Approcher Pi

3.14159265358979323846… et ainsi de suite. Je pourrais bien vous écrire toutes les décimales du nombre π, mais j’ai peur de manquer de place. Aussi, je ne me contenterais que d’une approximation.

Et non, il ne s’agit pas de 3.14, mais plutôt d’une fraction : 22/7 – comme 22 juillet, la date du jour, comme c’est convenu ! A vrai dire, il s’agit là d’une des toutes meilleures fractions pour estimer ce nombre magique…

Des fractions continues

Vous avez peut-être déjà entendu parler de l’algorithme d’Euclide, qui consiste à trouver le plus grand diviseur commun entre deux nombres. Prenons un exemple, on cherche le plus grand diviseur commun de 5486 et 286. On écrit alors la division euclidienne de 5486 par 286

  • 5486 = 19 x 286 + 52, on fait alors le division euclidienne de 286 par 52
  • 286 = 5 x 52 + 26, on fait la division euclidienne de 52 par 26
  • 52 = 2 x 26 + 0, on a terminé.
  • Le plus grand diviseur commun à 5486 et 286 est le dernier reste non nul de cet algorithme, c’est-à-dire 26.

Ce n’est pas vraiment ce qui va nous intéresser pour arriver à nos 22/7 à vrai dire. Nous allons plutôt combiner nos égalités.

D’abord, puisque 5486 = 19 x 286 + 52, si on divise le tout par 286, on obtient que \dfrac{5486}{286}=\dfrac{19 \times 286 + 52}{286}=19+\dfrac{52}{286}.

Nous allons alors renverser la dernière fraction, et utiliser la deuxième de nos divisions euclidiennes

\dfrac{5486}{286}=19+\dfrac{52}{286}=19+\dfrac{1}{\dfrac{286}{52}}=19+\dfrac{1}{\dfrac{5\times 52 + 26}{52}}=19+\dfrac{1}{5+\dfrac{26}{52}}

En simplifiant alors 26/52, (ce qui revient, en fait, à se servir de la dernière division euclidienne), on en vient à la dernière égalité

\dfrac{5486}{286}=19+\dfrac{52}{286}=19+\dfrac{1}{\dfrac{286}{52}}=19+\dfrac{1}{\dfrac{5\times 52 + 26}{52}}=19+\dfrac{1}{5+\dfrac{1}{2}}

Cette succession de fraction de fraction de fraction s’appelle, dans le jargon, une fraction continue. Il est possible de reprendre ce petit algorithme avec n’importe quels nombres entiers… Mais pas seulement.

Approcher Pi

Ce petit jeu, nous pouvons le faire avec π . En effet, nous savons que π = 3.14159265358979323846.. = 3 + 0.14159265358979323846. Comme nous avons fait précédemment, nous allons renverser le dernier terme.

\pi = 3 + \dfrac{1}{\dfrac{1}{0.14159265358979323846..}}= 3+\dfrac{1}{7,06251331...}

On obtient donc une valeur approché se π qui vaut 3 + 1/7, soit 22/7 ! Cette estimation est assez bonne, puisqu’elle a une précision de 2 chiffres après la virgule. En effet, 22/7 vaut environ 3.1428. Mieux encore, si vous essayez d’approcher π avec une fraction ayant un dénominateur inférieur à 7 (et quand je dis fraction, je parle de fraction avec des nombres entiers, je vous vois venir au fond), vous ne pourrez pas avoir un meilleur résultat ! Ces développements particuliers donnent en ce sens les meilleurs approximations possibles des nombres réels.

En effet, on peut continuer encore un bout de temps notre développement. A l’étape suivante, on aurait alors :

\pi \simeq 3 + \dfrac{1}{7 + \dfrac{1}{15}}

Soit une approximation de π à 355/113, soit environ 3.14159292… avec 6 décimales juste !

Spirale de Pi

Ces approximations étaient importantes du temps où les calculs se faisaient à la main : en manipulant des nombres pas trop grands mais fournissant une précision suffisante, il était possible de faire des calculs certes, incorrects, mais suffisamment proches de la réalité.

Faisons par exemple une expérience : partons d’un point sur l’axe horizontal d’un repère, puis mettons un deuxième point après avoir fait π tours autour de l’origine, puis un troisième après de nouveau π tours autour de l’origine, et ainsi de suite. Nous obtenons cette figure.

Voyez-vous les 7 branches qui semblent se dessiner ? C’est justement parce que π est proche de 22/7 : faire π tours, c’est un peu comme faire 3 tours complets puis un septième de tours. Sur l’animation suivante, vous avez ainsi, en vert, les points qui apparaissent tous les π tours, et en rouge, tous les 22/7 tours.

Et le résultat est encore bluffant avec la fraction 355/113, ici en bleu, puisqu’il est impossible de distinguer le bleu du vert. Efficace, comme approximation, n’est-ce pas ?

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