Des identités toujours plus remarquables

Voici un petit billet pour faire écho à la dernière vidéo sur les identités remarquables. Si vous n’y avez pas jeté un coup d’oeil, vous la trouverez ci-dessous !

Avec plus de nombres ?

Très bien, nous savons calculer le carré de la somme de deux nombres… Mais qu’en est-il pour la somme de 3 nombres ? Un raisonnement similaire à celui utilisé dans la vidéo nous amène à tracer la figure suivante.

Ce carré a un côté de longueur (a + b + c), son aire est donc (a + b + c)². Seulement, en découpant le tout, on peut se rendre compte que

(a + b + c)² = a² + b² + c² + 2ab + 2bc + 2ac

Et évidemment, vous pouvez continuer avec 4, 5, 6, 42 nombres, selon vos goûts et surtout votre motivation. Fort heureusement, les mathématiciens ont une manière bien à eux de l’écrire.

Moui, pas certain que ce soit la formule la plus sexy…

En trois dimensions

Le raisonnement que l’on peut faire avec notre carré en 2 dimension se fait également avec un cube en 3 dimensions. Si l’on se donne deux nombres a et b, que peut bien valoir
(a +b)3 ?

Traçons une figure pour le comprendre : voici un cube dont le côté à une longueur de (a+b), et dont le volume vaut donc (a +b)3

Ce cube peut être découpé en 4 types de parties que voici :

Un premier cube, de côté a, dont le volume vaut par conséquent a3

Trois pavés droits dont les côtés sont de longueur a, a et b. Le volume de chaque pavé vaut ainsi a x a x b, soit a²b. Le volume des trois pavés est donc 3a²b

3 autres pavés droits dont les côtés sont de longueur a, b et b. Le volume de chaque pavé vaut alors a x b x b, soit ab². Il y a trois pavés, soit un volume total de 3ab²

 

Finalement, un cube de côté b, dont le volume vaut b3

En ajoutant tous les volumes ainsi découpés, on obtient une nouvelle égalité

Il est évident qu’un tel raisonnement tient aussi en dimension 4, 5 ou 6, mais j’ai un peu de mal à vous le représenter.

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Un commentaire pour Des identités toujours plus remarquables

  1. JDragonB dit :

    Cela paraît tellement évident maintenant… 😮😎

    J'aime

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