Avant l’addition : Problèmes de succession

Suite des réflexions du dernier article sur l’opération qui pourrait venir avant l’addition. Si vous ne voyez pas de quoi je parle, je vous conseille fortement d’aller faire un petit tour sur cette page.

Vous voilà à jour ! Parfait, nous pouvons continuer !

L’opération de succession

Notre but était de trouver une opération dont l’addition serait une écriture « compactée », comme la multiplication peut l’être pour l’addition, et la puissance pour la multiplication. A cette question, j’ai pu voir de nombreux commentaires sur Facebook, Twitter, ou la vidéo de Micmaths – qui ne m’étaient pas destinés, mais je lis tout de même hein ! – parlant de « Successeur », d’incrémentation, ou tout un tas d’autres noms qui se résume à une seule idée : Additionner des entiers, c’est simplement « Ajouter 1 » plusieurs fois.

Définissons alors notre opération, notre loi, comme suit :

L’opération « Succession« , noté S, est définie pour n’importe quels entiers a et b par :

a S b = a + 1

Nous créons une nouvelle opération – la succession – agrémentée d’un nouveau symbole – S . Par exemple 2 S 3 est égal à 2 + 1, c’est-à-dire 3.

Alors, d’entrée, on peut être un peu titillé par cette définition. Si l’on veut définir l’addition comme la généralisation de cette opération S, il va peut-être falloir éviter de définir S elle-même par une addition !

L’avantage des entiers dans notre cas, c’est leur discrétion. Je ne parle pas de nombres silencieux, mais de nombres distants les uns des autres. Prenons un entier : 2 par exemple. On sait qui vient après, il s’agit du 3. On sait aussi qui vient avant, il s’agit du 1.

Intuitivement, vous avez peut-être fait une addition ou une soustraction pour obtenir ces résultats, mais il n’y en a aucunement besoin. On peut, par exemple, représenter nos entiers sur un axe et remarquer que le 2 est situé entre le 1 et le 3. Redéfinissons alors proprement notre opération :

L’opération « Succession« , noté S, est définie pour n’importe quels entiers a et b par :

a S b = le nombre entier qui vient après a

Oui, l’idée est la même, mais c’est simplement une question de logique de construction : définir S à l’aide d’un signe + puis définir le signe + à l’aide d’une répétition de signes S pourrait nous mener à de sérieux problèmes !

Dans un précédent article, je parlais de la définition de l’addition mathématique, et celle-ci se faisait par récurrence, par « pas de 1 ». Tout devrait donc bien se passer, non ?

Alors, est-ce que ça marche tout ça ? Prenons par exemple la somme 2 + 3, dont on sait qu’elle vaut 5. Avec notre écriture, nous aimerions que 2 + 3 soit égal à 2 S 2 S 2, où le 2 apparaît trois fois

  • (2 S 2) S 2 = (le nombre qui vient après 2) S 2, soit 3 S 2
  • 3 S 2 = (le nombre qui vient après 3), soit 4

Ah… Raté…

Il y a en fait une petite subtilité supplémentaire à noter lorsqu’il s’agit de « compacter » nos opérations :

  • Lorsque nous faisons 2 + 2 + 2, nous l’écrivons 2 x 3, mais ce n’est pas l’opération qui apparaît trois fois : c’est le nombre lui-même.
  • Même chose avec la puissance : 2^3 = 2 x 2 x 2. Le signe de la multiplication n’apparaît que deux fois.
  • Ainsi, lorsque nous faisons 2 + 3, pour avoir une généralisation cohérente avec celles fournies par la multiplication et l’addition, et bien il faut appliquer 2 fois l’opération que nous créons, alors qu’intuitivement, cette opération revient à ajouter 3 fois le nombre 1.

Il faudrait donc se débarrasser de ce décalage, et nous pourrions procéder ainsi :

L’addition de deux entiers a et b est définie par :

a + b = a S a S a S… S a où a apparaît (b+1) fois

Dans ce cas là, nous aurions bien 2 + 3 = 2 S 2 S 2 S 2. D’accord, ça fonctionne… Pour autant, cette opération me déplait fortement, et cela n’est pas uniquement la faute de ce décalage horripilant.

Des propriétés peu engageantes…

On ne va pas se le cacher, l’addition est une opération confortable : elle est commutative et associative, ce qui signifie, dans le jargon mathématique, que si l’on doit additionner plusieurs nombres, on peut commencer à droite, à gauche, au milieu, changer l’ordre, et tout cela ne perturbera pas le résultat.

La « Succession » peut-elle s’en vanter ?

  • 2 S 3 = « le nombre qui vient après 2 » = 3
  • 3 S 2 = « le nombre qui vient après 3 » = 4

Déjà, oubliez la commutativité. Quant à l’associativité…

  • (2 S 2) S 2 = (le nombre qui vient après 2) S 2 = 3 S 2 = le nombre qui vient après 3 = 4
  • 2 S (2 S 2) = 2 S (le nombre qui vient après 2) = 2 S 3 = le nombre qui vient après 2 = 3

On ne peut donc pas commencer où l’on veut. C’est d’ailleurs une lacune de notre définition : il faudrait préciser que le calcul se fait de gauche à droite, ou parenthéser les expressions pour éviter toute ambiguïté.

Tout ceci n’est déjà pas glorieux. A vrai dire, cela provient du fait que la succession, contrairement à l’addition ou la multiplication, n’agit que sur un seul des deux nombres qu’on lui donne – on parle d’opération unaire. Cette absence de propriété nous force à choisir un sens pour notre opération – en l’occurrence, pour que tout colle, il faut faire les calculs de la droite vers la gauche.

Bien, la succession seule n’est pas très intéressante. L’est-elle lorsqu’on la regarde avec d’autres opérations ? Combinons par exemple l’addition et la succession.

  • Que vaut 4 + (2S3) ? 2 S 3 est égal à 3, et 4 + 3 = 7
  • Que vaut maintenant (4+2)S(4+3) ? Cela vaut 6S7, soit le nombre qui vient après 6 – vous l’aurez compris, 7.

Nous retrouvons la même chose, et nous pourrions nous amuser avec d’autres nombres pour vérifier que tout fonctionne correctement : il est possible de distribuer les nombres dans la parenthèses. On dit d’ailleurs que dans ce cas, la Succession est distributive à gauche par rapport à l’addition. Et puisque l’addition est bien sympathique, elle, nous pouvons également trouver la distributivité à droite. Enfin une bonne nouvelle !

A rebours

La succession n’est pas très attrayante… Mais est-ce que l’opération qui vient avant l’addition peut seulement l’être ? Nous allons désormais lister tout ce que doit respecter notre opération pour être érigée en digne prédécesseur de l’addition.

Je reprends donc ma notation du dernier article et vais supposer qu’il existe une opération, le coeurage, de symbole ♥, tel que a + b = a ♥ a ♥ a ♥… ♥ a où a apparait b fois. Nous allons de plus imposer que tous les calculs doivent se faire de la gauche vers la droite (ceci est une convention, pour nous faciliter la tâche, plus qu’une propriété).

Dressons alors une table de coeurage, comme on fait des tables de multiplication et d’addition.

Ainsi 0 ♥ 0 = 0 + 2 = 2, puisque le 0 est coeuré avec lui-même et apparaît une fois. De même 1 ♥ 1 = 1 + 2 = 3, 2 ♥ 2 = 2 + 2 = 4 et ainsi de suite. Bref, coeurer un nombre avec lui-même revient à lui ajouter 2, et nous avons une première diagonale.

Et hors de la diagonale, que peut-on remplir ?

Considérons l’expression 0 ♥ 0 ♥ 0. Ceci vaut 0 + 3, donc 3. Mais cela vaut aussi 2 ♥ 0, si l’on rassemble les deux premiers 0 coeurés ensemble. Nous avons donc 2 ♥ 0 = 3. De même, nous pouvons trouver 0 ♥ 0 ♥ 0 ♥ 0 = 0 + 4 = 4 = 3 ♥ 0.

Ce que nous faisons avec 0, faisons-le avec 1 ! 1 ♥ 1 ♥ 1 = 1 + 3 = 4, mais 1 ♥ 1 ♥ 1 = 3 ♥ 1. Nous pouvons alors remplir en partie notre table de coeurage comme suit.

Table de coeurage

Table de coeurage.

Etrange n’est-ce pas ? Les lignes se remplissent jusqu’à la case avant la diagonale, impossible à déterminer sans faire de nouvelles suppositions. Plus surprenant, ces nombres sont à chaque fois les successeurs des nombres que nous coeurons. Ainsi, 7 ♥ 0 = 7 ♥ 1 = 7 ♥ 2 = 7 ♥ 3 = 7 ♥ 4 = 7 ♥ 5 = 8 ! Il n’y a que sur la diagonale que la règle change, et où nous ajoutons 2 au lieu d’un  (et nous observons de nouveau le décalage constaté avec la succession).

Il se peut finalement – et à ma grande déception – que nous n’ayons pas vraiment le choix des opérateurs.

Encore une fois, tout ce qui est présent dans cette article est loin d’être irréfutable. Si votre avis diffère du mien, si vous décelez une erreur de raisonnement, n’hésitez pas à en discuter dans les commentaires !

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