Les moyens de moyenner

Drapeau vert : Cet article ne demande aucune connaissance mathématique particulière


Si vous avez fait un tour sur Blogdemaths, vous avec surement lu cet article poétiquement intitulé Harmonique, nique, nique, qui vous présentait une autre manière de calculer une moyenne, selon le contexte. C’est ce que l’on appelle la moyenne harmonique.

Seulement, des moyennes, il en existe une belle fournée – à vrai dire, on peut en fabriquer autant qu’on veut, mais certaines sont plus utiles que d’autres…

Petit tour d’horizon !

C’est quoi une moyenne ?

Avant d’aller plus loin, il convient de rappeler ce que l’on appelle une « moyenne ». Dans vos souvenirs de collège, vous avez peut-être inscrit quelque part que pour calculer une moyenne, il suffit d’additionner toutes les valeurs puis de diviser par le nombre de valeurs.

Hélas ! C’est une formule que vous retenez, pas le concept qui est derrière.

Prenons l’exemple de Paulo le cheval qui doit traîner sa carriole et les personnes  l’intérieur. Il s’avère que, dans sa charrette, Paulo transporte 5 personnes dont les poids sont de 70, 42, 84, 24 et 60 kilogrammes – non, je ne sais pas si un vrai cheval est bien capable de déplacer une telle charge, mais c’est un cheval mathématique ici, ne sous-estimez pas ses capacités.

Au total, Paulo doit donc déplacer 280 kilos, et c’est bien tout ce qui l’intéresse. Tout au plus pourrait-on lui murmurer à l’oreille qu’il doit transporter 5 personnes de 280/5=56 kilos chacune que ça ne lui changerait rien.

Paulo et Paula sont prêts à partir..

C’est là tout l’intérêt de la moyenne : à partir de plusieurs observations faites sur un certain nombre d’individus, il faut assigner à chacun de ces individus une valeur qui laisse le total des observations inchangé. Dans notre cas, que les 5 personnes aient le poids énoncé plus haut ou pèsent toutes 56 kg, cela ne change rien pour notre cheval.

Toute la nuance de la moyenne réside en fait dans ce mot « total ». S’il nous paraît parfois raisonnable de convertir le mot « total » en « somme », il y a des situations où l’on ferait mieux de se retenir violemment.

D’autres moyennes

A ce titre, on peut reprendre la moyenne harmonique présentée sur Blogdemaths.

Si un automobiliste roule à 60 km/h durant une certaine distance puis à 100 km/h durant une même distance, sa vitesse moyenne durant son parcours sera de 75 km/h, et non de 80. Faire une somme de vitesse n’a pas de sens. Tout ce que l’on peut faire, c’est additionner des distances ou des temps.

Dans un autre registre, imaginez donc que le prix de la baguette double l’année prochaine, puis, suite à une crise massive, soit multiplié par 8 l’année suivante. Quelle aura été son augmentation moyenne ?

Au total, la baguette a été multipliée par 2 puis par 8, soit par 16 en deux ans. Notre total est ici déterminé par une multiplication. Il faut maintenant prendre la racine carrée de 16, soit 4, pour obtenir la multiplication moyenne du prix du pain. Multiplier par 2 puis par 8 revient bien à multiplier deux fois de suite par 4. C’est ce qu’on appelle la moyenne géométrique.

Moyenne géométrique

Si l’on considère deux nombres positifs a et b, la moyenne géométrique g de ces deux nombres est telle que a/g = g/b. Autrement dit, on se retrouver avec g²=ab, d’où :

g=\sqrt{ab}

On peut interpréter ce résultat géométriquement (ah, ah !) : g est la longueur du côté du carré ayant même aire que le rectangle ayant pour longueurs de côté les nombres a et b.

Autre interprétation dans un triangle rectangle : la moyenne géométrique de a et b est la longueur de la hauteur issue de l’angle droit qui partage l’hypoténuse de longueur a+b en deux segments de longueur a et b. Et comme un dessin vaut mieux qu’un long discours…

Moyenne géométrique

Moyenne géométrique de deux nombres positifs

On peut, pour s’en convaincre, remarquer que les deux angles signalés en vert ici sont égaux. Or, les amateurs de trigonométrie auront noté que la tangente de ces angles vaut a/g pour l’un et g/b pour l’autre : on en revient à la définition de la moyenne géométrique.

Notons au passage que la moyenne arithmétique correspond à la longueur du rayon du cercle circonscrit à ce triangle rectangle. Elle  est donc forcément supérieur ou égale à la moyenne géométrique.

Il est également possible de placer la moyenne harmonique sur ce dessin, ainsi qu’une autre moyenne : la moyenne quadratique, qui vaut :

q = \sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}

Moyennes

Différentes moyennes sur un seul dessin

Pour les amateurs de rugby, sachez au passage que la moyenne géométrique vous permettra de placer optimalement votre ballon dans le cas d’une tentative de transformation d’essai.

L’angle est maximal lorsque la longueur x est la moyenne géométrique des longueurs a et b.

Pour aller un peu plus loin dans la moyenne…

La moyenne géométrique, comme les moyennes arithmétiques et harmoniques, peut se généraliser à plus de deux observations : il suffit de prendre la racine n-ième du produit de toutes les observations. Ainsi, si le prix du pain était multiplié par 2, puis par 9, puis par 12, on aurait une multiplication moyenne de \sqrt[3]{2\times 9 \times 12}, soit un prix du pain multiplié en moyenne par 4 chaque année.

Sachez également que si ces moyennes ne vous conviennent pas, il vous est possible d’en créer à volonté : si l’on considère une fonction f qui est monotone sur l’ensemble des réels strictement positifs, la formule

f(m)=\frac{f(a)+f(b)}{2}

permet de définir une moyenne selon f. En prenant par exemple f(x)=x, on retrouve la moyenne arithmétique. En prenant f(x)=ln(x), c’est la moyenne géométrique…

Ne vous reste plus qu’à donner un sens à tout cela…

Pour compléter

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