De l’autre côté du zéro…

Drapeau rouge : Cet article demande quelques connaissances mathématiques intermédiaires ainsi qu’une bonne capacité d’abstraction


Attention, abstraction ! Vous êtes prévenus

Frege, Peano, Von Neumann et d’autres… Les entiers naturels ont leur construction et les opérations classiques d’addition et de multiplication sont bien définies pour chacune d’entre elles.

Vous pouvez trouver celle de Peano à cette adresse, celle de Frege ici, et la construction de l’addition par là.

Sans surprise nous retrouvons alors le fait que 5+3=8, 1+1=2 et ainsi de suite. En revanche, quel est le nombre x tel que 2+x=7 ? Si le nombre 5 nous vient immédiatement à l’esprit, posons-nous la question de son arrivée, de sa décision. Intuitivement, nous avons fait l’opération 7-2, autrement dit une soustraction… laquelle n’est pas encore proprement définie dans notre ensemble.

Les nombres négatifs sont dans notre quotidien, mais cela n’a pas toujours été le cas.

Plus généralement, et même si leur acceptation a tardé à venir, nous avons conscience aujourd’hui de l’existence de nombres négatifs : qu’il s’agisse de la température ou des étages d’un immeuble, le signe « moins » devant un nombre ne nous est pas étranger. Là encore, nous pourrions interpréter l’entier négatif -2 comme étant le résultat de la soustraction entre 0 et 2, et nous revenons à notre point de départ : c’est quoi une soustraction ?

Pire encore, puisque -2 est aussi le résultat de la soustraction entre 3 et 5, quelle écriture doit-on privilégier ?

Des classes d’équivalence

Pour s’en sortir, le mathématicien Richard Dedekind utilisera alors le raisonnement que nous avons posé en introduction, à savoir qu’un entier relatif peut s’écrire, de manière non unique certes, comme la différence de deux nombres entiers naturels.

Richard Dedekind

Pour s’affranchir de la soustraction tout d’abord, il notera plutôt cette différence comme un couple d’entiers naturels (a,b). Ainsi, au lieu d’écrire 2 – 5 comme nous serions tentés de le faire, Dedekind notera simplement ce nombre (2,5). De même, 4 – 3 devient (4,3),     7 – 10 devient (7,10) et ainsi de suite.

L’ennui, comme mentionné, est la multiplicité des écritures des entiers relatifs avec cette convention. (2,5) et (7,10) désignent par exemple le même entier, -3. Lorsqu’un objet mathématique possède plusieurs écritures possibles, les mathématiciens adorent trouver une relation d’équivalence qui relie chacune de ces écritures : ainsi peuvent-ils noter l’objet en question comme une classe d’équivalence, ce qui résout tous les problèmes d’unicité si ennuyeux. N’hésitez pas à lire cet article si cette notion vous est étrangère.

Quelle relation trouver alors ? Si deux couples (a,b) et (c,d) désignent le même entier relatif, alors a – b = c – d, par construction. Seulement, puisque nous n’avons pas le droit d’utiliser la soustraction, nous pouvons modifier légèrement l’écriture, ce qui nous donnera a + d = c + b. C’est la relation que nous utiliserons :

Deux couples d’entiers naturels
(a,b) et (a’,b’) sont en relation – ce que l’on notera désormais (a,b) ∼ (a’,b’) si a+b’=a’+b

Cette relation est-elle bien une relation d’équivalence ? Autrement dit, vérifie-t-elle bien les trois propriétés de réflexivité, de symétrie et de transitivité que nous avons mentionné
sur la page concernée ?

  • Quel que soit le couple d’entier (a,b), on a évidemment (a,b) ∼ (a,b). Cela revient à écrire que a+b=a+b. Youpi.
  • Quels que soient les couples d’entiers (a,b) et (a’,b’), si a + b’= a’ + b, alors a’ + b = a+ b’, autrement dit si (a,b) ∼ (a’,b’), alors (a’,b’) ∼ (a,b)
  • Soient les couples d’entiers (a,b), (a’,b’) et (a’ ‘,b’ ‘) et supposons que (a,b) ∼ (a’,b’) et que (a’,b’) ∼ (a’ ‘,b’ ‘)
    Cela se traduit par a + b’ = a’ + b et a’ + b’ ‘ = a’ ‘ + b’. Alors, en combinant ces deux égalités, nous avons
    a + b’ + a’ + b’ ‘ = a’ + b + a’ ‘ + b’, ce que l’on réécrit
    a + b’ ‘ + a’ + b’ = a’ ‘ + b + a’ + b’.

Et là, il ne faut pas aller trop vite. Peut-on alors retirer les a’ + b’ de chaque côté, sans avoir accès à la soustraction ? C’est bien le cas, et vous pouvez vous amuser à le montrer, mais cela n’a rien d’évident !

On peut alors représenter ces classes d’équivalence sur une grille d’entiers naturels : les entiers naturels que l’on construit sont en fait représentées par les diagonales de cette grille. Certains jumeaux bien connus vous diront peut-être qu’en voyant cela, Dedekind comprit tout de suite que le Monde était dirigé par l’équation d’une droite qui se reproduisait dans deux dimensions orthogonales plus une invisible, mais je ne me lancerai pas sur ce genre d’ineptie… Oups, trop tard.

Les classes d’équivalence pour notre relation correspondent au diagonale du plan.

Chaque entier relatif peut alors être désigné par l’un des membres de la classe d’équivalence qu’il désigne (on parle de représentant). Classiquement, on choisira (n,0) pour un entier positif et (0,n) pour l’entier négatif -n, mais rien n’empêche d’en choisir un autre.

Des opérations

Maintenant que nous avons nos entiers relatifs, nous pouvons définir une addition sur ces nouveaux nombres. Pour ce faire, faisons de nouveau comme si la soustraction existait. Le couple (a,b) désigne donc le nombre a – b et le couple (a’,b’) désigne le nombre a’ – b’.

Si on souhaite additionner ces nombres, nous avons, en réorganisant les termes,
(a,b) + (a’,b’) = (a – b) + (a’ – b’) = (a + a’) – (b + b’), ce qui s’écrit avec notre convention d’écriture (a,b) + (a’,b’)=(a + a’,b + b’).

Autrement dit, il suffit d’ajouter terme à terme nos deux nombres.

Par ailleurs, on peut remarquer que (a,b) + (b,a) = (a + b, a + b) = 0. Il est alors possible de définir l’opposé et la soustraction entre deux nombres :

(a,b) – (a’,b’) = (a,b) + (b’,a’) et -(a,b) = (b,a)

Pour la multiplication, on peut procéder au même jeu de réécriture :
(a – b).(a’ – b’) = a.a’ – a.b’ – b.a’ + b.b’ = (a.a’ + b.b’) – (a.b’ + b.a’), ce que nous réécrivons
(a,b).(a’,b’) = (a.a’ + b.b’,a.b’ + b.a’).

Cette multiplication est, par ailleurs, distributive par rapport à l’addition :
a(b + c) = ab + ac pour n’importe quels entiers relatifs a,b et c

L’ensemble \mathbb{Z} muni de ces deux opérations d’addition de multiplication est appelé « anneau » et est parfois noté (\mathbb{Z},+,.)

Contrairement à l’addition qui permet de définir la soustraction, nous ne pouvons pas définir la division de deux entiers relatifs, et ce pour une raison simple : cette division ne donne pas forcément un entier relatif lui-même.

En revanche, nous pouvons démontrer ce que l’on nomme l’intégrité de l’anneau (\mathbb{Z},+,.). Ce terme signifie que si le produit de deux entiers relatifs est nul, alors
au moins l’un des entiers relatifs est nul.

Récapitulons

Pour tous entiers relatifs (a,b) et (a’,b’), on définit :

  • (a,b)+(a’,b’)=(a+a’,b+b’)
  • (a,b)-(a’,b’)=(a,b)+(b’,a’)
  • (a,b).(a’,b’)=(a.a’+b.b’,a.b’+a’.b)
  • Si (a,b).(a’,b’)=0 alors a=b ou a’=b’

Grâce à ces opérations, nous pouvons obtenir les règles de signes basiques. Par exemple, si l’on multiplie deux entiers négatifs notés (0,a) et (0,b), on obtient le nombre (a.b,0), qui est positif.
C’est une démonstration du fait connu que « moins par moins fait plus ».

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