Des entiers persistants

Drapeau jaune : Cet article demande quelques connaissances mathématiques et un peu d’abstraction pour être entièrement compris


On peut faire subir tout un tas de choses différentes à un entier : le multiplier par un autre, l’élever à une certaine puissance, le décomposer en facteurs premiers, et ainsi de suite.

Si vous avez quelques souvenirs de vos premières années de scolarité, peut-être vous souvenez-vous de ce procédé pour déterminer si un nombre était ou non un multiple de 9 : il suffisait d’additionner tous ses chiffres pour obtenir un nouveau nombre, et recommencer jusqu’à tomber sur un nombre à 1 chiffre. Si c’était 9, gagné, le nombre de départ était un multiple de 9.

Par exemple, pour 63954, nous obtenons :

6 + 3 + 9 + 5 + 4 = 27 ; 2 + 7 = 9

Il fallait assez peu d’étapes pour en arriver là, 3 au plus avec les nombres que nous avons l’habitude de manipuler. Ce nombre d’étapes, de calculs avant d’arriver à un nombre à 1 chiffre s’appelle la persistance additive. Pour 63954, cette persistance vaut 2, puisque nous avons eu deux étapes.

Notons d’abord que ce procédé a toujours une fin : si on considère un nombre à c chiffres, alors la somme de ses chiffres vaut au plus 9c, qui est plus petite que le nombre lui-même : on obtient une suite d’entiers positifs décroissante, qui atteindra donc forcément un nombre à un chiffre.

Cela dit, il est possible d’obtenir des persistances additives aussi grandes que l’on veut.

Raisonnons à l’envers : si je souhaite obtenir le nombre 2 à la fin, quel nombre précédent puis-je choisir ? Nous pouvons prendre par exemple,  puisque 1 + 1 = 2. Quel nombre peut alors donner 11 lorsque l’on additionne ses chiffres ? Tout simplement le nombre 11111111111, composé de 11 fois le chiffre 1. Et ainsi de suite, le nombre composé de 11111111111 fois le chiffre 1 permettra d’atteindre le nombre 11111111111, qui atteint 11, qui donne finalement 2.

Et l’on peut ainsi empiler les étages, jusqu’à atteindre le persistance additive que l’on souhaite. Et si, plutôt que d’additionner les chiffres, nous les multipliions ?

La persistance multiplicative

Reprenons notre nombre 63954, et multiplions tous ces chiffres

6 x 3 x 9 x 5 x 4 = 3240 ; 3 x 2 x 4 x 0 = 0

Il nous a fallu deux étapes avant d’arriver à un nombre à 1 chiffre : la persistance multiplicative de 63954 est donc 2.

Il est possible de démonter que la persistance multiplicative de tout nombre est finie : quel que soit le nombre choisi au départ, nous arrivons forcément à un nombre à 1 chiffre.

En effet, si l’on choisit un nombre qui comporte au moins deux chiffres dont le premier chiffre p est différent de 0, et si l’on suppose que le nombre comporte c chiffres, alors notre nombre est plus grand que p.10c-1, un p suivi de c-1 zéros derrière. Par exemple, 4215 est plus grand que 4000, 78042 est plus grand que 70000 et ainsi de suite.

Dans le même temps, tous les chiffres qui suivent le premier chiffre p valent au maximum 9. Si l’on multiplie tous les chiffres de notre nombre de départ,
nous aurons au maximum p.9c – 1, qui est donc un nombre strictement plus petit que celui de départ. Nous sommes donc en train de construire une suite d’entiers naturels strictement décroissante : elle atteindra forcément un nombre à 1 chiffre.

Pour n’importe quel nombre, nous pouvons donc obtenir une persistance multiplicative finie. La question que l’ on peut se poser est la suivante : étant donnée une persistance, est-il possible de trouver un nombre ayant cette persistance multiplicative ?

Une persistance maximale ?

La réponse est loin d’être évidente… A ce jour, les persistances trouvées ne dépassent pas 11 !

Plus petits nombres pour une persistance multiplicative donnée

Persistance Nombre
1 10
2 25
3 39
4 77
5 679
6 6788
7 68889
8 2677889
9 26888999
10 3778888999
11 277777788888899
12 ?

De très grands nombres ont été testés pour trouver une persistance multiplicative supérieure à 11, sans succès. Serait-ce la persistance maximale ?

Plutôt que de chercher un nombre totalement au hasard, nous pouvons faire plusieurs remarques

  • Si le nombre possède le chiffre 0, alors sa persistance est de 1, puisque le nombre suivant sera 0.
  • Si le nombre possède le chiffre 1, le retirer ne changer rien à sa persistance
  • Si le nombre possède le chiffre 5 et un chiffre pair, alors sa persistance est au maximum de 2 : en effet, le nombre suivant dans la suite est un multiple de 10, qui se termine par conséquent par un 0.
  • Puisque l’on peut multiplier les chiffres dans n’importe quel sens sans changer le résultat, l’ordre des chiffres n’a aucune importance dans la persistance d’un nombre
  • Il est possible de remplacer le chiffre 4 par 22, le chiffre 8 par 222, le chiffre 6 par 23 et le chiffre 9 par 33 sans changer la persistance du nombre

Ainsi, sans oublier de nombre, on peut se contenter de regarder ceux qui ne contiennent que les chiffres 2, 3, et 7 ou les chiffres 3, 5 et 7 en ordre croissant. C’est ce qui a été fait par Mark Diamond, qui a analysé les nombres qui contenaient jusqu’à 1000 fois le chiffre 2 ou 5, 1000 fois le chiffre 3, et 1000 fois le chiffre 7, sans trouver un nombre dont la persistance multiplicative soit supérieur à 11.

Pour aller plus loin

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