Les pavages dorés

Drapeau vert : Cet article ne demande aucune connaissance mathématique particulière


Une envie subite de refaire votre papier peint ou le carrelage de votre salle de bain ? En perfectionniste que vous êtes, vous exigez cependant de n’utiliser que des polygones réguliers pour votre décoration.

Pour satisfaire vos envies, vous pourrez peut-être opter pour un pavage carré. Après tout, dans carrelage, il y a la racine du mot carré, alors quoi de plus naturel que de disposer régulièrement ces quadrilatères dans votre nouvelle pièce.

Plus original, vous pourrez choisir des motifs hexagonaux. On trouve d’ailleurs ces motifs en observant les ruches ou les colonnes basaltiques des massifs volcaniques.

Colonnes hexagonales de basalte… Pas tout à fait régulières, certes, mais impressionnantes !

Mais les pentagones réguliers dans tout ça ? Eh bien, les malheureux n’ont pas autant de chance, et l’on peut s’en rendre compte rapidement en essayant de les accoler les uns aux autres : de toute évidence, ça ne rentre pas !

Rien à faire Robert, ça ne rentre pas…

Pourtant, vous n’en démordez pas : vous utiliserez des pentagones réguliers coute que coute ! Alors, qu’à cela ne tienne, voyons ce que nous pouvons faire de ces polygones

Le rapport d’or

Pour cela, nous allons utiliser une propriété de notre pentagone : si l’on prend la longueur d’une de ses diagonales – un segment lient deux sommets qui ne sont pas voisins – et qu’on le divise par la longueur d’un côté, on obtient une valeur que l’on appelle nombre d’or, environ égale à 1.618.

Ce nombre, noté φ et parfois appelé « Divine proportion« , possède une caractéristique fort utile à notre affaire de pavage : le multiplier par lui-même revient à lui ajouter 1.

φ x φ = φ + 1

Découpons alors notre pentagone en trois triangles isocèles – qui possèdent deux côtés de longueur égale – comme l’indique l’image suivante :

En observant le triangle central, on remarque que sa base est un côté du pentagone, et que ses deux côtés égaux correspondent à deux diagonales du pentagone. Ainsi, le rapport entre la longueur des grands côtés et la longueur de la base de ce triangle vaut φ. Un triangle qui respecte cette règle s’appelle un triangle d’or.

Inversement, les deux triangles des extrémités ont pour base une diagonale du pentagone et, pour côtés égaux, deux côtés du pentagone. Cette fois, c’est le rapport entre la longueur de la base et celle des deux côtés égaux – soit l’inverse de ce que nous avions précédemment – qui est égal à φ. Un tel triangle s’appelle un triangle d’argent.

Et là, nous allons voir pourquoi le nombre d’or possède ce surnom de Divine proportion. Nous allons accoler un triangle d’or et un triangle d’argent provenant du même pentagone régulier, comme sur la figure plus bas. Nous allons supposer que ce pentagone a un côté de longueur 1 unité.

Ses deux côtés égaux correspondent à la base du triangle d’argent, ou a un côté du triangle d’or : ils ont une longueur de φ. Sa base, en revanche, à une longueur de φ + 1, qui est égal à φ x φ. Ainsi, en faisant le rapport entre les longueurs de la base et de ses côtés égaux, nous obtenons φ x φ / φ. En d’autres termes, nous avons, à partir d’un triangle d’or et d’un triangle d’argent, formé un nouveau triangle d’argent.

Triangles d’or et d’argent, de plus en plus grands…

Prenons alors ce nouveau triangle d’argent, et collons un triangle d’or sur un côté. Cette fois, la base a une longueur de φ, et le côté une longueur de φ x φ comme calculé plus haut. Le rapport entre côté et base est donc de φ : c’est un triangle d’or.

Et nous pouvons continuer ainsi à l’infini, avec ce triangle d’or et le triangle d’argent précédents, nous formons un triangle d’argent. Avec ce nouveau triangle d’argent et le grand triangle d’or, nous formons un nouveau triangle d’or, et ainsi de suite, de proche en proche, nous pouvons couvrir tout le plan.

De proche en proche, nous finirons bien par paver le plan ! #30AnsTangente

Nombre d’or, le retour

Voilà donc une solution pour paver en utilisant des fragments de pentagone, mais combien de triangles nous faudra-t-il pour former nos nouveaux triangles, de manière récursive.

La suite des nombres de triangles correspond à une suite bien connue…

En commençant avec 1 triangle d’or et 1 triangle d’argent, nous avons fait un triangle d’argent composé de 2 triangles. Avec ce nouveau triangle et un triangle d’or, c’est un triangle composé de 3 petits triangles qui a été créé. Puis, il en a fallu 5, puis 8, puis 13…

Les amateurs de mathématiques auront vite reconnu la fameuse suite de Fibonacci, où chaque terme est calculé en faisant la somme des deux termes précédents. Et pour cause : chaque triangle est construit à l’aide des deux étapes précédentes, tout comme la suite ! Pas étonnant donc de la revoir dans nos triangles.

Cela devient encore plus intrigant lorsque l’on compte séparément le nombres de triangles de départ utilisés

Etape 1 2 3 4 5 6 7
Nombre total de triangles 1 1 2 3 5 8 13
Triangles d’or 0 1 1 2 3 5 8
Triangles d’argent 1 0 1 1 2 3 5

On remarque que les nombres de triangle d’or et d’argent utilisés sont des termes consécutifs de cette fameuse suite de Fibonacci. Encore une fois, tout est logique puisque les triangles sont construits grâce aux deux étapes précédentes.

Mais ce qui est intéressant, c’est que plus on progresse, plus le rapport entre le nombre de triangles d’or et le nombre de triangles d’argent tend vers… le nombre d’or, φ, encore lui !

Et cette convergence nous montre que le pavage que nous construisons ne peut pas être périodique, c’est-à-dire qu’il n’existe pas un petit modèle, de taille finie, avec lequel on puisse paver tout le plan rien qu’en le translatant ou en le tournant.

En effet, si c’était le cas, il serait composé d’un certain nombres de triangles d’or O et un certain nombre de triangles d’argent A. Le rapport O/A est ce que l’on appelle un nombre rationnel, une fraction. Or, φ ne peut pas être écrit sous une telle forme : il n’est donc pas possible d’avoir un tel modèle.

Pour plus d’allure

Bon, avouons-le, notre triangle n’est pas très beau. Rassurez-vous, car il existe des constructions bien plus élégantes faites avec ces triangles.

Une première construction consiste à utiliser des « fléchettes » et des « cerfs-volants » qu’on obtient en accolant respectivement deux triangles d’argent ou d’or. Par le même principe que pour le triangle, il est possible de construire alternativement des fléchettes et des cerfs-volants de plus en plus grands, jusqu’à paver le plan.

Cerf-volant (gauche) et fléchettes (droite). Il est possible de former un cerf-volant à partir de deux cerf-volants et deux demi-flechettes. Pour la fléchette, il faut un cerf-colant et deux demi-fléchette.

Et voici une partie du résultat qui peut être obtenu :

Pavage avec fléchettes et cerf-volants

De la même manière, en collant les triangles selon leur base, on obtient des losanges que l’on peut encore une fois construire successivement, jusqu’à recouvrir tout le plan. Autant dire que tout cela a plus d’allure que notre pavage de départ !

Pavage avec des losanges d’or et d’argent

Pour compléter

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