[Vidéo] Autour de la Terre – Automaths #03

Nouvelle vidéo sur la chaîne Automaths : cette fois, on fait le tour de la Terre, de la tête au pied !

Si vous souhaitez allez plus loin, n’hésitez pas à lire la suite ! Autant vous avertir toutefois, ce ne sera pas forcément évident pour tous : il vous faudra mobiliser certains souvenirs de fins de collèges voire de lycée et bien manipuler le calcul littéral. Vous pouvez tout autant vous contenter du résultat incroyablement contre-intuitif, ce sera déjà quelque chose !

Puis bon, finalement, c’est du calcul un poil bourrin, alors bon…

Drapeau rouge : Cet article demande quelques connaissances mathématiques (trigonométrie) ainsi qu’une bonne capacité d’abstraction


Tendre en un point

Vous l’avez donc vu, si l’on ajoute 1 mètre à la corde qui fait le tour de la Terre, on peut surélever la corde de 16 cm en tout point, un résultat qui paraît totalement absurde.

Encore plus surprenant à mon goût, c’est cette corde que l’on soulève en un seul point cette fois-ci : on peut désormais la soulever de 120 m environ !

En gros, on passe d’une corde de 40000 km à 40000,001 et on est capable de faire passer une quarantaine d’éléphants empilés les uns sur les autres ! Pour prouver ce résultat, nous allons devoir faire appel à la trigonométrie.

On allonge la corde d’un mètre et on soulève en un point : quelle est la hauteur ainsi créée ?

Pour rappel, dans un triangle rectangle, on peut exprimer certaines quantités reliées aux angles aigus. Celles qui nous intéressent ici sont le cosinus et la tangente : il nous est donné par le rapport entre le côté adjacent à l’angle (le côté commun à l’angle droit et à l’angle observé) et l’hypoténuse – le plus grand côté du triangle.

On définit par ailleurs la tangente d’un angle par le rapport du côté opposé sur le côté adjacent.

Ici, le cosinus de l’angle bleu vaut BC/AC, sa tangente vaut AB/BC

 

En avant les calculs…

Appelons donc h la hauteur recherchée et R le rayon de la Terre. Nous allons placer plusieurs points sur notre schéma :

  • le point S, au sommet, qui correspond au point le plus haut atteint par la corde.
  • les points A et B, les deux points à partir desquels la corde se détache de la surface de la Terre.
  • le point O, centre de la Terre.

Avec nos notations, nous pouvons d’ores et déjà donner quelques valeurs : AO = BO = R, tandis que SO = R + h. D’autre part, les triangles AOS et BOS sont rectangles, respectivement en A et en B. Cela nous servira plus tard !

De plus, nous noterons T l’angle \widehat{AOS}. Notez que pour les calculs, T sera exprimé en radians : 180° correspondent à π radians. Nous avons tout ce qu’il nous faut, commençons les calculs maintenant !

Nos différents points sont placés !

D’abord, le tour de la corde de base, équivalent au tour de la Terre, vaut 2πR. Pour la longueur de la corde allongé de 1 mètre, il est possible de l’exprimer de deux façons différentes.

  • Puisque la corde est allongé d’un mètre, cette longueur vaut 2πR + 1
  • Mais, si on appelle C la longueur du grand arc de cercle entre A et B, elle vaut également C + AS + BS, ou C + 2 AS

Or, dans le triangle AOS, rectangle en A, nous avons tan(T) = AS / AO, soit AS = AO tan(T) donc AS = Rtan(T).

Par ailleurs, puisque notre angle T est exprimé en radians, la longueur du grand arc de cercle qui relie A à B vaut (2π-2T)R.

En combinant tout cela, nous obtenons :

2πR+1=2Rtan(T)+(2π-2T)R

ce qui conduit à

1 = 2R(tan(T) – T)

Il est l’heure de faire nos premières approximations : nous allons supposer que la hauteur h est petite par rapport au rayon de la Terre et que l’angle T lui-même est petit. Cette approximation nous permet alors d’approcher la quantité tan(T) – T par T3/3. Nous avons donc :

1 = 2RT3/3

ou réécrit de manière à isoler T :

T = \frac{3}{2R}*

C’est bien beau, mais ce qui nous intéresse, c’est h. Regardons alors le cosinus de l’angle T. Nous avons :

cos(T) =  AO / SO = R / (R + h)

Or, l’angle T étant toujours supposé petit, on peut approcher cos(T) par 1 – T2/2. Faisons donc :

1 - \frac{T^{2}}{2}=\frac{R}{R+h}

Puis nous allons remplacer le T de cette équation en utilisant le résultat noté *.

1 - \frac{1}{2}\left( \frac{3}{2} \right)^{2/3}\left(\frac{1}{R}\right)^{2/3}=\frac{R}{R+h}

Beurk… Courage, nous y sommes presque ! Passons le R+h de l’autre côté et développons

R + h -\frac{1}{2}\left( \frac{3}{2} \right)^{2/3}R^{1/3}- h\frac{1}{2}\left( \frac{3}{2} \right)^{2/3}\left(\frac{1}{R}\right)^{2/3}=R

Deux choses : d’abord, les R s’annulent, on peut les oublier. Ensuite, la partie h\frac{1}{2}\left( \frac{3}{2} \right)^{2/3}\left(\frac{1}{R}\right)^{2/3} est petite comparée au reste : nous pouvons donc raisonnablement l’oublier. Il en vient donc :

h \simeq \frac{1}{2}\left( \frac{3}{2} \right)^{2/3}R^{1/3}

Oui, non, on ne peut pas faire plus joli, surtout qu’il y a déjà eu pas mal d’approximations !

Bref, il est temps de répondre à notre question : comme vous le voyez ici, h dépend fortement du rayon R de la Terre ou de la sphère autour de laquelle nous attachons notre corde.

En prenant pour rayon celui de la Terre, R = 6371000 m, on obtient environ 121 mètres.

Attention si vous souhaitez appliquer cette formule à d’autres sphères : il est important ici d’exprimer votre rayon en mètres pour conserver la bonne unité ! (En effet, il est sous-entendu que le coefficient 3/2 est aussi en mètres, il faut donc utiliser cette même unité.)

Promis, la prochaine fois, ce sera moins douloureux…

Pour compléter

  • Axel Bellos, Le cercle des problèmes incongrus, Ed Flammarion, 2016

 

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