Poser des multiplications : plusieurs écoles

Nous avons pas mal parlé d’addition ces derniers temps, qu’il s’agisse d’en retracer les premières propriétés ou de se demander ce qui pouvait bien se trouver avant. Il est temps de la laisser de côté pour se concentrer sur sa petite cousine, la multiplication.

Rassurez-vous, pour cette fois, nous n’entrerons pas dans l’abstraction la plus totale, vous pouvez ranger votre boîte d’aspirine…

L’apprentissage de la multiplication passe d’abord par une généralisation de l’addition : plutôt que d’écrire 3 + 3 + 3 + 3, nous allons écrire 3 x 4, pour signifier que le nombre 3 est présent 4 fois dans une addition. A partir de là, il est temps d’apprendre les fameuses tables de multiplication, pour que ce calcul fastidieux devienne un automatisme.

Par la suite, on apprend à faire des multiplications plus compliquées, avec des nombres comportant plusieurs chiffres, en les décomposant en étapes plus simples : on apprend tout simplement à poser la multiplication.

Et pour poser des multiplications, il y a plusieurs écoles !

La méthode japonaise / maya / chinoise… Bref, celle avec des lignes et des noeuds.

Alors, d’où vient réellement cette méthode, j’avoue que je ne saurais l’affirmer. Cependant, je suis au moins en mesure de l’expliquer.

Vous avez probablement vu, en vous aventurant sur les réseaux sociaux par exemple, une technique de multiplication révolutionnaire qui rend totalement obsolète l’apprentissage des tables de multiplications.

Le principe est simple : les chiffres d’un nombre sont représentés par des segments, regroupés en petits tas. Par exemple, le nombre 213 peut s’écrire avec 3 tas de segments que l’on place dans l’ordre : le premier en comporte 2, le deuxième en a 1 et le dernier en a 3. Ces segments sont tracés dans une certaine direction – disons horizontale ici.

Dans la direction perpendiculaire, nous allons cette fois tracer de nouveaux segments, qui permettent de représenter un autre nombre. Ces nouveaux segments vont alors croiser les précédents en de nombreux points, appelés noeuds. Faire la multiplication de nos deux nombres revient finalement à compter les noeuds ainsi formés !

Voici une animation pour y voir un peu plus clair dans ce que je raconte.

Multiplication japonaise

Multiplication japonaise

On regroupe ainsi les noeuds par paquet, en partant du bas à droite pour aller en haut à gauche. De cette manière, on obtient les chiffres du produit de nos deux nombres de départ.

Séduisante sur le papier, puisqu’elle semble reléguer les tables de multiplications au rang de gadget, cette méthode comporte toutefois plusieurs inconvénients.

D’abord, il faut savoir former les paquets correctement sur le quadrillage : il n’est pas toujours évident de s’y retrouver entre nos différents tas. Lequel est utilisé pour le chiffre des dizaines ? Celui des centaines ?

Il s’agit là d’un jeu d’appariement assez récurrent en mathématiques : considérons pour le moment que nous n’avons le droit qu’aux nombres 1, 10, 100, 1000, etc…Pour obtenir 100 à l’aide d’une multiplication de deux nombres parmi les précédents, je n’ai guère que trois choix : 100 x 1, 10 x 10 ou 1 x 100.

Remarquez alors comment est formé le paquet rose sur l’animation : celui-ci est le compte total des noeuds formés par les segments…

  • des unités de 213 et des centaines de 132 (on est dans le cas 1 x 100)
  • des dizaines de 213 et des dizaines de 132 (on est dans le cas 10 x 10)
  • des centaines de 213 et des unités de 132 (on est dans le cas 100 x 1)

En gros, il faut trouver les bonnes paires de chiffres dans les deux nombres que nous multiplions. Naturellement, plus les nombres seront grands, plus il y aura de tas à prendre en compte. Cela se compliquera encore un peu plus si les deux nombres à multiplier n’ont pas la même taille.

Un petit souci vient également lorsque le chiffre 0 figure dans l’un des nombres : il suffit alors de placer une ligne en pointillé et d’ignorer tous les croisements que celle-ci peut engendrer. Par ailleurs, nous nous sommes contentés ici d’utiliser de petits chiffres. Avec cette méthode, la présence d’un 8 ou d’un 9 rend notre décompte assez laborieux, si bien qu’on préfèrera revenir à nos bonnes vieilles tables de multiplication…

La méthode russe

La méthode russe est directement inspirée de la multiplication qu’utilisaient les égyptiens dans l’antiquité… mais en mieux.

L’idée est de décomposer nos nombres en faisant de petites multiplications, plus simples, moins fastidieuses. En l’occurrence, il faudra simplement multiplier (et un peu diviser) par 2 !

Pour cela, nous allons dans un premier temps écrire nos deux nombres côte à côte, le plus grand à gauche – cela nous facilitera la tâche. Puis nous allons multiplier le premier nombre par 2. En même temps, nous diviserons le second nombre par 2. Si cette division ne tombe pas juste, pas de souci ! On prend la partie entière, on ne s’occupe pas de ce qui vient après la virgule. On continue ainsi jusqu’à ce que le nombre de droite vaille 1.

Prenons un exemple : 24 x 21

  • Je multiplie 24 par 2, cela fait 48. Je divise 21 par 2, cela me donne 10.5. Je garde donc 48 et 10
  • Je multiplie 48 par 2, je divise 10 par 2, cela me donne 96 et 5
  • Je recommence, il me reste 192 et 2
  • Puis 384 et 1

Maintenant, j’écris tous ces nombres dans un tableau, et je vais seulement garder les lignes où le nombre de droite est impair :

24 21
48 10
96 5
192 2
384 1

J’additionne alors les nombres de gauche que je n’ai pas rayé, et j’obtiens finalement :

24 x 21 = 24 + 96 + 384 = 504

Et voilà comment multiplier deux nombres en ne connaissant que sa table de 2… Le principe se base sur ce que l’on appelle l’écriture binaire d’un nombre : usuellement, nous écrivons les nombres en écriture décimale, en faisant des paquets de 10. 10 paquets de 10 forment un paquet de 100, puis 10 paquets de 100 donnent un paquet de 1000 et ainsi de suite. On peut ainsi écrire 24 = 2 x 10 + 4 x 1 ou 504 = 5 x 100 + 0 x 10 + 4 x 1.

La méthode russe utilise plutôt le regroupement par paquet de 2. En l’occurrence, 21 peut s’écrire 21 = 1 x 16 + 0 x 8 + 1 x 4 + 0 x 2 + 1 x 1. On remarque que seuls les paquets de 16, de 4 et de 1 sont utilisés. Plus simplement, on pourrait écrire 21 = 16 + 4 + 1. Et c’est justement cette écriture que l’on trouve à la fin, lorsque l’on multiplie par 24

  • 24 x 1 =… 24 !
  • 24 x 4 = 96
  • 24 x 16 = 384

Pas magique… Mathématique !

La méthode arabe

Comment parler d’arithmétique sans parler du monde arabe ? Impossible, je ne le ferai donc pas. Et d’ailleurs, même problème d’origine que notre première multiplication : on ne sait pas vraiment si les Arabes en sont les inventeurs ou les transmetteurs…

La méthode arabe ne change pas beaucoup de la nôtre à vrai dire (il va falloir sortir vos tables, je vous le dis !). C’est simplement la présentation qui varie. Nous allons cette fois multiplier 147 par 456, et pour cela, nous allons présenter le calcul sous la forme d’un tableau. Nous écrirons sur la première ligne le premier nombre, puis sur la dernière colonne, le second.

Toutes les cases seront ensuite divisées en deux en diagonale. On remplit les cases avec les produits des chiffres, suivant la ligne et la colonne : dans la partie haute, la dizaine, et dans la partie basse l’unité. Il suffit ensuite d’additionner diagonalement les nombres pour trouver le résultat.

Et puisqu’une illustration vaut mieux qu’un texte, voici notre exemple tout frais !

 

Multiplication arabe

Par exemple, la case en haut à droite, entourée en rouge, correspond à la multiplication de 7 et de 2, qui vaut 14. On place donc 1 dans la partie haute et 4 dans la partie basse. Une fois tout le tableau rempli, on ajoute les nombres suivant les diagonales. S’il y a des retenues, on les remonte dans la diagonale du dessus (ce à quoi correspondent les flèches ici)

Ici, le « décalage d’un cran » que l’on peut apprendre quand on passe au chiffre suivant dans une multiplication est remplacé par ce parcours en diagonal, mais le principe est le même. Résultat : 147 x 256 = 37632

Vous êtes désormais parés à toutes les éventualités (multiplicatives en tout cas). Quelle est votre méthode préférée ?

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