C’est quoi un pavage ?

Drapeau vert : Cet article ne demande aucune connaissance mathématique particulière


Je dois vous faire une confession : lorsque je visite certains monuments comme les châteaux et les églises, je ne peux m’empêcher d’aborder leur architecture par une approche mathématique : forme des voûtes, symétries, mais surtout pavages.

Oui, les pavages, ces fameux pavages qui font tant désespérer ma femme lorsqu’elle me surprend à prendre en photo les fenêtres du château de Blois plutôt que de m’intéresser à la chambre du roi -enfin, sauf lorsque le sol présente lui aussi un joli motif ! Alors voilà, il faut bien que je m’explique un peu, mais commençons par le commencement !

C’est quoi un pavage ?

Le pavage, c’est tout bêtement le carrelage de votre salle de bain !

Plus précisément, on se donne un nombre fini de formes géométriques, que l’on appelle les tuiles. Restons dans le classique et commençons avec une dalle de carrelage carré. Le but de la manoeuvre, c’est de recouvrir tout le sol de votre salle de bain à l’aide de ces petits carrés, sans laisser le moindre trou et sans que les carrés ne se chevauchent, bien évidemment.

Ce carrelage est un pavage ayant un carré pour tuile de base.

Vous avez réussi ? Bravo ! Vous avez réalisé le pavage de votre salle de bain. Alors, nuançons tout de même : pour réaliser un pavage proprement dit, il faut paver une salle de bain infiniment grande.

Plusieurs motifs différents

Pavage d’Escher, utilisant des lézards comme tuiles

Pour notre premier pavage, nous avons commencé simplement avec un carré, mais il est possible d’utiliser d’autres tuiles de base, comme des triangles et les hexagones réguliers, ou d’autres un peu plus compliquées.

Un pavage utilisant des hexagones légèrement déformés

Les hexagones, d’ailleurs, se retrouvent aussi dans la nature comme par exemple dans les ruches ou dans la forme des colonnes de basalte : il s’avère que ce pavage est le « plus économique », dans le sens où, si l’on souhaite mettre des joints entre les tuiles de notre pavage, à surface de tuile donnée, c’est le pavage hexagonal qui nous permettra d’économiser le plus de joints – et de temps ! Ce théorème porte le nom du théorème du nid d’abeilles et a été prouvé en 1999 par Thomas Hales, autant dire qu’il est très récent.

Les abeilles seraient-elles de brillantes mathématiciennes ?

On peut bien sûr explorer les polygones non réguliers : si un pentagone régulier ne permettra jamais de paver le plan, d’autres pentagones feront un joli carrelage, comme c’est par exemple le cas dans le pavage du Caire.

Pavage du Caire, quatre pentagones sont assemblés pour former un hexagone

Rien ne nous interdit également d’utiliser deux ou trois tuiles différentes et de les combiner pour paver le plan : c’est par exemple le cas du pavage « carré adouci » qui utilise des tuiles en forme de carrés et de triangles équilatéraux.

Notez d’ailleurs que, dans ce pavage, chaque sommet du polygone est le point de rencontre de deux carrés et de trois triangles : un tel pavage est dit uniforme, et il en existe 11 au total.

On peut encore aller plus loin selon le nombre de points de rencontre différents que l’on s’impose, mais pour cela, je vous conseille la très complète vidéo d’Eljj sur le sujet.

Une des fenêtres du château de Blois, à l’origine de cet article !

Mais pourquoi on fait ça ?

Un pavage, c’est joli, c’est mignon, mais à quoi ça sert ? L’intérêt de l’étude de ces pavages remonte au XVIIIe siècle, avec l’abbé René Just Haüy. Celui-ci eut en effet le malheur de laisser tomber un cristal de calcite, lequel se brisa alors. Surpris, puisque ces cristaux étaient supposés très résistants, l’abbé essaye alors de briser d’autres cristaux de son importante collection à l’aide d’un marteau. Il n’y parvint que selon certains angles bien précis. Il continua ainsi ses coups de marteaux et obtint une forme semblable à celle d’un cristal intact, mais en plus petit bien entendu.

Les cristaux, à l’origine de la fascination pour les pavages ?

L’idée lui vint alors qu’un cristal serait en fait l’assemblage de mailles de petites tailles, mais toujours de la même forme : tout comme un carré peut être découpé en 4 carrés plus petits, il serait possible de découper un cristaux en un certain nombres de mailles plus petites… Du moins pendant un temps. Lorsque ce découpage n’est plus possible, on obtient alors une maille élémentaire.

Un cristal serait donc l’assemblage de ces mailles élémentaires, toutes similaires et collées les unes avec les autres selon leur face.

La question que l’on se pose alors est celui de la forme des mailles : quelles sont les possibilités ? Contrairement à ce que nous avons fait avec nos pavages, il ne s’agit plus ici de paver un plan avec des dalles mais de remplir tout l’espace avec des solides, des polyèdres plus précisément.

Le plan comme départ

Le remplissage de tout l’espace est bien complexe, ceci dit ! Pour comprendre ceux-ci, simplifier le problème n’est pas du luxe, et une première idée est de se restreindre au plan, aux pavages. On chercha donc à classer tous les pavages du plan possible à l’aide d’une seule tuile polygonale :

  • D’abord, il est possible de paver le plan avec n’importe quelle tuile triangulaire ou n’importe quel quadrilatère. Ca c’est fait.
  • Ensuite, dès que l’on a des polygones de plus de 7 côtés, ce n’est pas possible, peu importe la forme du polygone.

Restent alors les pentagones et hexagones. Le but est donc de trouver des conditions que doivent remplir les tuiles pentagonales ou hexagonales pour pouvoir remplir le plan.

Les hexagones qui pavent le plan se divisent alors en trois classe, un même hexagone pouvant appartenir à plusieurs classes différentes.

Pour le pentagone, obtenir un résultat définitif a été bien plus compliqué. A plusieurs reprises, des mathématiciens ayant affirmé avoir obtenu une classification complète des pentagones pavant le plan se sont vus contredits par la découverte d’un nouveau modèle. On citera notamment Marjorie Rice, en 1977, ajouta pas moins de 4 classes à la collection, alors même qu’elle n’a suivi aucune formation mathématique particulière !

La question fut réglée en 2017, lorsque Michael Rao prouva, à l’aide de l’informatique, qu’il n’y avait que 15 classes de pentagones qui pavent le plan. Bref, pour le plan, c’est fini.

Les 15 classes de pavages pentagonaux.

Pour l’espace… Il faudra encore de petits efforts !

Pour compléter

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Un commentaire pour C’est quoi un pavage ?

  1. Ping : Excursions touristiques dans les pavages – Pierre Carrée

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