajouter 1 dans l’univers en précisant que sa probabilité vaut 0, mais autant alléger d’emblée les notations.

Alors, est-ce que la loi de la somme est aussi une loi uniforme ? Regardons les cas possibles.

Dé 1  1  2  3  4  5  6
Dé 2
 1  2  3  4  5  6  7
 2  3  4  5  6  7  8
 3  4  5  6  7  8  9
 4  5  6  7  8  9  10
 5  6  7  8  9  10  11
 6  7  8  9  10  11  12

On remarque que le chiffre 7 apparaît 6 fois, alors que les chiffres 2 ou 12 n’apparaissent qu’une fois. De plus, il n’y a pas 12 mais 36 possibilités de combinaisons des dés 1 et 2. La probabilité d’obtenir un 7 est ainsi de \frac{6}{36}. Cette probabilité est différente de \frac{1}{11}, qui serait la probabilité obtenue si on avait une loi uniforme sur le nouvel univers, puisqu’on cherche un événement élémentaire. De plus, la probabilité d’obtenir 1 ou 12 est de \frac{1}{36}. C’est donc une probabilité différente de celle d’obtenir un 7.

Finalement, on conclut que, si l’on fait deux expériences aléatoires qui suivent une même loi uniforme et qui sont indépendantes (le résultat de la première n’influe pas sur celui de la deuxième, et inversement), puis si l’on fait la somme des deux résultats obtenus, on n’obtient pas forcément une loi uniforme.

C’est un phénomène qu’on a pu observer avec le paradoxe de Bertrand : même si l’univers est un peu plus compliqué, on a à chaque fois utilisé des lois uniformes, mais avons abouti à des résultats différents.

Le dé à 6 faces pour n’importe quelle loi uniforme

Visiblement, faire une somme n’est pas une bonne idée pour obtenir une loi uniforme avec deux dés. Est-il alors possible de trouver un procédé qui permette tout de même d’obtenir une loi uniforme avec deux lancers ? Et plus généralement, si je n’ai que des dés à six faces, est-il possible de trouver une expérience aléatoire qui suive une loi uniforme sur les entiers de 1 à 20, les entiers de 3 à 15, etc.

La réponse est oui, il suffit d’utiliser un tableau de correspondance. Voici un exemple de tableau que l’on pourrait utiliser pour avoir une loi uniforme sur les entiers de 1 à 10 :

Dé 1 Dé 2 Correspondance
 1  1  1
 2  2  2
 3  3  3
 4  4  4
 5  5  5
 6  6  6
 1  2  7
 3  4  8
 5  6  9
 6  5  10

Par exemple, si en lançant nos deux dés, le premier tombe sur le chiffre 1 et le second tombe sur le chiffre 2, alors on dira que le résultat de notre expérience est 7. Si on obtient une combinaison qui n’est pas dans la liste, alors on recommence notre lancer de dés jusqu’à obtenir une combinaison qui apparaît dans le tableau. On appelle cela la méthode d’acceptation-rejet : on continue notre lancer de dés jusqu’à avoir un résultat valable, même si cela peut prendre un certain temps. Remarquez que l’ordre dans lequel je lance mes dés est important ici, contrairement à l’expérience ou je fais la somme : obtenir un 5 puis un 6 ne donne pas le même résultat que sortir un 6 puis un 5.

Pour établir un tel tableau, il y a deux règles à suivre :

  • Une combinaison ne doit pas apparaître en double dans le tableau
  • Tous les chiffres doivent être représentés par le même nombre de combinaison.

Avec deux dés, il y a un total de 36 combinaisons possibles. Pour avoir une loi uniforme entre 1 et 10, j’aurais également pu donner 3 combinaisons différentes à chaque chiffre, et cela fonctionnerait. En revanche, si je donne 4 combinaisons à un chiffre, alors ça ne fonctionne plus : ce chiffre aura plus de chance d’être obtenu que les autres, ce qui n’est pas le principe de la loi uniforme.

En bref, la loi uniforme est une loi de probabilité simple à comprendre : on peut la voir comme un lancer de dés, ou comme un tirage au hasard d’une boule dans une urne caché. Elle reste toutefois à manipuler avec précaution : combiner des lois uniformes ne fournit pas nécessairement une nouvelle loi uniforme !

Il existe d’autres lois qui sont également simple à appréhender, car elles se situent dans un univers qui ne compte qu’un nombre fini d’éléments. Mais avant de les voir, nous (ré)-apprendrons d’abord à compter dans le prochaine article !

A bientôt !

 

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