Petite histoire des nombres rationnels

Les nombres rationnels – que certains connaissent sous la forme de fractions – désignent le résultat de la division, du quotient de deux nombres entiers. A ce titre, les nombres entiers sont évidemment eux-même des nombres rationnels, puisqu’ils sont par exemple le résultat d’une division par 1.

Cela dit, certaines divisions ne « tombent pas juste ». Il est, par exemple, impossible de répartir équitablement 100 personnes dans 3 salles différentes. Alors, comment doit-on considérer le résultat de cette opération, 100/3 ? Est-ce vraiment un nombre ?

Egypte antique

Le concept de nombres rationnels a mis du temps à se développer, à se former. Parfois, seul un nombre très restreint de fractions était considéré, suivant les civilisations. Comme pour les nombres entiers, c’est en Mésopotamie et en Egypte antique qu’il faut se rendre pour trouver les premières traces de ces objets mathématiques.

Babylone

L’avantage de 60, base utilisée par les babylonniens par rapport à 10 – notre base usuelle de numération – provient de son nombre de diviseurs. En effet, 60 est divisible par 30, 20, 15, 12, 10, 6, 5, 4, 3, 2 et 1. Ainsi, pour représenter une fraction de valeur 1/3, on peut utiliser 20/60. Il est en revanche impossible de représenter cette fraction comme le quotient d’un entier et d’une puissance de 10.

Seulement, les babylonniens qui écrivent les nombres entiers avec des clous et des chevrons utilisent la même notation pour représenter leurs fractions, de quoi rajouter encore à l’ambiguïté.

Ainsi, qui désignait 1, ou 60, ou 3600 peut désormais désigner les fractions 1/60, 1/3600, et ainsi de suite. De même le symbole < qui était utilisé pour les dizaines apparait également dans la notation des fractions, et désigne 10/60 ou 10/3600 par exemple.

Par exemple, le nombre ▼ << ▼▼▼▼ <<<<< ▼ < peut être regroupé en plusieurs paquets ayant pour valeur 1, 24, 51 et 10. Et il est impossible de savoir où commence ou finit l’entier. Comment distinguer la bonne écriture parmi les suivantes ?

1 + 24/60 + 51/(60 x 60) + 10/ (60 x 60 x 60) ;
1 x 60 x 60 + 24 x 60 + 51 + 10/60 ;
1 x 60 x 60 x 60 + 24 x 60 x 60 + 51 x 60 + 10 ;

 

En l’occurrence, il s’agissait de la première possibilité. En faisant le calcul, on trouve alors 1.414213, ce qui est une approximation de la valeur √2 . Mais sans contexte ni signe distinctif, il est impossible de favoriser l’une ou l’autre. Fort heureusement, les égyptiens ont eu la bonne idée d’utiliser une telle marque.


En Egypte

La légende de l’oeil oudjat

L’oeil d’Oudjat peut être décomposé en plusieurs morceaux, chacun représentant une fraction

Afin de venger l’assassinat de son père Osiris, le dieu à tête de faucon Horus s’attaque à son oncle Seth. Durant leur affrontement, Seth parvient à arracher un oeil à son neveu, et découpe cet oeil en six morceaux avant de le jeter dans le Nil.

Ces fragments sont ensuite repêchés par Thot qui peut rassembler l’oeil oudjat et le rendre à son propriétaire. Les parties de cet oeil recomposé auraient pu être utilisées par les égyptiens en tant que fractions ayant pour dénonimateur 64.

 

Hiéroglyphe Valeur
1/2 = 32/64
1/4 = 16/64
1/8 = 8/64
1/16 = 4/64
1/32 = 2/64
1/64

Tableau et images issus de la page Wikipedia

La somme de ces fractions ne fait pourtant pas 1 : il semblerait que Thot ait conservé un morceau de l’oeil qu’il confient aux scribes sous sa protection, une manière de transmetre son savoir divin à ses disciples. Cette thèse de l’utilisation des parties de l’oeil oudjat pour faire des comptes n’est pas communément admise au sein même de la communauté historienne. En revanche, on sait avec certitude que les égyptiens avaient d’autres moyens pour exprimer les fractions.

Les fractions égyptiennes

Comme pour les entiers naturels, les égyptiens utilisent une écriture en hiéroglyphe pour les fractions, mais attention ! Seules les fractions unitaires, ainsi que la fraction 2/3 sont alors utilisées. Toute autre fraction, comme par exemple 5/7 devait être décomposé en somme de fractions unitaires distinctes. Par exemple :

3/4 = 1/2 + 1/4 ; 2/5 = 1/5 + 1/6 + 1/30 ; 3/5 = 1/2 + 1/10

Ces fractions étaient alors représentés à l’aide du symbole suivant, placé au-dessus du dénominateur :

Cette décomposition en fraction unitaire n’est pas forcément commode pour les calculs. Regardez par exemple les décompositions de 2/5 et de 3/5, difficile de se rendre compte au premier coup d’oeil que leur somme vaut 1.

Par ailleurs, une telle décomposition est rendue compliquée par le fait de ne pas pouvoir utiliser deux fois la même fraction unitaire dans lé décomposition. On ne peut donc pas utiliser 2/5 = 1/5 + 1/5 par exemple.

Le papyrus Rhind renferme d’ailleurs une « table de 2 » qui est un recueil de plusieurs décompositions des fractions de type 2/n .

Chez les Romains

Le système utilisé chez les Romains se rapproche de celui des Babyloniens, mais en base 12. L’unité, appelée as, était divisée en douze onces. Pour autant, ils n’utilisaient pas la fraction 1/12 ou ses multiples : les Romains donnaient des noms à chaque subdivision de l’unité, ce qui n’arrangeait pas vraiment leurs calculs.

Valeur Onces Dénomination Ecriture
1/12 1 Uncia (once)
2/12, soit 1/6 2 Sextans ••
3/12, soit 1/4 3 Quadrans •••
4/12, soit 1/3 4 Trians ••••
5/12 5 Quincux •••••
6/12, soit 1/2 6 Semis S
7/12 7 Septunx S•
8/12, soit 2/3 8 Bes S••
9/12, soit 3/4 9 Dodrans S•••
10/12, soit 5/6 10 Dextans S••••
11/12 11 Deunx S•••••
12/12, soit 1 12 As I

Le S de l’écriture est l’abréviation du mot latin Semis, qui signifie moitié. On remarque par ailleurs certains noms comme le quadrans pour le quart, ou le trians pour le tiers, qui traduisent bien la fraction simplifiée, et non la valeur en douzièmes de la fraction.

D’autres noms apparaissaient également, comme la sescuncia, qui désignait une once et demie, soit la fraction 3/24, simplifiable en 1/8.

En Grèce

Pour leurs entiers, les Grecs utilisaient des lettres, et cela ne changera pas pour les fractions. Cependant, contrairement aux Egyptiens, les Grecs vont considérer toutes les fractions possibles.

En effet, les grecs ont une conception géométrique des nombres, ce qui les pousse à interpréter les fractions comme des rapports de longueur ou de surface sur une figure.

Contrairement à notre époque, les fractions n’ont pas une valeur de nombre à part entière. Par exemple, la fraction 3/2 est vu comme le rapport d’une longueur 3 sur une longueur de 2, mais n’est pas considérée comme le nombre 1.5 comme nous aimerions le dire.

Pour noter les fractions unitaires, celles qui s’écriraient de nos jours avec un 1 au numérateur, les Grecs plaçaient une apostrophe derrière le dénominateur.

Ainsi, puisque 20 s’écrivait K, la fraction 1/20 serait notée K’. Si toutefois le numérateur ne vaut pas 1, les Grecs plaçaient cette fois une apostrophe derrière le numérateur et deux apostrophes derrière la dénominateur. La fraction 2/7 s’écrivait donc B’Z »

Cette notation pose un nouveau problème : puisque 20 se note K, que 2 se note B, que vaut alors le nombre KB’ ? Vaut-il 1/22 ou vaut-il 20 + 1/2 ? Ce problème sera résolu grâce à une nouvelle notation introduite par Diophante, qui proposera d’étager les fractions. Sa notation est toutefois inversée par rapport à la notre – le numérateur est placé en bas et le dénominateur en haut – et ne comporte pas encore de barre : le dénominateur est placé en « exposant ». Ainsi, pour écrire la fraction 14/29 :

  • Le numérateur 14 vaut 10 + 4 et s’écrit donc IΔ
  • Le dénominateur 29 vaut 20 + 9 et s’écrit quant à lui KΘ
  • La fraction 14/29 s’écrit donc en grec

Pour les Grecs, et notamment pour Pythagore, il ne pouvait exister d’autres nombres que les nombres rationnels : tout nombre, toute longueur s’exprime forcément comme le ratio de nombre entiers positifs. Inutile de vous dire que cette conviction a été sévèrement mise à défaut.

Vers la notation actuelle

En Inde, la notation fractionnaire est utilisée par Bhaskara, qui place le numérateur au-dessus du dénominateur, mais toujours sans utiliser de séparateur. Ce séparateur, la barre de fraction que nous connaissons aujourd’hui, apparaît dans le Monde Arabe et les ouvrages d’al-Hassar et sera conservé par la suite. En Europe, elle sera introduite par le mathématicien italien Léonard de Pise, plus connu sous le nom de Fibonacci.

Les opérations sur les fractions sont alors développées et expliquées. Ainsi, la somme de deux fractions se calcule ainsi :

n/d + m/c = (nc + md)/dc

Il n’est pas encore question d’utiliser un plus petit dénominateur commun : on utilise simplement le produit des dénominateurs.

C’est aussi dans le Monde Arabe, par l’intermédiaire d’Al-Kashi, que se développe l’utilisation des fractions décimales, autrement dit, des fractions ayant pour dénominateur 10, 100, 1000 et ainsi de suite. Avec de telles fractions, les opérations sur les fractions sont considérablement simplifiées, notamment pour faire la somme de deux fractions. Par l’intermédiaire des fractions décimales, il est par exemple possible d’approcher le nombre π de plus en plus finement.

Ces notations et ces calculs sur les fractions arriveront en France au courant du XIIIe siècle, sous le nom de nombres rompus. Les fractions décimales ne seront pourtant popularisés qu’au XVIe siècle, grâce à un ouvrage de Simon Stevin, la Disme.

Pour compléter

  • Le calcul à Rome, sur le site Archéologies en chantier
  • Brins d’Histoire des Maths, avec des informations sur toutes les civilisations
  • History of Mathematics, par David E. Smith (1925)
  • History of mathematical notations, par Florian Cajori
  • Histoire universelle des chiffres, par Georges Ifrah
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