Vos papiers, s’il vous plait !

Drapeau jaune : Cet article demande quelques connaissances mathématiques de base et un peu d’abstraction pour être entièrement saisi.


L’une des grandes questions de votre enfance, outre la fabrication des bébés, aura peut-être concerné les dimensions de vos feuilles de papier et de vos cahiers à l’école : le fameux format A4 mesure ainsi 21 cm de large pour 29,7 cm de long.

Alors, pourquoi ce 29,7 précisément ? Pourquoi ne pas arrondir à 21 x 30, ou même 20 x 30, histoire d’avoir de jolis nombres ?

L’explication cachée derrière cette fantaisie est -évidemment – d’ordre mathématique.

Plier et replier

S’il existe un  format A4, vous vous doutez bien qu’il existe un format A3, A2, A1 et également un format A0. A vrai dire, pour obtenir une feuille au format A3,il suffit de mettre côte a côté deux feuilles A4 en les collant suivant la longueur.

Inversement, en pliant une feuille A3 en deux, suivant sa longueur, on obtient une feuille de format A4.

Formats papier

Les différents formats de papier s’obtiennent par pliages successifs.

Ainsi, le format A1 est obtenu par un pliage d’une feuille de format A0, le A2 par deux pliages, le A3 par 3 pliages et ainsi de suite. Et puisqu’à chaque fois, la surface est divisée par deux, cela signifie que les surfaces des feuilles A1, A2, A3 sont respectivement 2, 4 et 8 fois plus petites que la surface du format A0.

Toutefois, cela ne nous en dit pas plus sur les longueurs des côtés de nos feuilles de papier. Simplement, il suffit de déterminer les mesures du format A0 pour que les mesures des formats suivants en découle.

Format A. On passe du A0 au A1 eu découpant en deux parts égales selon la longueur.

En fait, il y a deux autres propriétés que l’on souhaite avoir avec nos feuilles de papiers.

D’abord, on souhaite garder les mêmes proportions, la même valeur pour le rapport entre la longueur et la largeur. En gros, on veut que toutes nos feuilles conservent la même forme.

Prenons alors notre feuille au format A0, et notons sa longueur L et sa largeur l. En la pliant en deux selon la longueur, on obtient une feuille au format A1. La longueur de cette nouvelle feuille vaut l et sa largeur vaut la moitié de la longueur de notre feuille de départ, soit L/2.

Or, nous voulons que les formats A0 et A1 aient les mêmes proportions, ce qui se traduit par l’égalité

\frac{L}{l} = \frac{l}{L / 2}

En modifiant légèrement cette égalité, on obtient \left(\frac{L}{l}\right)^{2} = 2 soit L/l = √2, soit environ 1.414.

Ensuite, il suffit de fixer la surface d’une feuille au format A0 pour en déduire toutes nos mesures. En l’occurrence, une feuille A0 recouvre 1m², ce qui nous donne, en exprimant la longueur L et la largeur l en mètres, le système d’équations suivant :

  • L x l = 1
  • L / l =√2

On en vient aux valeurs L = \sqrt{\sqrt{2}} et l = 1 / \sqrt{\sqrt{2}}. Malheureusement, ces valeurs sont irrationnelles. Pas le choix, il faut les arrondir. Ainsi, la longueur d’une feuille A0 est d’environ 1.189 m, soit 118,9 cm tandis que sa largeur est de 0.841 m soit 84,1 cm.

De proche en proche on calcule alors les longueurs et largeurs des formats A0, A1, A2 et ainsi de suite…

Format Longueur (cm) Largeur (cm) Surface voulue (cm²) Surface réelle (cm²)
A0 118,9 84,1 10000 9999.49
A1 84,1 59.4 5000 4995.54
A2 59,4 42,0 2500 2494,80
A3 42,0 29,7 1250 1247,40
A4 29,7 21,0 625 623,70
A5 21,0 14,8 312,5 310.80
A6 14,8 10,5 156,25 155,4

Nous retrouvons bien 21 x 29,7 pour la feuille au format A4, et nous pouvons continuer ainsi, de plus en plus petit.

D’autres formats

Nous avons ici parlé du format A, mais il existe également des formats B et C.

Ainsi, les dimensions de la feuille B0 sont de 1.414 mètres de longueur et 1 mètre de largeur, puis on passe aux formats B1, B2 et ainsi de suite en pliant selon la longueur.

Outre le fait d’avoir une « valeur ronde » pour la largeur de la feuille, ce format est aussi la moyenne géométrique du format A : pour passer du format B0 au format A0, on procède à la même réduction que pour passer du format A0 au format B1, du  B1 au A1, du A1 au B2 et ainsi de suite. Les formats A et B s’intercalent ainsi régulièrement : il faut toujours multiplier ou diviser les mesures par la même quantité pour passer de l’un à l’autre.

Ce format est toutefois bien moins utilisé que le format A ou que le C, employé pour les enveloppes. Pour obtenir une enveloppe au format C0, il faut prendre cette fois la moyenne géométrique d’une feuille A0 et d’une feuille B0. Ainsi, une enveloppe C0 peut contenir une feuille A0 sans que celle-ci ne soit pliée. La même opération permet d’obtenir les formats C1, C2, C3 qui s’intercalent à chaque fois entre les formats A et B.

Format B Format C

Et puisque nous parlons d’enveloppes, autant parler d’affranchissement. Classiquement, les feuilles que nous utilisons tous les jours ont un grammage de 80 g/m². Or, nous l’avons vu, une feuille A4 correspond à 1/16 d’une feuille A0 qui elle, fait environ 1m² et pèserait donc 80 grammes.

Un petit argument de proportionnalité et hop : 80 / 16 = 5, votre feuille A4 pèse donc 5g. Un timbre seul permettant d’affranchir jusqu’à 20g, vous en déduirez combien de feuilles vous pouvez glisser dedans – mais attention à ne pas oublier de prendre le poids de l’enveloppe en compte !

Pour compléter

  • La page Wikipédia des formats de papier, d’où proviennent ces images
  • Un article du blog Wattsupscience sur les formats A
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