[Vidéo] De l’ordre dans les tiroirs

Voilà, je me lance dans l’arène ! La première vidéo Automaths est disponible depuis presque une semaine maintenant sur Youtube et concerne un principe simple et pourtant redoutablement efficace : le principe des tiroirs !

Vous souhaitez aller un peu plus loin ? Voici peut-être de quoi satisfaire votre curiosité !

La vidéo est classée Drapeau vert, accessible à tous, mais les précisions qui suivent tiennent davantage du Drapeau rouge.

Rationnels et périodes

Parmi les nombres dits réels, il existe deux sous-catégories de nombres : ceux dits rationnels, qui peuvent s’écrire sous la forme d’une fraction, résultats d’une division de deux nombres entiers, et les irrationnels, ceux qui ne le peuvent pas.

Dans la première catégorie se rangent ainsi les nombres comme 1/3, 47/99 ou 42/187. Ces nombres, si on essaye de les écrire sous leur forme décimale, ont une propriété intéressante :

1/3 = 0.3333333…
47/99 = 0.4747474747…
42/187 = 0.224598930481283422459893048128342245989304812834…

Pourvu que notre calculatrice aille assez loin, on voit apparaître une suite de chiffres qui se répète à l’infini : c’est ce que l’on nomme la période. Il s’avère en fait que tout nombre rationnel, toute fraction, possède une écriture décimale périodique. Et il s’avère que c’est une conséquence du principe des tiroirs !

En effet, lorsque l’on fait une division décimale, soit il n’y a pas de reste, et on s’arrête là : la suite du nombre n’est donc qu’une infinité de zéro après la virgule.

Soit on ne s’arrête jamais. Or, les restes de la division sont toujours inférieurs au dénominateur (il ne peut pas rester 48 morceaux si l’on essaye de partager en 47 parts : en effet, il suffit de retirer de nouveau 47 morceaux et en donner un à chacun. C’est tout de même plus cool non ?)

Nous avons donc un nombre fini de reste possibles alors que notre développement se poursuit à l’infini. Si l’on développe alors le quotient p/q, il n’y a donc que q – 1 restes possibles, allant de 1 à q – 1 (on a exclu le cas du reste valant 0 un peu plus haut). Fatalement, il y aura, au sein des q premières étapes de la division, au moins deux restes identiques, c’est le principe des tiroirs qui nous le dit !

Et puisque la division ne dépend pas de ce qu’il se passe avant ce stade, forcément, les développements à partir de ces deux étapes aux restes identiques sera le même.

Approcher des rationnels

Dans la deuxième catégorie, celle des irrationnels, entrent par exemple √2, π, e et bien d’autres encore. Dans un certain sens, ils sont d’ailleurs bien plus nombreux que les nombres rationnels, mais c’est une autre histoire.

En revanche, il est possible d’utiliser les nombres rationnels pour les approcher d’aussi près que l’on veut. Une méthode est par exemple de prendre ce que l’on appelle les « développements décimaux tronqués ». Par exemple, √2 = 1.41421356237… avec des décimales qui continuent ainsi à l’infini. Ainsi, la suite 1, 1.4, 1.41, 1.414, 1.4142 est une suite de nombres rationnels (et mêmes décimaux) qui approche de plus en plus finement le nombre √2. Seulement, cette approche n’est pas efficace, dans le sens où les dénominateurs de ces fractions sont grands – et donc, les numérateurs sont obligés de suivre. On aimerait ainsi gagner en précision tout en restant avec des dénominateurs raisonnables, plus agréables pour des calculs à la main, comme dans l’ancien temps.

Par exemple, le nombre π a souvent été remplacé par la fraction 22/7 qui est la meilleure approximation au sens où, pour tout dénominateur plus petit que 7, l’approximation de π sera forcément moins bonne.

L’approche de Dirichlet utilisant le principe de tiroirs permet ainsi de contrôler ce dénominateur : si je me donne un entier n et un réel x, je peux approcher ce réel avec une fraction p/q telle que l’erreur est inférieure à 1/nq, mais surtout avec un dénominateur q inférieur à n.

Alors, c’est bien gentil, mais le principe des tiroirs dans tout ça, où intervient-il ?

Pour un nombre, on peut s’intéresser à sa partie fractionnaire, c’est-à-dire, celle qui vient après sa virgule. La partie fractionnaire de 1.5 est 0.5, celle de 1.4978 est 0.4978 et ainsi de suite. Cette partie fractionnaire se situe donc entre 0 et 1, 1 étant exclu, ce que l’on note [0;1[. On notera la partie fractionnaire d’un nombre A entre accolades : {A}.

Nous allons donc regarder les parties fractionnaires {0x}, {1x}, {2x}, {3x}, et ainsi de suite jusqu’à {nx} – il y en a en tout n + 1.

Or, il est possible de découper l’intervalle [0 ; 1 [ en n plus petits intervalles : [0;1/n[, [1/n;2/n[, … [(n-1)/n;1[. Ainsi, si l’on veut ranger les n+1 parties fractionnaires dans les n intervalles construits, il y aura forcément un intervalle qui contiendra deux de ces parties fractionnaires.

Ainsi, on a deux nombres différents, k et h, telles que la différence |{hx} – {kx}| est inférieure à 1/n. Il suffit alors de choisir comme nombre p la différence entre les parties entières de kx et hx, puis comme nombre q la quantité q = k – h, et on aura alors :

|x – p/q| < 1/nq

Ouf, c’est terminé !

Pour compléter

  • L’excellent article de Jean-Paul Delahaye dans Pour la Science de Janvier 2018 (n°483)

 

 

 

Cet article, publié dans Vidéo, est tagué , , . Ajoutez ce permalien à vos favoris.

Laisser un commentaire

Entrez vos coordonnées ci-dessous ou cliquez sur une icône pour vous connecter:

Logo WordPress.com

Vous commentez à l'aide de votre compte WordPress.com. Déconnexion /  Changer )

Photo Google+

Vous commentez à l'aide de votre compte Google+. Déconnexion /  Changer )

Image Twitter

Vous commentez à l'aide de votre compte Twitter. Déconnexion /  Changer )

Photo Facebook

Vous commentez à l'aide de votre compte Facebook. Déconnexion /  Changer )

Connexion à %s