Paradoxe des deux enfants – Episode 2 !

Pour le premier épisode : cela se passe ici ! Rassurez-vous, il n’est pas utile de comprendre toute la vidéo pour bien suivre la suite du raisonnement !

Ce paradoxe peut s’expliquer en deux mots : probabilité conditionnelle

Peut-être vous êtes-vous dit que l’on calculait à chaque fois les mêmes probabilités, qu’il n’y avait pas lieu que celles-ci changent. Hélas !

A chaque fois, l’événement « Avoir deux filles » était conditionné suivant d’autres événements. Ainsi, la probabilité d' »Avoir deux filles » sachant l’événement « Le couple a au moins une fille » est de 1/3, alors que la probabilité de l’événement « Avoir deux filles » sachant l’événement « Le couple a une fille née un mardi » est de 13/27

Heureusement, une formule bien connue nous permet de nous y retrouver. Nous l’avons déjà rencontrée dans un précédent article, il s’agit de la formule de Bayes.

Dans le premier cas, cette formule s’écrit comme suit (pour rappel, le | se lit « sachant que ») :

P(Le couple a deux filles | Le couple a au moins une fille) = P (Le couple a au moins une fille | Le couple a deux filles) x P (Le couple a deux filles) / P (Le couple a au moins une fille)

  • P (Le couple a au moins une fille | Le couple a deux filles) = 1. Enfin, si le couple a deux filles, c’est qu’il en a au moins une.
  • P (Le couple a deux filles) = 1/4. En effet, chaque enfant a une chance sur 2 d’être une fille, et 1/2 * 1/2 = 1/4
  • P (Le couple a au moins une fille) = 3/4. On peut le voir comme étant 1 – P (Le couple a deux garçons), donc 1 – 1/4 = 3/4

En fin de compte, on a bien P(Le couple a deux filles | Le couple a au moins une fille) = 1/3

Obtenir l’information

Oui mais voilà, je n’ai pas fini de vous retourner le cerveau ! Voici deux formulations pour vous faire travailles vos petits méninges :

  1. On demande à M. Dupond, qui a deux enfants, s’il a au moins une fille. Il répond « Oui »
  2. On demande à M. Dupont, qui a deux enfants, de lui donner le sexe d’un de ses enfants, il répond « Fille »

Quelle est la probabilité que chacun de ces messieurs aient deux filles ?

Pour le premier, rien ne change : c’est 1/3. On est dans le même cas de figure.

Pour le deuxième en revanche, imaginez que M. Dupont ait un garçon et une fille. Il aurait très bien pu répondre « Garçon » après tout ! Contrairement aux apparences, on ne regarde pas les mêmes événements.

Imaginons que M. Dupont choisisse au hasard un de ses enfants, sans préférence, et en donne le sexe. Voici toutes les possibilités, suivant le sexe de ses enfants.

Nous cherchons donc la probabilité que M. Dupont ait deux garçons sachant qu’il a répondu « Garçon ». Utilisons la formule de Bayes :

P(M. Dupont a deux filles| M. Dupont répond Fille) = P(M. Dupont répond Fille |M. Dupont a deux filles) x P(M. Dupont a deux filles) / P(M. Dupont répond Fille)

  • P(M. Dupont répond Garçon |M. Dupont a deux garçons) = 1. Si M. Dupont a deux garçons, il répondra forcément Garçon a la question
  • P(M. Dupont a deux garçons) = 1/4, comme plus haut
  • P(M. Dupont répond Fille) = 1/2. Il suffit d’additionner toutes les probabilités dans l’arbre, lorsque M. Dupont répond Fille : 1/4 + 1/8 + 1/8 = 1/2

Finalement P(M. Dupont a deux filles| M. Dupont répond Fille)  = 1/2

Non seulement, certaines informations ne sont pas anodines, mais en plus, l‘acquisition de l’information peut tout changer !

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