Plimpton 322 et la trigonométrie

Drapeau jaune : Cet article demande quelques connaissances mathématiques et un peu d’abstraction pour être entièrement compris


La trigonométrie est l’étude des mesures des longueurs des côtés et des angles dans un triangle. Son « invention » est souvent attribuée à Hipparque qui, grâce à ses tables de cordes, a établi un lien entre l’angle ayant pour sommet le centre d’un cercle et la longueur de la corde que cet angle produit. Ses mesures ont notamment servi à calculer des distances astronomiques, comme celle entre la Terre et la Lune, et ont été réutilisées par Ptolémée dans son Almageste.

Corde

Hipparque établit un lien entre la mesure de l’angle vert et la longueur de la corde rouge.

Seulement, un article publié ce 24 août et traitant de la fameuse tablette Plimpton 322, datée entre -1900 et -1600, semble confirmer des origines bien plus anciennes à la trigonométrie : celle-ci serait, dans un certain sens, déjà connu des Babyloniens, près de 1500 ans avant les Grecs.

Système sexagésimal

Avant de s’intéresser à la tablette, revenons sur l’écriture des nombres babyloniens. Là où nous comptons par 10, ce que l’on nomme système décimal, les babyloniens comptaient eux par 60, ce que l’on appelle une base sexagésimale. Cette base, nous l’utilisons encore de nos jours pour les unités de temps (1 minute = 60 seconde, 1 heure = 60 minutes), mais aussi pour les mesures des angles en degré.

En effet, l’angle au sommet d’un triangle équilatéral (aux trois côtés de longueurs égales) vaut 60° et un tour complet du cercle fait un angle de 6 x 60 = 360°.

L’avantage du nombre 60 comparé à notre nombre 10, c’est son nombre de diviseurs. 60 est en effet divisible par 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 et 60, soit 12 diviseurs. Tout nombre inférieur à 60 aura forcément moins de diviseurs : 60 est un nombre que l’on qualifie de « fortement composé« .

Ainsi, il est possible d’exprimer davantage de fraction en « soixantièmes » qu’en « dixièmes ». Par exemple, la fraction 1/3 ne peut pas être exprimée de manière exacte avec un dénominateur qui soit une puissance de 10. En revanche, 1/3 = 20/60, 20 soixantièmes. D’ailleurs, le tiers d’une heure vaut 20 minutes.

Pour exprimer leurs nombres, les babyloniens les regroupaient donc en « tas » qui formaient les « soixantaines » et les « soixantièmes ». Oui, car aussi pratique que soit la base 60, les babyloniens n’avaient pas – au moins durant un temps – de moyen de déterminer où commençait un nombre.

Ainsi, la suite 1.30.15 pouvait désigner le nombre 1 x 60 + 30 + 15/60 ou 1 x 60 x 60 + 30 x 60 + 15 ou 1 + 30 / 60 + 15 / (60 x 60). Il fallait s’adapter au contexte. Il est toutefois commun, de nos jours, de signaler la séparations entre les soixantièmes et les soixantaines par un point-virgule.

Ainsi, 1;30.15 vaut 1 + 30/60 + 15/(60 x 60), alors que 1.30;15 vaut 1 x 60 + 30 + 15/60.

Plimpton 322

Pimpton 322

Tablette Pimpton 322

Ceci étant dit, intéressons-nous de plus près à notre tablette Plimpton 322. Sur cette tablette, nous distinguons 4 colonnes, souvent appelées I’, II’, III’ et IV’ chacune composées de 15 lignes remplies de nombres inscrits en base 60.

Les légendes au-dessus de la tablette signifient, respectivement pour chaque colonne :

  • Le carré de la diagonale, duquel 1 est soustrait, et dont la largeur est issue
  • Largeur
  • Diagonale
  • Ligne

Pour la première colonne, le lien peut être fait avec les triangles rectangles et le théorème de Pythagore, la diagonale n’étant rien d’autre que l’hypoténuse, le côte opposé à l’angle droit dans un triangle rectangle.

Ce terme « diagonale » nous indique d’ailleurs que les babyloniens raisonnaient davantage en terme de rectangle (le triangle étant la moitié d’un de ceux-ci) que de cercle et d’angle, approche utilisée notamment par Hipparque.

On se retrouve en fait dans cette configuration :

rectangle

Prenons ainsi la sixième ligne de la tablette de Plimpton :

1;47.06.41.40 | 5.19 | 8.01 | 6

Le premier nombre est donc 1;47.06.41.40. La racine carré de ce nombre vaut, toujours en sexagésimal, 1;20.10. Si l’on enlève 1 à 1;.47.06.41.40, on trouve 0;47.06.41.40, dont la racine carrée vaut 0;53.10.

On obtient donc (0;53.10)² + 1² = (1;20.10)², un « triplet pythagoricien », et on note parfois ce triplet (0;53.10, 1, 1;20.10).

Par ailleurs, si l’on divise 0;53.10 et 1;20.10 par 10, nous obtenons 0;5.19 et 0;8.01, qui sont les deuxièmes et troisièmes termes de la ligne ! Il s’agit en fait d’éliminer certains facteurs communs à nos deux longueurs.

Tous les calculs ont été fait via l’outil MesoCalc.

Colonnes manquantes et trigonométrie

Toutefois, il a été prouvé que cette tablette contenait (ou devait contenir) 6 colonnes et 38 lignes. Joran Friberg a supposé que les colonnes manquantes devaient contenir les largeurs et diagonales de notre rectangle unitaire (avec un côté de longueur 1).

Ainsi, la sixième ligne complète de cette table serait vraisemblablement :

0;53.10 | 1;20.10 | 1;47.06.41.40 | 0;5.19 | 0;8.01 | 6

où l’on retrouve dans les deux premières colonnes (nommées I et II) les deux grandeurs que nous avons calculés précédemment.

Or, rappelez-vous de vos sinus et cosinus, de la célèbre règle du SOHCAHTOA (ou CAHSOHTOA, c’est selon…). Dans un triangle rectangle, le sinus d’un angle (qui n’est pas l’angle droit) est le rapport entre la longueur du côté opposé à l’angle et l’hypothénuse. Pour le cosinus, c’est la même chose avec le côté adjacent.

Ici, les deux premières colonnes nous donnent les longueurs de deux côtés de ce triangle, dont on sait que le troisième a une longueur de 1. Plutôt que de considérer 0;53.10, on s’intéresse à 0;53.10 divisé par 1, on a donc un rapport entre deux longueurs dans un triangle rectangle, similaire à nos outils trigonométriques modernes.

En fait, le premier nombre de cette colonne peut être interprété, non pas comme une longueur, mais plutôt comme le rapport entre les longueurs des deux côtés qui soutiennent l’angle droit. Si le grand côté à une longueur l, alors le triangle ayant pour longueur de côtés l, 0;53.10 x l et 1;20.10 x l est rectangle.

La tablette de Plimpton pourrait donc être interprétée comme une table des sinus et cosinus, bien que les notions d’angle n’existaient pas vraiment à cette époque ?

Il semblerait en tout cas qu’elle permette de résoudre certains problèmes géométriques, dont voici un exemple, tiré de l’article de Mansfield et Wildberger :

On suppose que le petit côté d’un rectangle mesure b = 10 et que le grand côté mesure l = 40. Quelle est la mesure d de sa diagonale ?

Il faut donc trouver le nombre d tel que (10, 40, d) soit un triplet pythagoricien. On peut alors diviser toutes ces quantités par 40, et on se retrouve ainsi avec le triplet (0;15, 1, d/40) : c’est exactement la configuration de notre tablette !

On cherche ainsi dans la première colonne le nombre qui se rapproche le plus de la première valeur, et en l’occurrence, c’est 0; 14.57.45, à la trentième ligne. On regarde alors la deuxième colonne, qui vaut 1; 01.50.15 : c’est donc la valeur de d/40.

Pour retrouver notre diagonale d, il faut donc multiplier par 40 ; on obtient d=41; 13.30, ce qui vaut 41,225 en notation décimale

En utilisant nos techniques modernes, comme le fameux théorème de Pythagore, on peut établir que d2 = b2 + l2 = 402 + 102 = 1700. Ainsi, d = √1700 qui vaut environ 41,231. Autant dire que l’erreur est faible.

Alors, cette tablette était-elle utilisée pour ce genre de problèmes ? A vrai dire, rien ne l’indique explicitement, comme l’indique les auteurs. Mais si cela s’avérait, il pourrait bien s’agir là des plus anciennes traces de trigonométrie de l’histoire humaine. D’autres tablettes n’ont pas fini de parler !

Compléments

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2 commentaires pour Plimpton 322 et la trigonométrie

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