Des égalités remarquables

Drapeau rouge : Cet article demande quelques connaissances mathématiques intermédiaires ainsi qu’une bonne capacité d’abstraction


Voici un petit lot d’égalités : essayez donc de percevoir le schéma qui semble se cacher derrière.

Si vous ne me faites pas confiance, vous pouvez toujours vérifier ces calculs sur ce site qui vous permettra de manipuler de si grands nombres (car il se pourrait que votre pauvre petite calculatrice ne tienne pas le coup…).

Alors hasard ou généralité ? Peut-on ainsi ajouter à sa guise des 6, des 0 et des 3 et conserver cette égalité, ou viendra-t-il un moment où cette égalité ne tiendra plus ?

Attention, la démonstration qui suit contient quelques traces de bourrinisme calculatoire. Aussi, si manipuler des nombres et des lettres vous effraie, arrêtez-vous ici et dites-vous que vous avez découvert des égalités absolument surprenantes ! Sinon, continuez donc, vous ne serez pas déçus du voyage.

L’astuce est de remarque que les nombres en jeu ressemblent farouchement au début du développement décimal de fractions bien connues.

Pour prouver nos égalités, nous allons donc remarquer que, pour tout entier positif n, on a les relations suivantes. D’abord

Ou il y a exactement n fois le nombre 6. L’astuce est en effet de multiplier la fraction 1/6 et d’en retirer sa mantisse, c’est-à-dire sa partie « après la virgule ». En procédant de même avec les deux autres nombres en jeu, nous avons donc :

avec exactement n zéros, et pour finir

avec cette fois n+1 fois le chiffre 3. Il est désormais temps de cuber tout cela et d’ajouter gaiement. C’est le moment de se retrousser les manches.

Nous allons commencer par factoriser le second membre pour ne pas avoir à se traîner trop de fractions.

Si on développe toute cette parenthèse (développement laissé en exercice), on obtient alors

Courage, c’est bientôt fini. Regardons maintenant le nombre 16…6650…0033…33. Celui-ci se décompose en

où l’entier n désigne toujours le nombre de 6 et de 0, et n+1 le nombre de 3. Reprenons alors les relations que nous avions remarqué un peu plus tôt.

Et magie ! Nous retrouvons exactement la même expression… Ouf, tout est bien qui finit bien !

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Un commentaire pour Des égalités remarquables

  1. Fourure d'ongle et œuf de madeleine dit :

    Très intéressant ! Mais est-ce qu’il y a une explication ? Car ce calcul ne me satisfait pas personnellement… On voit que le résultat est lié à l’égalité (1/6)^3 + (1/2)^3 + (1/3)^3 = 1/6, qui explique tout seul les premières décimales (16666…6), et encore il faut faire attention au dernier 6. Mais qu’en est-il des suivantes ?

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