Des paradoxes et des ensembles

Souhaitez-vous une énigme ?

Dans une petite bourgade, très loin d’ici, réside un barbier. Dans cette bourgade, le maire a fait voter une loi : le barbier doit raser tous les hommes du village qui ne se rasent pas eux-mêmes, et seulement eux !

Question : le barbier se rase-t-il lui-même ?

Raisonnons : si le barbier ne se rase pas lui-même, alors la loi l’oblige à se raser. Mais dans ce cas-là, il se rasera lui-même, et est donc hors la loi. Voici notre barbier fort désoeuvré ! A vrai dire, une telle loi, aussi stupide soit-elle, pourrait très bien exister. On ne peut en dire autant du barbier qui pourra l’appliquer.

Illustration : 3dman_eu sur pixabay https://pixabay.com/fr/users/3dman_eu-1553824/

Et en mathématiques, cela peut poser problème ! Que dire alors de l’ensemble de ces hommes qui se rasent eux-mêmes : inclut-il, oui ou non, le barbier ?

On pourrait croire qu’une propriété partagée par des éléments – un prédicat – suffirait à décrire un ensemble : l’ensemble des nombres plus grands que 3, l’ensemble des fonctions qui valent 0 en un point… Le barbier nous montre qu’il n’en est rien ! La prudence est de mise.

Une des pistes pour « résoudre » ces paradoxes est de hiérarchiser les ensembles : prenons donc un nouvel exemple, plus numérique celui-ci.

Exprimer les nombres

Il existe de nombreuses manières de définir un nombre avec des mots : prenons par exemple l’entier 42.

Celui-ci peut-être défini à l’aide de son écriture en lettres, « quarante-deux ». Il peut également être défini par l’addition, comme étant « trente-sept plus cinq », par une multiplication, puisqu’il vaut « six fois sept », ou encore par des phrases plus alambiquées comme « le nombre qui vaut vingt-quatre si l’on inverse les deux chiffres qui composent son écriture ».

Il est naturellement possible de pousser le vice très loin en imaginant des phrases aussi longues que l’on veut, toujours pour désigner le même nombre 42, mais restons raisonnables, et limitons-nous à une définition qui ne dépasse pas 100 mots.

Nous pouvons alors nous demander s’il est possible de définir tous les entiers naturels en moins de 100 mots, et avec un peu de réflexion, nous réalisons que c’est impossible. En effet, puisque nous avons un nombre fini de mots dans notre dictionnaire, nous avons également un nombre fini de suite de 100 mots mis cote à cote. Ce nombre a beau être très grand, il n’est rien comparé à l’infinité de nombres entiers qui existe !

« L’ensemble des entiers naturels qui ne peuvent être définis en moins de 100 mots » est donc non vide, il contient des éléments.

Puisque c’est une partie non vide de l’ensemble des entiers naturels, elle admet forcément un plus petit élément, unique, qui sera donc défini comme étant « le plus petit élément de l’ensemble des entiers naturels qui ne peuvent être définis en moins de 100 mots »… Or, nous venons justement de définir cet entier naturel en moins de 100 mots !

Hiérarchiser les définitions

Bertrand Russel

Le problème de ce paradoxe, connu sous le nom de « Paradoxe de Berry » et formulé en 1906 par Bertrand Russel est un problème de langage : que veut réellement dire le mot « définir » et jusqu’à quel point pouvons-nous l’utiliser à tort et à travers ?

Avant de définir notre entier problématique, nous avons d’abord « défini » un ensemble. C’est seulement ensuite que nous avons défini son plus petit élément et, par conséquent, nous avons défini notre entier en passant par la définition d’un ensemble. Il y a donc deux niveaux de définitions dans ce raisonnement qui ne doivent pas être traitées de façon équivalentes.

Pour essayer de s’en démêler, il va falloir être plus précis dans cette définition, et leur accorder différents degrés, différents niveaux.

Partons de rien : nous appellerons « 0-définition » un assemblage de mots qui permet de caractériser, de manière unique et non ambigüe, un ensemble, un entier, un objet.

Toutefois, nous devons nous imposer de ne pas utiliser le mot « 0-définition » dans cet assemblage de mots, pour ne pas avoir une notion qui tourne en rond. Ainsi, « six fois sept » est une 0-définition du nombre 42. Nous pouvons alors reprendre notre argument précédent et prouver, de la même manière, qu’il existe un « ensemble des entiers naturels qui ne peuvent être 0-définis en moins de 100 mots« . Seulement, cette manière de désigner notre ensemble comporte une 0-définition, ce que nous nous sommes interdits de faire !

Il faut donc passer au niveau supérieur : nous appellerons « 1-définition » un assemblage de mots dans lequel le mot « 0-définition » est autorisé et qui permet de caractériser, de manière unique et non ambigüe, un ensemble, un entier, un objet. En d’autre termes, une 1-définition utilise une 0-définition pour désigner un autre ensemble, un autre objet.

Notre ensemble est donc caractérisé par une 1-définition. De même, le plus petit élément de cet ensemble est déterminé comme étant « le plus petit élément de l’ensemble des entiers naturels qui ne peuvent être 0-définis en moins de 100 mots ». Certes, il y a moins de 100 mots dans cette phrase… Mais cette phrase n’est pas une 0-définition, puisqu’elle fait justement intervenir une 0-définition. Il n’y a donc plus de paradoxe ici !

De la même manière, il est possible de penser à des 2-définitions, des 3-définitions et ainsi de suite, autant que l’on veut.

Dans la même classe de problème, nous pouvons imaginer un génie aux pouvoirs magiques qui vous accorde un voeu. Vous, plus malin, faites le voeu d’avoir une infinité de voeu !

Eh bien, là encore, ce n’est pas un voeu simple, mais un voeu qui parle de voeu, ce que l’on pourrait appeler un 1-voeu sur le modèle précédent. Hélas, le génie ne peut exaucer que des 0-voeux et ne pourra accéder à votre demande.

Quel dommage…

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2 commentaires pour Des paradoxes et des ensembles

  1. leresidue dit :

    Bonjour, je viens de découvrir votre blog. Je n’ai pas encore tout lu. Mais pour l’énigme du barbier, et si le barbier était une femme? Oui les femmes ont aussi des poils. Ou bien, si le barbier était un enfant? Ou autre chose? Il y a plein de solutions à cette énigme, si on y pense bien. Encore, je dois dire, je n’ai pas tout le votre article. Bertrand Russel je le connais bien, c’était pas lui qui avait écrit un grand livre avec alfred witheld je crois, sur tout ce que cela prendrait comme logique pour prouver que 1 + 1 = 2?

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  2. Automaths dit :

    En effet, une barbière aurait résolu le problème, malheureusement ce village est aussi reculé dans l’espace que dans le temps et n’ose confier cette tâche ô combien important à la gente féminine ! Du moins, c’est surement ce que pensait Russell lorsqu’il énonçait ce paradoxe.

    En effet, Russell a écrit (avec Whitehead) un ouvrage, Principia Mathematica, où il démontre très longuement pourquoi 1 + 1 = 2. D’ailleurs, la conclusion n’arrivera qu’au deuxième volume, c’est dire si ce fut laborieux ! Pour l’anecdote, une fois cette propriété démontrée, Russell et Whitehead écrivent en-dessous : « La proposition ci-dessus est parfois utile ». C’est qu’ils avaient de l’humour, les bougres !

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