Achille, la tortue et les séries

A l’image de Pythagore et de ce nombre mystérieux dont le carré vaut deux, d’autres personnalités du Monde antique ont été troublées, perturbées par des situations contre nature dont on peut facilement s’extirper grâce à nos mathématiques modernes. Par exemple, Zénon d’Elée, un philosophe du Ve siècle avant J.C., serait à l’origine de plusieurs paradoxes qui ont pris son nom depuis. Il existe désormais des explications claires des phénomènes observés, si bien que ces paradoxes n’en méritent guère le nom. Cependant, à une époque où mathématiques et philosophie étaient encore entremêlées, ces observations avaient de quoi troubler l’intuition. Encore de nos jours, il se pourrait que les énoncés qui suivent vous fassent douter, vous fasse crier « Mais ce n’est pas logique » alors même que vous ne parvenez à déterminer pourquoi. Décortiquons ensemble l’un de ces paradoxes mettant en scène Achille et… une tortue !

Achille et la tortue

Achille, un héros grec antique, décide de faire la course avec une tortue qui n’avait pourtant rien demandé de particulier – allez savoir, les grecs ont parfois de drôles d’idée. Bon joueur, il laisse toutefois un bon kilomètre d’avance à l’animal. Après tout, Achille court deux fois plus vite que la tortue, il n’aura donc aucun mal à la rattraper.

Achille court donc et termine le premier kilomètre. Seulement, pendant ce temps, la tortue a également bien avancé. En effet, puisqu’elle court deux fois moins vite qu’Achille, elle aura eu le temps de parcourir 500 mètres avant que celui-ci n’arrive au point de départ de la tortue.

Qu’à cela ne tienne. Achille continue la course et parcourt les 500 mètres que la tortue lui a pris. Oui mais voilà, en attendant, la tortue a encore avancé de 250 mètres. Achille ne se démonte pas, et rattrape ses nouveaux 250 mètres de retard. Pendant ce temps, la tortue en reprend 125… Et ainsi de suite. Achille ne rattrapera-t-il donc jamais la tortue ?

Achille et la tortue

Achille rattrapera-t-il la tortue un jour ?

Cela semble aberrant : Achille va deux fois plus vite que la tortue, pourquoi n’est-il pas capable de passer devant ? Si nous prenons le problème dans l’autre sens, la tortue fait un kilomètre et pendant ce temps, Achille en parcourt deux et passe devant à partir de cet instant.

Pour résoudre ce mystère, on peut alors se pencher sur l’avance que peut avoir la tortue après un certain nombre d’étapes. Au début de la course, elle possède 1 kilomètre, puis 500 mètres, puis 250 mètres, 125, 62.5, et ainsi de suite : son avance est divisée par 2 à chaque fois et s’approche de plus en plus de 0. Après 10 de ces étapes, l’avance de la tortue est de moins d’un mètre, et elle continue ainsi de diminuer, sans pour autant atteindre 0.

Une somme infinie, un résultat fini

Calculons la distance parcourue par exemple par Achille, en supposant qu’il ne rattrape jamais la tortue. Achille parcourt d’abord 1 kilomètre, puis 500 mètres, puis 250 mètres, et ainsi de suite. On pourrait se dire qu’à force de rajouter des termes positifs, on peut atteindre des nombres aussi grands que l’on veut. Pourtant, il n’en est rien !

Réécrivons ces distances sous la forme de fractions. La première, 1 kilomètre, vaut 1. La deuxième, 500 mètres, peut aussi être convertie en 0.5 kilomètre, c’est-à-dire 1/2 kilomètre. De la même manière, 250 mètres s’écrit 1/4 = 1/(2×2) = 1/22 kilomètre. On peut continuer avec 125 mètres qui est égal à 1/8 = 1/(2x2x2) = 1/23 kilomètre, et ainsi de suite.

La distance totale en kilomètre parcourue par Achille est donc 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 +…. C’est ce qu’on appelle une série géométrique : le terme suivant de l’addition est égal au terme précédent multiplié par un nombre que l’on nomme la raison, et qui ici, vaut 1/2.

On peut calculer ses valeurs successives :

  • Après la première étape, Achille a parcouru 1 kilomètre.
  • A la deuxième, Achille a parcouru 1 + 1/2 = 3/2 = 1.5 kilomètre
  • A la troisième étape, il est à 1 + 1/2 + 1/4 = 1.75 kilomètre
  • Et ainsi de suite, 1.875, 1.9375, 1.96875, 1.984375…

Il semblerait qu’en calculant de cette façon, la distance parcourue par Achille ne dépasse pas 2 kilomètres. Et en effet, si l’on additionne les termes de cette série géométrique jusqu’à l’infini, on obtiendra alors 2. En d’autres termes, Achille ne dépasse pas la tortue avant d’atteindre les 2 kilomètres de course, une situation logique vues les conditions initiales de notre problème. En revanche, ce calcul ne dit rien sur ce qu’il pourra se passer par la suite.

Seulement, la notion d’infini n’était pas encore bien définie chez les grecs, et on la retrouve à plusieurs endroits dans ce paradoxe. D’abord, il faut faire une somme d’une infinité de termes pour obtenir ce résultat, et de plus, il faut se rendre compte qu’un tel calcul aboutit à un résultat tout ce qu’il y a de plus fini. Ensuite, on peut également remarquer que les écarts successifs entre les positions d’Achille et de la tortue diminuent à grande vitesse. Après une infinité d’étapes, cet écart sera alors égal à 0. Mais à l’époque grecque, le 0 n’était pas encore considéré comme un nombre à part entière, et on se refusait de l’utiliser dans les calculs mathématiques. Enfin, peut-on véritablement aller aussi loin que l’on veut dans l’infiniment petit ? Existe-t-il des unités de taille indivisibles, impossibles à fractionner ? Si oui, alors il est impossible de découper notre course en une inifinité d’étapes, ce qui met notre raisonnement en défaut.

Par ailleurs, même s’il y a une infinité d’étapes, Achille ne met pas un temps fini à les réaliser. Plutôt que de calculer la somme des distances parcourues, il suffit d’utiliser les temps mis pour chacune de ces distances, et l’on trouvera alors un temps fini pour parcourir cette distance de deux kilomètres

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