Suites de diviseurs

Vous connaissez peut-être déjà la conjecture de Syracuse, déjà abordée dans un billet de blog. Elle consiste à prendre un nombre de départ, puis à lui appliquer une petite opération, et recommencer avec le nombre obtenu. Il existe de nombreux algorithmes de ce genre, comme celui relatif à la persistance multiplicative des nombres. En voici un autre que je vous présente aujourd’hui.

Suite aliquote

Prenons le nombre 20. Ses diviseurs propres, c’est-à-dire différents de lui-même, sont 1, 2, 4, 5 et 10. Si l’on fait la somme de ces diviseurs propres, on obtient 22.

On recommence alors, les diviseurs propres de 22 sont 1, 2 et 11, dont la somme vaut 14. Les diviseurs propres de 14 sont 1 et 7, sont la somme vaut 8.

On fait la somme des diviseurs propres de 8 : 1 + 2 + 4 = 7. 7 n’a qu’un seul diviseur propre qui est 1, et 1 n’ayant pas de diviseur propre, on s’arrête ici.

La suite obtenue, 20, 22, 14, 8, 7, 1 s’appelle la suite aliquote de racine 20.

Des nombres particuliers

Essayons maintenant de construire la suite aliquote de racine 6.

Les diviseurs stricts de 6 sont 1, 2 et 3, dont la somme vaut 6… Vous l’avez compris, la suite aliquote va boucler à l’infini, 6, 6, 6, 6, 6.

Un tel nombre est ce que l’on appelle un nombre parfait, et rien que ceux-là ont leur part de mystère. A ce jour, on en a trouvé une cinquantaine, en relation avec certains nombres premiers (vous en saurez plus dans cet article). En existe-t-il une infinité ? En existe-t-il qui soient impairs ? Aucune réponse à ces deux questions…

Regardons maintenant la suite aliquote de racine 220.

  • La somme de ses diviseurs propres est 1+2+4+5+10+11+20+22+44+55+110=284
  • La somme des diviseurs propres de 284 est 1+2+4+7+71+142=220

Cette fois, la suite boucle entre deux nombres, 220 et 284 : ces nombres sont dits amicaux.

La généralisation se fait alors rapidement : des nombres sont dits sociables si la suite aliquote issue de l’un de ces nombres boucle infiniment sur ces nombres.

Les nombres 1264460, 1547860, 1727636, 1305184 sont par exemple sociables, chaque nombre étant la somme des diviseurs propres du nombre précédent (en revenant sur le premier).

Il existe également une suite de 28 nombres qui vérifient cette propriété, qui est la suivante :

14316 → 19116 → 31704 → 47616 → 83328 → 177792 → 295488 → 629072 → 589786 → 294896 → 358336 → 418904 → 366556 → 274924 → 275444 → 243760 → 376736 → 381 028 → 285 778 → 152990 → 122410 → 97946 → 48976 → 45946 → 22976 →
22744 → 19916 → 17716  (→ 14316 )

Mais peut-on en trouver pour toutes les longueurs ?

Des problèmes irrésolus

La réponse est… on ne sait pas !

A vrai dire, une conjecture est faire : il n’existerait aucune séquence dont la longueur est un nombre de la forme 4k+3, c’est-à-dire 3, 7, 11, 15 etc…

A ce jour, si seuls 50 nombres parfaits ont été trouvés, plus d’un milliard de nombres amicaux existent. 5000 environ font partie d’une suite de taille 4. Ont été également trouvées des suites de longueur 5, 6, 8, 9 et donc 28, mais rien d’autre à ce jour.

Et à vrai dire, on ne sait pas non plus si cet algorithme se termine forcément, à l’image de la conjecture de Syracuse. Sauf qu’il suffit de chercher beaucoup moins loin pour trouver les récalcitrants.

C’est le cas par exemple des suites aliquotes ayant pour racine 276, 552, 564, 660 et 966. Le premier de ces nombres aboutit, à la 469ème étape, au nombre 149 384 846 598 254 844 243 905 695 992 651 412 919 855 640. Ces suites n’ont toujours pas trouvé de fin, et peut-être n’en ont-elles pas ?

C’est tout l’objet de la conjecture de Catalan-Dickson : selon celle-ci, toute suite aliquote aboutit soit au nombre 1, soit à un groupe de nombres sociables. Elle exclut donc une suite qui ne ferait que prendre de nouvelles valeurs à chaque itération.

Enfin, si vous vous ennuyez pour la fin des vacances, voilà de quoi vous occuper !

Pour en savoir plus

  • Nombres amiables et suites aliquotes, Jean-Paul Delahaye, Pour la Science n°292
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