De la Terre à la Lune

Drapeau jaune : Cet article demande quelques connaissances mathématiques et un peu d’abstraction pour être entièrement compris


Très récemment, un article laissait entendre, par une étude de la tablette babylonienne Plimpton 322 et de ses consœurs, que la trigonométrie était plus ancienne que ce que l’on croyait. Réalité frappante ou simple coup médiatique, il est sans doute trop tôt pour le déterminer, alors revenons plutôt en Grèce, au IIe siècle avant notre ère.

A cette époque, les Grecs savaient déjà beaucoup de choses sur notre Univers. Il était par exemple établi que la Terre était sphérique, et l’on disposait alors de certaines mesures de sa circonférence et de son rayon – plutôt bonne si l’on croit Eratosthène, deux fois trop grande si l’on se fie à celle, plus ancienne, d’Aristote. Bon, ils pensaient aussi qu’elle était au centre de l’Univers, mais c’est une autre histoire.

Terre et Lune

A Nicée, un savant grec nommé Hipparque se met alors en tête de mesurer la distance qui sépare la Terre de la Lune, et utilisera pour cela un outil d’une puissance remarquable : la trigonométrie.

La table des cordes

Hipparque est souvent considéré comme le fondateur de la trigonométrie grâce à la table des cordes que le savant a établie. Étant donné un cercle ayant un angle en son centre, Hipparque établit un lien entre la valeur de cet angle et la longueur de la corde que cet angle intercepte

Corde

Hipparque établit un lien entre la mesure de l’angle vert et la longueur de la corde rouge.

Dans notre notation moderne, en supposant que le rayon du cercle vaille 1, nous pourrions écrire la relation entre la longueur L de la corde et la valeur A de l’angle comme étant :

Relation Angle-Corde

Cette table des cordes d’Hipparque a été perdue, mais elle est reprise par Ptolémée dans son Almageste.

La distance de la Terre à la Lune

Passons donc à la pratique. Selon les reconstitutions des historiens d’après l’Almageste, Hipparque aurait pu utiliser un schéma semblable à celui-ci :

Schéma d'Hipparque

La Lune se déplace sur un cercle centré en C, le centre de la Terre, et de rayon CL, qui est la distance entre la Terre et la Lune qu’Hipparque cherche à calculer.

Hipparque suppose que le triangle CTL est rectangle en T – ce qui n’est pas une mauvaise approximation. Grâce à cette supposition, il est possible d’obtenir CT en fonction de l’angle γ et du rayon de la Terre CT :

C’est ici qu’intervient la trigonométrie développée par Hipparque.

Le rayon de la Terre CT a été déterminé grâce à Eratosthène. Reste alors à déterminer la valeur de cet angle γ. Pour cela, il faut déterminer la valeur des trois autres angles α, β et δ.

Le calcul des angles

L’angle α correspond au diamètre angulaire apparent du Soleil, c’est à dire l’angle minimal qui permet à quelqu’un sur Terre de voir le Soleil en entier – à ne pas faire directement !

Hipparque suppose par ailleurs que le Soleil est suffisamment loin de la Terre et que ses rayons progressent en ligne droite, délimitant ainsi un cône d’ombre, en gris sur la figure : tout ce qui passe dans ce cône n’est pas éclairé directement par le Soleil.

C’est grâce aux éclipses de Lune qu’Hipparque pourra déterminer la valeur de l’angle δ : en effet, une éclipse de Lune correspond au passage de la Lune dans ce cône d’ombre. Or, Hipparque remarque que :

  • Une éclipse de Lune ne dure jamais plus de 2h30, soit 2.5 heures
  • La Lune met 708 heures (29.5 jours) à faire le tour de la Terre

Ainsi, puisqu’un tour complet de la Terre vaut 360°, l’angle δ se calcule donc grâce à une simple règle de proportionnalité : δ = 360 * 2.5 / 708 ce qui vaut environ 1.27°

Ne manque alors que l’angle β. Là encore, Hipparque supposera que, le Soleil étant suffisamment loin de la Terre, cet angle peut être évalué à 90° (et encore une fois, l’approximation est plutôt bonne !)

Si l’on regarde maintenant le demi-cercle supérieur de centre C, on obtient alors facilement l’égalité δ/2 + γ + β + α/2 = 180°, soit γ = 180 – 0.5/2 – 90 – 1.27/2 et donc γ vaut environ 89.115°

Proche de la réalité ?

Avec cet angle γ, on obtient cos( γ) ≈ 0.015, et par conséquent, la distance Terre-Lune CL vaut CT / cos( γ), soit environ 64.74 CT

En utilisant le rayon trouvé par Eratosthène, nous trouvons que la distance Terre-Lune vaut environ 412148 kilomètres. En réalité, celle-ci vaut en moyenne 384400 kilomètres.

L’erreur d’Hipparque est d’environ 7%, ce qui semble ridicule vue la simplicité de la méthode utilisée !

Hipparque

Portrait d’Hipparque

Pour compléter

  • Le Traité d’Aristarque de Samos sur les grandeurs et les distances du Soleil et de la Lune : Aristarque a essayé calculer les distances qui séparent la Terre de la Lune environ un siècle avant Hipparque, sans trigonométrie. Ses résultats sont bien moins précis que celui de son confrère, en plus d’être difficiles à digérer.
  • Un blog d’astronomie qui retrace l’histoire de ces calculs de distances de l’antiquité jusqu’à aujourd’hui.
  • La mesure de la circonférence de la Terre par Eratosthène, sur le blog de Science étonnante, ou en vidéo chez e-penser
  • Des précisions sur l’Almageste de Ptolémée, et sur le même site, sur Hipparque de Nicée lui-même.

 

 

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