Drapeau vert : Cet article ne demande aucune connaissance mathématique particulière

Le théorème de Pythagore, le fameux théorème de Pythagore…

Mais si, celui qui dit que dans un triangle rectangle, le carré de la longueur de l’hypoténuse – le côté en face de l’angle droit – est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés. Dit comme ça,on est en droit de se demander d’où sort cette formule magique…

Il est donc temps de faire un peu de géométrie !

L’aire de la figure

Commençons par une figure de base : le carré. Pour rappel, un carré possède 4 côtés de même longueur et 4 angles droits. Si l’on connaît la longueur d’un de ses côtés, on est alors capable de calculer la surface occupée par ce carré : il suffit de multiplier cette longueur par elle-même. On dit justement qu’on élève la longueur au carré.

Par exemple, un carré de 5 cm de côté recouvre une surface de 25 cm². Autrement dit, on peut placer 25 petits carrés de côté 1 cm dans ce carré-ci.

Ce carré de 5cm de côté contient 5 x 5 = 25 petits carrés de côté 1cm

Prenons alors un triangle rectangle, n’importe lequel, et plaçons des carrés sur chacun de ses trois côtés. Nous allons maintenant faire correspondre les longueurs des côtés du triangle aux aires – les surfaces – des carrés dessinés.

Le théorème de Pythagore implique qu’en découpant les deux petits carrés, on peut reconstruire parfaitement le grand carré.

Le carré de la longueur de l’hypoténuse – c’est-à-dire l’aire du carré qui repose sur le plus grand côté – est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés – l’aire des deux autres carrés.

En d’autre termes, on peut découper les deux petits carrés de manière à recouvrir parfaitement le plus grand carré, sans laisser aucun trou et sans faire se chevaucher les pièces ainsi découpées !

Puzzles et constructions

A partir de là, de nombreux puzzles ont vu le jour pour illustrer cette propriété, dont le puzzle de Périgal, présenté ci-dessous.

On peut découper les deux carrés du haut puis réarranger les pièces pour reconstruire le carré du bas.

Si vous souhaitez voir d’autres « Puzzles de Pythagore« , vous pouvez en trouver en ligne à cette adresse. A vous de les résoudre !

Naturellement, cette méthode n’est pas la seule pour parvenir à ses fins. Une méthode classiquement montrée passe par la soustraction d’aires. Pour cela, appelons a et b les longueurs des côtés de l’angle droit et c la longueur de l’hypoténuse.

Nous construisons alors un carré dont le côté a pour longueur a + b, puis nous disposons 4 triangles comme suit :

L’aire restante dans le carré, une fois quatre triangles ôtés, est la même de chaque côté.

Forcément, puisque l’on retire 4 fois la même surface, alors l’aire restante est la même à chaque fois : à gauche, c’est un carré de côté de longueur c, à droite, ce sont deux carrés de côtés respectifs a et b. Et voilà, le résultat est là !

Preuve et illustration

Il convient toutefois d’aborder ces puzzles, aussi utiles soit-il, avec prudence. Les dessins sont parfois trompeurs, et ils ne sauraient faire office de preuve à eux seuls.

Dans le théorème de Pythagore, il y a ainsi l’expression « triangle rectangle » qui apparaît, ce qui laisse supposer que ce que nous venons de faire ne serait pas valable avec un triangle quelconque (et c’est en effet le cas). Pourquoi alors ? Cette donnée apparaît-elle clairement dans les puzzles ?

On peut la voir apparaître dans la méthode de soustractions d’aire : si le triangle de départ n’était pas rectangle, alors les figures formées en clair ne seraient pas des carrés.

Et puis, nous avons là un triangle particulier, qu’est-ce qui nous dit que cela fonctionnera avec n’importe quel autre triangle rectangle ? Est-ce que les mesures n’ont pas été justement choisies pour que tout colle à la perfection ?

Encore plus sournois, est-ce que ce puzzle colle bien parfaitement ? Est-ce qu’il n’y a pas un léger interstice entre les pièces, indécelable à l’oeil mais qui fausserait toute approche mathématique ? – et nous verrons des exemples sur ce blog, croyez-le bien !

Bref, un dessin ou une animation sont de bonnes approches pour bien comprendre les enjeux et mieux se représenter ce théorème, mais elles ne suffisent pas non plus à le prouver.

Pour compléter

• Résolvez 5 puzzles sur cette page Geogebra
• Les carrés c’est bien, mais on peut faire n’importe quelle forme, comme le montre cet article de blogdemaths.
• Un article d’Images des mathématiques sur le théorème de Pythagore et ses puzzles.