Encore du nombre d’or

Quoi ? Encore lui ? J’en avais pourtant parlé dans ma dernière vidéo, et je n’en ai pas fini ?

Eh bien non, fort loin de là ! Aujourd’hui, nous allons voir comment construire et approcher cette « divine proportion ». C’est parti !

La valeur de l’or

Revenons-en donc à la définition du nombre d’or : elle concerne la division d’un segment en deux parties telles qu’en faisant la division de la grande longueur par la petite, on obtient la même chose qu’en divisant la longueur totale par la longueur du grand morceau.

Le petit est au grand ce que le grand est au tout.

En appelant a la grande longueur (bleue) et b la petite (rouge), on obtient alors cette équation :

En mettant cette équation au carré, on en obtient une nouvelle que voici :

On retrouver d’ailleurs là une des propriétés du nombre d’or : le multiplier par lui-même revient à lui ajouter 1. Il n’y a pas de mystère !

Ce genre d’équation, les élèves de 1ère scientifique savent les résoudre à coup de discriminant et sont donc capables d’en déterminer les deux solutions. Oui, car il y a deux possibilités, mais celle qui nous intéresse est évidemment la solution positive, puisque nous parlons de rapport de longueur. On en arrive donc à la conclusion suivante :

Le rectangle alors ?

Tout ça c’est bien beau, mais ce qu’on veut nous, c’est un rectangle d’or, ce rectangle si parfait qu’il se trouve absolument partout – spoiler : non, mais on va quand même en construire un.

Commençons d’abord par tracer un triangle ABC rectangle en B ayant des côtés de l’angle droit AB de longueur 1 et BC de longueur 1/2. Grâce au théorème de Pythagore, on sait que le carré de la longueur de l’hypoténuse AC vaut 1² + (1/2)², soit 5/4. AC a donc pour longueur √5/2.

Traçons alors la droite (BC), puis un cercle de centre C et de rayon AC. Celui-ci coupe la droite en deux points M et N, M étant celui « le plus loin » du point B. Eh bien, la longueur de MB vaut MC + CB soit √5/2 + 1/2, le nombre d’or !

Fib-or-nacci

La suite de Fibonacci est une célèbre suite qui se définit ainsi : ses deux premières termes valent 1 puis, pour obtenir les termes suivants, on fait la somme des deux nombres précédents. Cette suite est donc la suite

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233…

Prenons maintenant les rapports entre les termes consécutifs (1/1, 2/1, 3/2, 5/3, …), on obtient alors une nouvelle suite, dont les valeurs arrondies sont les suivantes :

1, 2, 1.5, 1.667,  1.6, 1.625, 1.615, 1.619, 1.617, 1.618, 1.618

Les termes de cette suite semblent se rapprocher de plus en plus du nombre d’or… et c’est d’ailleurs bel et bien le cas, il ne s’agit pas d’une valeur approchée qui va différer à la 155e décimale.

Ainsi, construire des rectangles ayant pour dimensions des termes consécutifs de la suite de Fibonacci approchera efficacement un rectangle d’or. A vrai dire, si l’on ajoute un carré à l’extérieur de ces rectangles de Fibonacci, la construction de la suite nous dit que le rectangle ainsi obtenu sera également un rectangle de Fibonacci, utilisant les termes suivant de la suite.

Plutôt que de partir de 1 et 1, il est aussi possible de démarrer la suite de Fibonacci par n’importe quels entiers, pourvu que l’on conserve la règle de construction de la suite. Partons par exemple de 2 et 5, nous obtenons :

2, 5, 7, 12, 19, 31, 50, 81, 131, 212…

Et de nouveau, en faisant la division des termes par le précédent, on se rapproche inexorablement du nombre d’or.

Pourtant, la suite de Fibonacci classique est, dans un certain sens, le meilleur moyen de procéder.

Le meilleur moyen

Regardons maintenant une autre version de l’équation que doit vérifier le nombre d’or.

Il se pourrait que vous soyez pris d’une furieuse envie de remplacer φ dans le deuxième membre par 1 + 1/φ. Faisons donc !

Et pourquoi s’arrêter en si bon chemin ? Remplaçons une nouvelle fois φ dans le membre de droite.

Et nous pouvons poursuivre ce procédé à l’infini, si bien que

Nous obtenons ce que l’on appelle un développement de φ en fraction continue, et ce développement à une propriété : il fournit les meilleurs approximations rationnelles de φ.

Ce que ça veut dire, c’est que si on arrête le développement à un certain moment, on obtient alors une fraction a/b qui approche efficacement φ, dans le sens où toute fraction qui approcherait mieux le nombre d’or φ aurait forcément un dénominateur plus grand que b.

Ce nombre par exemple vaut 13/8, soit 1.625. Si l’on veut se rapprocher davantage du nombre d’or avec une fraction, il n’y a pas le choix, il faut un dénominateur plus grand que 8.

Mais, ces deux nombres 13 et 8 ne vous disent pas quelque chose ? Il s’agit des 5èmes et 6èmes termes de la suite de Fibonacci. Il s’avère qu’à l’aide d’un raisonnement par récurrence – laissé en exercice pour ce qui connaissent le procédé – on peut montrer que les approximations de φ obtenues grâce au développement en fraction continue ne sont rien d’autre que les quotients de deux termes successifs de la suite de Fibonacci.

Non seulement la suite de Fibonacci permet d’approcher le nombre d’or, mais c’est en plus la meilleure manière de le faire avec des fractions !

Bonus

Pour compléter

 

 

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3 commentaires pour Encore du nombre d’or

  1. Dr. Goulu dit :

    Comme il y a déjà pas mal de liens vers le nombre d’or, je te propose une méthode ultra-rapide pour calculer le N-ième terme de la suite de Fibonacci, pour N très grand :
    https://www.drgoulu.com/2017/04/25/comment-calculer-le-1e19-eme-terme-de-la-suite-de-fibonacci/

    J'aime

  2. Merci pour ce bel article!
    Les empilements infinis de radicaux m’ont posé un double problème : les définir et les évaluer. Cela m’a conduit à d’iétonnantes considérations que j’ai exposées sur mon blog. Voici un point d’entrée :

    https://pierrelecomte.wordpress.com/2016/10/11/a-propos-des-empilements-infinis-de-radicaux-i/

    (Le sommaire de mon blog indique la liste complète des articles que je consacre à ces questions.)

    Le nombre d’or apparaît indirectement dans ces considérations qui ont donné lieu à une question annexe. Voici le point d’entrée de la suite d’article qui lui sont consacrés :

    https://pierrelecomte.wordpress.com/2016/11/28/a-propos-dune-formule-de-carnot/

    Elle se clôture par un article où \varphi fait une nouvelle apparition … et qui se trouve ici :

    https://pierrelecomte.wordpress.com/2017/01/25/une-breve-a-propos-du-nombre-dor/

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