L’art de mettre en relation

Vous avez ces trois chapeaux devant vous, et une question simple : quel est l’intrus ?

chapeaux

Là, plusieurs réponses sont possibles :

  • On peut exclure le premier chapeau puisqu’il n’a pas la même forme que les deux autres.
  • On peut écarter le deuxième vu qu’il est vert alors que les autres sont rouges.
  • Enfin, on peut désigner le troisième chapeau, plus grand que les deux autres.

Il n’y ni bonne ni mauvaise solution : tout dépend ce que l’on entend par intrus. Dans votre réponse, vous avez en tout cas certainement raisonné en trouvant un point commun à au moins l’un d’entre eux, point que ne partageait pas le dernier. En d’autres termes, vous avez classé ces chapeaux, selon le critère qui vous semblait le plus judicieux.

En mathématiques également, il est courant de classer les objets selon leurs propriétés. On rassemble ainsi des objets similaires en classe d’équivalence.

Mettre en relation.

Plutôt que d’exclure, il est ici question de regrouper à l’aide de ce que les mathématiciens nomment les relations d’équivalence. Alors, attention, on ne parle pas de n’importe quelle relation, il faut qu’elle respecte certaines propriétés :

  • Elle doit être réflexive : n’importe quel objet doit être en relation avec lui-même.
  • Elle doit être symétrique : si un premier objet est en relation avec un second objet, alors ce second objet est lui-même en relation avec le premier objet.
  • Elle doit être transitive : si un premier objet est en relation avec un deuxième objet lui-même en relation avec un troisième objet, alors le premier objet est en relation avec le troisième objet.

Prenons par exemple la relation « être de la même couleur » dans notre ensemble de chapeau.

  • Un chapeau est forcément de la même couleur que lui-même.
  • Si un chapeau 1 est de la même couleur que le chapeau 2, alors le chapeau 2 est de la même couleur que le chapeau 1.
  • Si un chapeau 1 est de la même couleur que le chapeau 2, lui-même de la même couleur que le chapeau 3, alors le chapeau 1 est de la même couleur que le chapeau 3.

Nous venons de prouver sans trop de difficulté que la phrase « être de la même couleur » définissait bien une relation d’équivalence. Alors à quoi ça sert tout ça ?

Eh bien, une fois notre relation d’équivalence trouvée, nous pouvons regrouper ensemble tous les éléments qui sont en relation les uns avec les autres dans ce que l’on appelle des classes d’équivalence. Par exemple, en utilisant la couleur comme relation d’équivalence, nous pouvons construire deux classes, la première constituée des chapeaux 1 et 3, et la deuxième uniquement constituée du chapeau 2. En prenant la taille, nous aurions une classe d’équivalence qui regroupe les chapeaux 1 et 2 tandis que le chapeau 3 serait tout seul dans une autre classe.

Plus précisément, nous réalisons une partition de notre ensemble des chapeaux : chaque chapeau appartient à une et une seule classe d’équivalence. Dès l’instant où vous tentez de grouper des objets, des concepts par similarité, ce sont des classes d’équivalence que vous formez.

Calendrier et arithmétique modulaire

Une application de ces relations particulières se trouve dans le domaine de l’arithmétique. Pour deux nombres entiers, nous dirons qu’ils sont en relation si leur différence est un multiple de 7 (on dit aussi qu’ils sont congrus modulo 7)

Par exemple, 15 – 1 = 14, qui est un multiple de 7. 15 et 1 sont donc congrus modulo 7. En revanche, 13 – 2 = 11, qui n’est pas un multiple de 7. 13 et 2 ne sont donc pas congrus modulo 7.

Nous pouvons ainsi former 7 classes. La première, composée des nombres 1, 8, 15, 22… La deuxième, composée de 2, 9, 16, 23… et ainsi de suite… Plutôt que d’écrire chaque classe en entier, nous pouvons en choisir un élément particulier, que nous appellerons représentant. Pour nos 7 classes, choisissons simplement 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, et disposons-les sur un cercle.

Airthmétique modulaire

Les entiers de 1 à 7 sont disposés en cercle, de telle sorte qu’après le 7 vient le 1

Cette disposition en cercle donne tout son sens à notre relation d’équivalence : faisons par exemple l’opération 5 + 4. Classiquement, on dirait simplement que 5 + 4 vaut 9. Sur notre cercle, nous allons démarrer sur le 5, puis avancer de 4 pas dans le sens des aiguilles d’une montre : nous nous retrouvons sur le 2. Ce n’est pas surprenant, puisque 2 et 9 sont dans la même classe d’équivalence ! Autrement dit, 5 + 4 est congrus à 2 modulo 7

Quel intérêt me direz-vous ? Ces congruences, on ne les rencontre pas tous les jours. Eh bien, justement, il s’avère qu’une semaine compte 7 jours. Imaginons que nous numérotions les jours de l’année : si le jour 1 est un lundi, alors les jours 8, 15, 22 et les suivants de 7 en 7 – autrement dit, tous ceux congrus à 1 modulo 7 – seront aussi des lundis.

Si nous sommes un mercredi, quel jour serons-nous dans 25 jours ?

  • En notant 1 le premier lundi, le 3ème jour est un mercredi
  • 25 est dans la classe de 4 modulo 7 (puisque 25 – 4 = 21 qui est un multiple de 7)
  • 3 + 4 = 7, qui correspond au dimanche.

25 jours après un mercredi, nous serons donc un dimanche.

D’autres exemples peuvent être trouvées dans la vie quotidienne : la grande aiguille revient toutes les 60 minutes à la même position, définissant cette fois des classes d’équivalence modulo 60. L’arithmétique modulaire, combinée aux nombres premiers, donne naissance à de magnifiques applications en cryptographie, afin que vous fassiez vos transactions en ligne l’esprit tranquille…

Les entiers selon Frege

Prenons un nouvel exemple et voyageons à la ferme !

La ferme

Bienvenue à la ferme des animaux !

Pour nous, il serait commode de compter les animaux : il y a 1 âne, 2 oies, 4 cochons, 4 chevaux, 4 vaches, 6 poules et 6 moutons. Mais oublions tout cela, oublions les nombres : ici ils n’existent pas.

Procédons plutôt par association. Choisissons parmi toutes celles-ci, deux espèces d’animaux, potentiellement les deux-mêmes, et regardons s’il est possible d’associer un animal de la première espèce à un animal de la seconde sans laisser personne de côté.

En bref, on détermine s’il y a autant d’animaux de la première espèce que d’animaux
de la seconde espèce sans avoir à les compter. Si c’est le cas, on dira que la première espèce est en relation avec la seconde espèce. Par exemple, les vaches sont en relation avec les chevaux, mais ne sont pas en relation avec les poules. En revanche, les poules sont en rapport avec les moutons.

Nous pouvons vérifier que notre relation « avoir autant d’animaux » est bien une relation d’équivalence

  • Une espèce est toujours en relation avec elle-même. Il y a autant de cochons que de cochons, autant de poules que de poules, et ainsi de suite.
  • Si une espèce A est en relation avec une espèce B, alors l’espèce B est en relation avec l’espèce A. S’il y a autant de poules que de moutons, alors il y a autant de moutons que de poules.
  • Si une espèce A est en relation avec une espèce B qui est elle-même en relation avec une espèce C, alors l’espèce A est aussi en relation avec l’espèce C.
    S’il y a autant de cochons que de chevaux, et autant de chevaux que de vaches, alors il y a autant de cochons que de vaches.

Une fois cette relation en place, on peut par exemple construire une classe d’équivalence qui comporte l’ensemble des poules et l’ensemble des moutons. Pour plus de commodités, cette classe pourra être notée « 5 ». De même, nous avons la classe d’équivalence qui rassemble les chevaux, les cochons et les vaches. Cette classe sera notée « 4 ». Certaines classes n’ont qu’une seule espèce, comme celle des ânes, notée « 1 » ou celle des oies, notée « 2 ».
Nous pouvons également imaginer la classe des lions et des girafes. Celle-ci sera notée 0.

C’est ainsi que Frege définit les entiers naturels, contrairement à Peano qui les définit de manière axiomatique : ce sont les classes d’équivalence pour la relation que nous avons utilisée. Le nombre 4, c’est le nom de la classe d’équivalence qui regroupe tous les ensembles qui comportent autant d’élément qu’il y a de roues dans une voiture.

Par la suite, il est possible de définir les entiers relatifs grâce à une relation d’équivalence sur les couples d’entiers naturels, puis les rationnels à l’aide d’une nouvelle relation sur les couples d’entiers relatifs, puis les réels avec une troisième relation sur les suites de rationnels… Bref, les classes d’équivalence sont à la base des nombres, et donc, dans une certaine mesure, des mathématiques elles-mêmes !

Pour compléter

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