Mathématiques et clé de contrôle

Drapeau vert : Cet article ne demande aucune connaissance mathématique particulière

<hr /Faisons une expérience : saisissez un livre près de vous et regardez ce que l'on appelle son numéro ISBN, normalement situé au dos, au-dessus du code-barre.

Numéro ISBN à 10 chiffres

Les numéros ISBN qui nous intéressent sont ceux qui comportent 10 chiffres, comme celui de l’image ci-dessus. Un conseil, cherchez plutôt dans vos livres plus anciens pour en trouver, les plus récents portant généralement un numéro à 13 chiffres.

L’opération à faire est très simple : prenez le premier chiffre, et multipliez-le par 1. Prenez le deuxième chiffre et multipliez-le par 2, multipliez ensuite le troisième chiffre par 3 et ainsi de suite jusqu’au dixième (si celui-ci est en fait un X, considérez plutôt qu’il vaut 10), puis ajoutez tous les nombres que vous obtenez. Si possible, faites-le sans erreur de calcul, sans quoi tous mes efforts de présentation seraient ruinés et je vous en voudrais beaucoup.

C’est ici que la magie s’opère : le nombre que vous obtenez est un multiple de 11 !

Magique ? Absolument pas… Mathématique !

Décortiquons l’ISBN

L’ISBN ou International Standard Book Number permet d’identifier de manière unique un livre et son édition, peu importe son support. Ce numéro est constitué de quatre codes de longueur variable qui, dans l’ordre, désignent une langue ou un pays, un éditeur, un numéro d’ordre chez cet éditeur et enfin, un dernier chiffre, celui qui nous intéresse ici, la clé de contrôle.

A vrai dire, si le petit tour proposé en introduction fonctionne, c’est justement parce que cette clé de contrôle a été construite de cette manière. Prenons par exemple le code à 9 chiffres 388053101, et appliquons-lui le petit procédé utilisé plus haut

3 x 1 + 8 x 2 + 8 x 3 + 0 x 4 + 5 x 5 + 3 x 6 + 1 x 7 + 0 x 8 + 1 x 9 = 102

Il faut alors trouver un nombre a tel que 102 + 10a soit un multiple de 11, et il s’avère que la seule possibilité est 3, 132 étant en effet égal à 11 x 12. Nous retrouvons bien le 3 qui apparaît sur le code de l’image. Un tel nombre a est toujours unique, bien défini entre 0 et 10 inclus.

Pour s’en convaincre, on peut par exemple remarquer que retirer ou ajouter un multiple de 11 à un autre multiple de 11 donne un nouveau multiple de 11. Ainsi, parmi les nombres 102 – a et 102 + 10a, si l’un des deux est multiple de 11, l’autre l’est forcément, puisque la différence entre les deux vaut 11a. Or, si l’on regarde le nombre 102 et ses 10 prédécesseurs, il en existe un et un seul qui soit un multiple de 11 (en l’occurence, 99, qui est égal à 102 – 3, et on retrouve de nouveau notre 3).

Des clés de contrôle

Ce chiffre de fin, que l’on appelle clé de contrôle permet de déterminer si un numéro ISBN donné est valide ou non. Si l’opération que nous avons utilisée conduit à un nombre qui n’est pas un multiple de 11, alors la clé est invalide : il peut y avoir eu une erreur dans la saisie de ce code, dans son entrée dans la base de données, et ainsi de suite…

Ici, nous avons pris l’exemple des numéros ISBN à 10 chiffres, mais il existe évidemment une autre clé pour les numéro ISBN à 13 chiffres, un peu plus compliquée toutefois.

ISBN à 13 chiffres

Certains codes ISBN comportent 13 chiffres

Pour obtenir le treizième chiffre de ces codes, il faut appliquer un schéma un peu différent. Prenez le premier chiffre, ajoutez trois fois le deuxième, puis une fois le troisième, puis trois fois le quatrième, et ainsi de suite jusqu’au douzième : si le terme est à une position impaire, on ajoute une fois ce chiffre, et si c’est une position paire, on l’ajoute trois fois. Voici l’opération à faire pour le code ci-dessus.

9 + 7 x 3 + 9 + 3 x 3 + 4 + 5 x 3 + 6 + 7 x 3 + 8 + 9 x 3 + 0 + 1 x 3 = 132

La clé de contrôle sera le chiffre à ajouter pour obtenir un multiple de 10, soit 8 ici. Il suffit en effet de prendre le dernier chiffre de cette somme et de le soustraire à 10.

Les clés de contrôle ne servent toutefois pas que dans les livres : elles figurent également sur votre IBAN ou votre numéro de sécurité sociale. De cette manière, et sans même devoir se connecter à la base de données regroupant tous les IBAN ou les numéros de sécurité sociale, avec un simple petit algorithme, un ordinateur est capable de vous dire si vous avez fait une erreur en entrant votre numéro.

Carte vitale

Les clés de contrôle figurent également dans les numéros de sécurité sociale

Pour le NIR, autrement appelé numéro de sécurité sociale, il faut par exemple prendre les 13 premiers chiffres, qui forment ainsi un nombre. Faites alors la division euclidienne de ce nombre par 97, et conservez le reste. Votre clé de contrôle est la différence entre 97 et ce reste. Par exemple, si vos treize premiers chiffres sont 2 29 05 49 588 157 :

  • 2290549588157 = 23613913279 x 97 + 94
  • 97 – 97 = 3, la clé est donc 03
  • Sur l’image, on s’aperçoit que les deux derniers nombres sont 80  : ce numéro de sécurité sociale est donc invalide.

A vous de faire l’expérience !

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