Savez-vous compter les choux ? (A la mode de Peano)

Les entiers naturels, on sait d’où ça vient, mais qu’est-ce que c’est vraiment ? Facile me direz-vous, c’est 0, 1, 2, 3 et ainsi de suite… C’est un nombre positif qui n’a pas de chiffre après la virgule, c’est une quantité qui sert à compter des objets, des animaux.

Tout ça, c’est bien beau, mais ce n’est pas une construction très « mathématique » : cette définition, si on peut la qualifier ainsi, est trop dépendante de la réalité, et on ne saurait s’en satisfaire pour établir des démonstrations, des théorèmes… Avec notre définition intuitive, nous avons des idées de ce que peuvent être l’addition, des diviseurs, des nombres premiers. Pour ceux-ci d’ailleurs, nous pouvons même affirmer qu’il en existe une infinité ! Mais l’intuition ne suffit pas. Pire, elle est parfois trompeuse ! En axiomatisant (correctement) – c’est-à-dire, en précisant certaines propriétés qui seront les bases de toute notre théorie -, nous pouvons rigoureusement nous assurer de l’exactitude de notre raisonnement, ou au contraire, l’infirmer.

Toutefois, on n’axiomatise pas en partant de nulle part. Gardons à l’esprit ce que sont les entiers naturels intuitivement, et voyons pas à pas comment procéder pour construire un ensemble qui ressemble à celui-ci en partant de rien. C’est la démarche entreprise par Peano et Dedekind (mais on ne retient bien souvent que le premier) que je vous propose d’explorer.

Peano

Giuseppe Peano

Note : Dans les lignes qui suivent, les éléments en vert sont des propriétés que nous observons sur l’ensemble intuitif des entiers naturels. Ce sont ces propriétés que nous allons essayer de « décalquer » pour créer notre nouvel ensemble.

Premiers éléments

Partir de rien, c’est bien, mais on ne peut pas aller très loin. Pour l’ensemble des entiers naturels que nous essayons de construire, nous allons nous autoriser une toute petite folie, et supposer qu’il en existe en effet un. Cela sera notre premier axiome.

Il existe un entier naturel, que l’on notera 0

Pourquoi 0 ? Eh bien, pourquoi pas ! Il est important d’emblée remarquer une chose : le 0 que nous utilisons n’est qu’une notation. Il ne s’agit pas du 0 dont nous avons l’habitude, mais d’un objet quelconque que nous avons décidé de baptiser 0 comme nous aurions pu décider de l’appeler 4, π, Banane ou Δ. Seulement, pour éviter de trop s’embrouiller l’esprit avec des symboles, nous partons d’une notation que nous connaissons bien.

Alors, maintenant que nous avons notre premier entier, revenons à nos entiers intuitifs. Après 0, nous avons 1. Après 1, nous avons 2, puis 3, puis 4, et ainsi de suite. Bref, dans le monde que nous connaissons bien, pour chaque entier, nous sommes capables de donner celui qui vient après, autrement dit son successeur. Vous serez peut-être tentés de dire qu’il suffit d’ajouter 1 à chaque fois, mais n’oubliez pas que le 0 que nous avons construit n’est pas celui que nous connaissons, et que de toute manière, nous n’avons pas encore construit l’addition, ni même le nombre 1. Gardons cette idée de successeur toutefois, elle sera notre deuxième axiome.

Pour tout entier naturel n, il existe un unique successeur, que l’on notera S(n)

Reprenons alors : nous avons 0, puis nous avons son successeur, S(0), puis le successeur de ce successeur, S(S(0)), puis le successeur de ce successeur… Vous comprendrez bien vite que la notation va vite devenir très compliqué, alors nous allons réécrire ces nombres : plutôt que S(0), nous écrirons 1. Plutôt que S(S(0)), nous noterons 2. Encore une fois, les nombres ne sont que des notations, des objets sans signification concrète !

Alors, à ce stade, on peut se demander si on n’aurait pas fini. Nous avons 0, nous avons tous ses successeurs, autant dire que nous avons tous les entiers naturels.

En réalité, nous n’avons réalisé qu’une partie du travail : intuitivement, on sent que l’ensemble des entiers naturels est contenu dans ce que nous avons défini. Mais il existe des ensembles beaucoup plus grands qui vérifient ces deux seuls axiomes ! Il va falloir limiter notre champ d’action en construisant d’autres propriétés pour ces entiers.

Affiner les propriétés

A quoi pourrait ressembler un tel ensemble avec ces deux petites propriétés seulement ? A beaucoup de choses ! Donnons-nous une représentation visuelle pour commencer et voir quels cas il nous faut éliminer :

Plusieurs configurations convenables

Aucune de ces constructions ne vient contredire nos deux premiers axiomes

Ici, un entier, désigné par un point, dirige vers son unique successeur, qu’il désigne d’une flèche. Naturellement, les ensembles continuent à l’infini sur la droite pour les trois premiers d’entre eux.

Notez par ailleurs que j’ai représenté les points avec une distance égale entre chacun d’eux, mais il faut savoir s’en extirper : à aucun moment nous n’avons parler d’un quelconque écart, d’une différence, d’une somme… Le tout est de faciliter la présentation.

Ce que nous souhaitons obtenir, c’est la première configuration, il nous faut alors déterminer ce qu’il manque à notre théorie pour qu’il ne reste que celle-ci. Analysons donc notre ensemble intuitif des entiers.

Nous savons pour chaque nombre désigner un successeur. Nous savons également désigner un prédécesseur, le nombre qui vient avant un entier donné. Et si nous savons le faire, c’est bien parce que nous n’en connaissons qu’un dans notre ensemble intuitif : il suffit de retirer 1.

Enfin, ça, nous savons le faire pour tous les entiers, sauf pour 0, qui lui n’a pas de prédécesseur, et c’est d’ailleurs le seul entier naturel dans ce cas. Nous tenons donc là deux nouveaux axiomes à ajouter à notre collection, en les reformulant légèrement.

  • Aucun entier naturel n’admet 0 pour successeur
  • Si deux entiers naturels ont le même successeur, alors ces deux entiers sont égaux.

Cela revient à dire la même chose que précédemment, sans devoir définir ce qu’est un prédécesseur. Avec cette collection d’axiomes, nous avons donc presque fini. Presque seulement ? Oui, car il reste un cas que nous n’avons pas décelé, c’est celui des branches parallèles qui peuvent exister.

Branches parallèles

Rien n’exclut pour le moment les branches parallèles…

L’ensemble décrit ici respecte bien nos quatre axiomes. On pourrait par ailleurs faire plusieurs branches parallèles et même les prolonger à gauche, de sorte que dire que « 0 est le seul entier naturel qui ne soit pas le successeur d’un entier naturel » ne suffise pas à arranger notre théorie.

Le principe de récurrence

Nous touchons au but, c’est certain, mais il nous manque encore un petit rien pour éliminer ces branches parallèles qui nous embêtent. L’idée est bien sûr de dire qu’il ne peut y avoir qu’une seule branche, mais comment définir ce mot « branche » ?

C’est là que va intervenir le dernier axiome de Peano

Si un ensemble contient 0 et est stable par l’opérateur de succession S, alors cet ensemble est l’ensemble des entiers naturels.

Que signifie cette phrase ? Elle veut dire que si un ensemble qui vérifie une certaine propriété contient 0 – initialisation -, et que si la propriété est vraie pour un certain entier naturel, elle l’est aussi pour son successeur – hérédité -, alors cet ensemble est l’ensemble des entiers naturels.

C’est tout le principe des démonstrations par récurrence qui se trouve en fait dans ce dernier axiome et qui nous permet de conclure : notre « demi-droite » est la seule candidate en lice – ou, en fait, l’ensemble des entiers naturels est l’intersection de tous les ensembles qui étaient encore candidats, et qui contenaient tous forcément cet ensemble des entiers naturels.

Nous pouvons légitimement nous demander si nous avons le droit de faire cela. La réponse est évidemment oui, mais cet axiome présente une subtilité, puisqu’il ne s’agit pas d’un axiome sur les entiers, mais d’un axiome sur les ensembles d’axiome. Cela ne nous empêchera pas pour autant de faire de l’arithmétique avec notre nouvel ensemble !.. Enfin, en définissant des opérations dessus, mais ce sera pour plus tard !

Résumons

L’ensemble des entiers naturels peut être déterminé par les cinq axiomes suivants, appelés axiomes de Peano ou axiomes de Peano-Dedekind :

  1. Il existe un entier naturel, que l’on notera 0
  2. Pour tout entier naturel n, il existe un unique successeur, que l’on notera S(n)
  3. Aucun entier naturel n’admet 0 pour successeur
  4. Si deux entiers naturels ont le même successeur, alors ces deux entiers sont égaux.
  5. Si un ensemble contient 0 et est stable par l’opérateur de succession S, alors cet ensemble est l’ensemble des entiers naturels.
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2 commentaires pour Savez-vous compter les choux ? (A la mode de Peano)

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