Ne pas faire phi des fourmis

Vous savez à quoi ressemble une fourmi, n’est-ce pas ? Mais savez-vous comment elles se reproduisent ?

Au sein d’une colonie de fourmis, c’est la reine qui se charge de la ponte des œufs. Celle-ci peut alors décider, selon les besoins de la fourmilière, de les féconder en utilisant un spermatozoïde gentiment stocké dans sa spermathèque, ou de le laisser tel quel. Dans le premier cas, l’œuf donnera naissance à une fourmi femelle. Dans le second cas, ce sera un mâle. Oui, la reine des fourmis a la possibilité de décider du sexe de ses descendants, mais n’entrons pas dans ce débat voulez-vous ?

Posons-nous plutôt la question : mais pourquoi diable nous parle-t-on de fourmis dans un blog qui se veut de « vulgarisation mathématique » ? Nous allons en fait nous intéresser aux arbres généalogiques de ces insectes.

Plutôt que d’analyser la descendance, regardons alors l’ascendance.

  • Toute fourmi mâle n’a qu’un seul parent, qui est la reine, une femelle
  • Toute fourmi femelle possède, elle, deux parents : un mâle et une femelle.

Dressons donc l’arbre généalogique d’un individu mâle, par exemple. Il devrait ressembler à ceci :

Le but de notre exerc… article du jour est de compter le nombre d’ascendants de cette fourmi mâle. Nous noterons ainsi an le nombre d’ascendants à la génération n. Par exemple a0 vaut 1, a1 = 1, a2 = 2, a3 = 3, a4 = 5, et ainsi de suite.

1, 1, 2, 3, 5… Cela vous dit peut-être quelque chose…

De la même manière, nous allons noter mn le nombre de mâles et fn le nombre de femelles à la génération n. Il est simple de voir que, pour n’importe quelle génération n, an = mn + fn. Le nombre d’ascendants est égal au nombre d »ascendants mâles ajouté au nombre d’ascendants femelles.

Nous allons maintenant traduire les données de notre « énoncé ».

  • Toute fourmi mâle n’a qu’un seul parent, qui est la reine, une femelle
  • Toute fourmi femelle possède, elle, deux parents : un mâle et une femelle.

Plaçons-nous à une génération n quelconque. Le nombre de mâles à la génération suivante, la génération n+1, est égal au nombre de femelle de la génération n : en effet, seules les femelles ont un mâle comme ascendant direct.

En revanche, le nombre de femelles de la génération suivante est égal eu nombre de mâle et de femelles de la génération n : chaque fourmi a en effet un ascendant femelle, quel que soit son sexe. Nous avons donc établi deux relations :

  • mn+1=fn
  • fn+1=mn+fn

Passons à la génération suivante, la génération n+2. Le raisonnement est strictement identique au précédent

  • mn+2=fn+1=mn+fn=an
  • fn+2=mn+1+fn+1=an+1

Et dans tout cela, on peut récupérer le nombre total d’ascendants à la génération n+2, il suffit d’ajouter les mâles et les femelles :

  • an+2=mn+2+fn+2=an+an+1

Nous avons donc établi la relation suivante :

  • an+2=an+an+1

En d’autres termes, pour avoir le nombre d’ascendants à une certaine génération, il faut additionner le nombre d’ascendants des deux générations précédentes. Par exemple, à la génération 4, il y a 5 ascendants, ce qui est bien la somme du nombre d’ascendants de la génération 3 (3) et de la génération (2). Vous pouvez compléter cet arbre et vous verrez qu’à la génération suivante, il y aura 5 + 3 = 8 ascendants.

D’ailleurs, le nombre de mâles et le nombre de femelles à chaque génération obéit également à cette relation. Essayez donc !

Cette suite, c’est la très connue suite de Fibonacci, que l’on doit au mathématicien éponyme. Cela dit, lui n’étudiait pas vraiment l’ascendance d’une fourmi mais plutôt de la descendance d’un couple de lapins… Chacun son truc.

Toujours est-il que cette suite a diverses propriétés, que vous pourrez observer dans  quelques-unes des vidéos que j’ai pu publier.

L’une d’elle est que si je divise un terme de la suite par le précédent, le résultat se rapproche d’une quantité que l’on nomme le nombre d’or, aussi appelé Phi… Oui, il fallait au moins que j’explique le titre !

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