C’est quoi un pavage ?

Drapeau vert : Cet article ne demande aucune connaissance mathématique particulière


Je dois vous faire une confession : lorsque je visite certains monuments comme les châteaux et les églises, je ne peux m’empêcher d’aborder leur architecture par une approche mathématique : forme des voûtes, symétries, mais surtout pavages.

Oui, les pavages, ces fameux pavages qui font tant désespérer ma femme lorsqu’elle me surprend à prendre en photo les fenêtres du château de Blois plutôt que de m’intéresser à la chambre du roi -enfin, sauf lorsque le sol présente lui aussi un joli motif ! Alors voilà, il faut bien que je m’explique un peu, mais commençons par le commencement !

C’est quoi un pavage ?

Le pavage, c’est tout bêtement le carrelage de votre salle de bain !

Plus précisément, on se donne un nombre fini de formes géométriques, que l’on appelle les tuiles. Restons dans le classique et commençons avec une dalle de carrelage carré. Le but de la manoeuvre, c’est de recouvrir tout le sol de votre salle de bain à l’aide de ces petits carrés, sans laisser le moindre trou et sans que les carrés ne se chevauchent, bien évidemment.

Ce carrelage est un pavage ayant un carré pour tuile de base.

Vous avez réussi ? Bravo ! Vous avez réalisé le pavage de votre salle de bain. Alors, nuançons tout de même : pour réaliser un pavage proprement dit, il faut paver une salle de bain infiniment grande.

Plusieurs motifs différents

Pavage d’Escher, utilisant des lézards comme tuiles

Pour notre premier pavage, nous avons commencé simplement avec un carré, mais il est possible d’utiliser d’autres tuiles de base, comme des triangles et les hexagones réguliers, ou d’autres un peu plus compliquées.

Un pavage utilisant des hexagones légèrement déformés

Les hexagones, d’ailleurs, se retrouvent aussi dans la nature comme par exemple dans les ruches ou dans la forme des colonnes de basalte : il s’avère que ce pavage est le « plus économique », dans le sens où, si l’on souhaite mettre des joints entre les tuiles de notre pavage, à surface de tuile donnée, c’est le pavage hexagonal qui nous permettra d’économiser le plus de joints – et de temps ! Ce théorème porte le nom du théorème du nid d’abeilles et a été prouvé en 1999 par Thomas Hales, autant dire qu’il est très récent.

Les abeilles seraient-elles de brillantes mathématiciennes ?

On peut bien sûr explorer les polygones non réguliers : si un pentagone régulier ne permettra jamais de paver le plan, d’autres pentagones feront un joli carrelage, comme c’est par exemple le cas dans le pavage du Caire.

Pavage du Caire, quatre pentagones sont assemblés pour former un hexagone

Rien ne nous interdit également d’utiliser deux ou trois tuiles différentes et de les combiner pour paver le plan : c’est par exemple le cas du pavage « carré adouci » qui utilise des tuiles en forme de carrés et de triangles équilatéraux.

Notez d’ailleurs que, dans ce pavage, chaque sommet du polygone est le point de rencontre de deux carrés et de trois triangles : un tel pavage est dit uniforme, et il en existe 11 au total.

On peut encore aller plus loin selon le nombre de points de rencontre différents que l’on s’impose, mais pour cela, je vous conseille la très complète vidéo d’Eljj sur le sujet.

Une des fenêtres du château de Blois, à l’origine de cet article !

Mais pourquoi on fait ça ?

Un pavage, c’est joli, c’est mignon, mais à quoi ça sert ? L’intérêt de l’étude de ces pavages remonte au XVIIIe siècle, avec l’abbé René Just Haüy. Celui-ci eut en effet le malheur de laisser tomber un cristal de calcite, lequel se brisa alors. Surpris, puisque ces cristaux étaient supposés très résistants, l’abbé essaye alors de briser d’autres cristaux de son importante collection à l’aide d’un marteau. Il n’y parvint que selon certains angles bien précis. Il continua ainsi ses coups de marteaux et obtint une forme semblable à celle d’un cristal intact, mais en plus petit bien entendu.

Les cristaux, à l’origine de la fascination pour les pavages ?

L’idée lui vint alors qu’un cristal serait en fait l’assemblage de mailles de petites tailles, mais toujours de la même forme : tout comme un carré peut être découpé en 4 carrés plus petits, il serait possible de découper un cristaux en un certain nombres de mailles plus petites… Du moins pendant un temps. Lorsque ce découpage n’est plus possible, on obtient alors une maille élémentaire.

Un cristal serait donc l’assemblage de ces mailles élémentaires, toutes similaires et collées les unes avec les autres selon leur face.

La question que l’on se pose alors est celui de la forme des mailles : quelles sont les possibilités ? Contrairement à ce que nous avons fait avec nos pavages, il ne s’agit plus ici de paver un plan avec des dalles mais de remplir tout l’espace avec des solides, des polyèdres plus précisément.

Le plan comme départ

Le remplissage de tout l’espace est bien complexe, ceci dit ! Pour comprendre ceux-ci, simplifier le problème n’est pas du luxe, et une première idée est de se restreindre au plan, aux pavages. On chercha donc à classer tous les pavages du plan possible à l’aide d’une seule tuile polygonale :

  • D’abord, il est possible de paver le plan avec n’importe quelle tuile triangulaire ou n’importe quel quadrilatère. Ca c’est fait.
  • Ensuite, dès que l’on a des polygones de plus de 7 côtés, ce n’est pas possible, peu importe la forme du polygone.

Restent alors les pentagones et hexagones. Le but est donc de trouver des conditions que doivent remplir les tuiles pentagonales ou hexagonales pour pouvoir remplir le plan.

Les hexagones qui pavent le plan se divisent alors en trois classe, un même hexagone pouvant appartenir à plusieurs classes différentes.

Pour le pentagone, obtenir un résultat définitif a été bien plus compliqué. A plusieurs reprises, des mathématiciens ayant affirmé avoir obtenu une classification complète des pentagones pavant le plan se sont vus contredits par la découverte d’un nouveau modèle. On citera notamment Marjorie Rice, en 1977, ajouta pas moins de 4 classes à la collection, alors même qu’elle n’a suivi aucune formation mathématique particulière !

La question fut réglée en 2017, lorsque Michael Rao prouva, à l’aide de l’informatique, qu’il n’y avait que 15 classes de pentagones qui pavent le plan. Bref, pour le plan, c’est fini.

Les 15 classes de pavages pentagonaux.

Pour l’espace… Il faudra encore de petits efforts !

Pour compléter

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Vers l’infini et au-delà !

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0, puis 1, puis 2, puis 3… Et ainsi de suite, compter n’est plus un secret pour vous depuis bien longtemps. Si l’on ne vous donne aucune limite, ce décompte peut alors durer puisque les nombres ne s’arrêtent jamais : pour un nombre donné, on peut toujours en trouver un plus grand, il suffit de lui ajouter un. C’est ce qu’explique Eljj a son neveu dans sa dernière vidéo, en concluant sa démonstration par :

Il n’existe pas de nombre plus grand que tous les autres

… Et si justement, il en existait un ?

Plus grand que tout

En mathématiques, tout est permis – ou presque. Il suffit d’un peu de magie et de fantaisie, et parfois d’un brin d’esprit tordu pour que naissent de nouvelles théories.

Prenons les entiers naturels, ceux que nous présentons plus haut : ceux-ci sont ordonnés linéairement et l’on peut donner le premier élément, le suivant, le suivant du suivant, le précédent du cinquième élément, enfin bref, nos petits entiers 0, 1, 2, 3, 4, 5… Des entiers que l’on nommera standards.

L'ensemble des entiers standards

L’ensemble des entiers standards

Lorsque l’on utilise ces nombres et seulement ceux-ci, on fait ce que l’on appelle de l’arithmétique standard, et en arithmétique standard, il n’existe pas de nombre plus grand que tous les autres.

Eh bien, faisons fi de tout cela ! De notre grand chapeau de mathématicien, sortons un nouveau « nombre » de notre chapeau, que nous nommerons I, tel que I > n pour n’importe quel entier naturel n.

Si l’on représente graphiquement l’ensemble des entiers par une droite et les entiers par des points sur cette droite, alors notre I se trouve loin, très loin devant. Infiniment loin à vrai dire.

Ce que l’on fait ici, cela s’appelle de la théorie des modèles : on regarde d’autres systèmes de nombres qui contiennent les nombres entiers que nous connaissons, ceux de l’arithmétique standard.

Revenons alors à notre nombre I : vous serez peut-être tenté de dire que I vaut l’infini, et ce n’est peut-être pas un tort. I est infiniment grand, pourtant, il est possible de trouver un nombre plus grand que I. A l’image de ce que nous faisions pour trouver de plus grands entiers, il suffit d’ajouter 1 à I. On aura bien évidemment I + 1 > I.

De même, on peut considérer le nombre I – 1. Celui-ci est plus petit que I, mais il reste plus grand que tous les entiers standards.

Il est également possible de multiplier ces nouveaux nombres entre eux : prenons par exemple le nombre L = I x I. Comme pour les entiers classiques, on pourra dire que I est la racine carrée de L – parce que bon, il faut se le dire, I est quand même franchement positif. Nous entrons peu à peu dans le monde étrange de l’arithmétique non standard. De nombreuses propriétés des entiers naturels restent vraies en ajoutant ces entiers infiniment grands, à condition de rester prudents.

Infiniment grands et récurrence

Il faut en effet rester prudent car certaines propriétés si chers à l’ensemble des entiers naturels se perd lorsque l’on passe à de l’arithmétique non standard : c’est le cas du raisonnement par récurrence.

Le principe de la démonstration par récurrence est similaire à celui des dominos. Si l’on veut montrer qu’une propriété est vraie pour tout entier naturel (standard), il suffit de montrer que :

  • cette propriété est vraie à un rang donné – souvent 0
  • Si elle est vraie au rang n, elle reste vraie au rang n + 1

Autrement dit, en faisant chuter le premier domino, les suivants sont entraînés dans sa chute.

Hélas, lorsque l’on ajoute les entiers non standards comme on les a défini plus haut, et bien tout ne se passe pas comme prévu. Par exemple :

  • 0 est un entier standard
  • Si n est un entier standard, alors n +1 est un entier standard.

La propriété « être un entier standard » satisfait donc les deux propriétés énoncées. Pourtant, nous savons, parce que nous avons construit notre modèle ainsi, qu’il existe des entiers non standards.

En fait, le fait que le mot « standard » apparaisse explicitement dans l’énoncé de cette propriété fait que le principe de récurrence ne peut s’appliquer à cette propriété. Pas de chance !

Vers l’infiniment petit

La notion d’infiniment grand est intimement lié à la notion d’infiniment petit : gardon notre nombre I mais plaçons nous cette fois dans l’ensemble des nombres réels, où les divisions sont permises. Que vaut alors le nombre 1/I ?

Celui-ci est très proche de 0, infiniment proche de 0 même. Si proche que, pour n’importe quel réel standard positif r, on a l’égalité :

0 < 1/I < r

C’est bien simple : pensez à un nombre positif. 1/I est plus petit. Voilà. Et puisque I + 1 est plus grand encore que I, on a alors 1 / (I+1) qui est encore plus petit que 1/I. Ces quantités sont infinitésimales : positives, non nulles, mais infiniment petites !

Cette notion, développée dans les années 60 par Abraham Robinson, vient en fait compléter l’intuition d’infinitésimaux de Newton et Leibniz déjà abordée dans un autre billet de blog. Elle la rend d’ailleurs rigoureuse et permet de faciliter certaines preuves complexes mettant en œuvre la dérivation notamment ! Comme quoi, cette idée farfelue ne l’était peut être pas tant.

Bon, maintenant, pour expliquer ça à un enfant de 5 ans…

Pour compléter

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π est juste, oubliez τ !

Attention, cet article peut contenir : Mauvaise foi (75%), Hooliganisme piiste (3.14%)

Nous sommes au IIIe siècle avant notre ère, au temps où Archimède tente d’exprimer le rapport entre la circonférence d’un cercle et son diamètre. Ces calculs le mènent à un nombre compris 220/71 et 22/7. Des siècles plus tard, nous savons antre autre que ce fameux nombre noté π ne peut s’écrire sous la forme d’une fraction. Et il s’avère que ce petit π a fait bien du chemin, loin de son cercle : on le voit apparaître dans de nombreuses autres formules de géométrie mais aussi d’analyse ou d’algèbre.

Pi

Seulement voilà, π est le rapport entre la circonférence et le diamètre du cercle, mais tout mathématicien vous répondra que l’important dans le cercle, ce n’est pas le diamètre, mais bien le rayon ! Après tout, le cercle n’est-il pas l’ensemble des points situés à une distance donnée d’un point donné ?

Ceci pris en considération, la circonférence C du cercle s’exprime en fonction du rayon R comme étant C = 2πR. Et c’est ce 2 qui fait grincer des dents ! Parce que quitte à définir une constante pour le cercle, autant faire en sorte qu’elle ne soit pas accompagnée d’un autre constante à côté – ce fameux 2 ! Pire encore, il semblerait que notre nombre π, dont on a dit qu’il s’aventurait et visite de nombreux domaines des mathématiques, ne puisse se séparer de son petit facteur 2 si encombrant.

Un clan obscur s’est alors formé pour établir une nouvelle constante du cercle : plutôt que d’utiliser π, ceux-ci recommandent d’utiliser son double, τ = 2π.

Deux articles se font alors les manifestes de ces tauistes :

Vous pouvez allez lire ces lignes si vous le souhaitez, je me charge de vous les faire oublier dans celles qui vont suivre.

π et le cercle

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Pourquoi diable Archimède a-t-il défini π ainsi ? Pourquoi n’a-t-il pas directement calculé le rapport C/R, qui vaut environ 6.28. La raison ici est purement technique : prenez un objet circulaire dont vous ne connaissez pas le centre.

Pour déterminer son diamètre, il suffit de prendre deux droites parallèles, de rapprocher ces deux droits jusqu’à bien encadrer l’objet puis de mesurer l’encadrement. Pour mesurer le rayon… Et bien il faut d’abord calculer le diamètre, puis le diviser par 2.

En d’autres termes, pour les objets du quotidien, le diamètre est la quantité la plus accessible. Pas étonnant donc que les largeurs des vis ou des balles de fusils expriment le diamètre plutôt que le rayon !

π se retrouve ailleurs avec le cercle, puisque pour obtenir l’aire d’un cercle de rayon R, il faut faire le calcul A = πR². Nul besoin d’un 2 ici. Alors oui, je sais, d’un coup, je suis d’accord pour utiliser le rayon plutôt que le diamètre, ce qui rend la formule plus jolie. Je vous répondrai simplement que, dans les deux cas, l’utilisation de τ aboutira à des formules peu aguichantes.

En résumé, π et τ peuvent être définis ainsi :

 

Il y a de quoi donner de la constante du cercle à chaque nombre. Alors voyons plutôt du côté des angles.

Angles et polygones

Mesurer des angles en degré, c’est depuis bien longtemps dépassé. Les vrais mesurent leurs angles en radian. La règle est simple : 180°, c’est-à-dire un demi-tour, valent π radians, et le reste s’obtient simplement par proportionnalité. L’idée derrière ce changement d’unité est de relier la valeur de l’angle à la longueur de l’arc de cercle que cet angle intercepte : ce doit être la même valeur, au rayon près.

La longueur de l’arc de cercle est égal au produit du rayon et de l’angle mesuré en radians.

Ainsi, si dans un cercle de rayon 1, on choisit deux rayons formant un angle a, alors l’arc de cercle intercepté par cet angle aura une longueur qui vaut exactement a.

Le chemin pour τ semble alors tout tracé : quel est l’angle qui permet de définir un quart de cercle ? τ/4 ! Celui qui définit un tiers de cercle ? τ/3. A côté, π/2 et 2π/3 ne semblent pas offrir de belle résistance.

Des angles en radians… selon Pi ou Tau ! Image de tauday.com

Est-ce suffisant pour autant ? Dites-moi alors l’aire d’un demi-disque unité ? π/2 ! D’un quart du disque unité ? π/4 ! Là encore, τ et π se partagent les lauriers : l’un semble plus adapté aux longueurs, l’autre aux aires. Match nul.

Aires du disque unité. Images provenant de http://www.thepimanifesto.com/

Mais revenons-en aux angles, si vous le voulez bien. Il existe un théorème que vous avez entendu au tout début de votre scolarité : dans un triangle, la somme des angles vaut 180°, autrement dit π radians. Dans un quadrilatère, cette somme vaut 2π radians. Pour un pentagone, 3π radians, pour un hexagone, 4π radians. Pour un polygone à n côtés, elle vaut (n-2)π radians. N’est-ce pas là une formule des plus élégantes ?

Mieux encore, l’aire d’un polygone régulier inscrit dans un cercle de rayon 1 vaut :

Ah oui tiens, je ne vous ai pas parlé de cosinus et de sinus encore ? Il est temps de réparer cette erreur.

Un peu de trigonométrie

Drapeau jaune : Cette partie demande quelques connaissances mathématiques et un peu d’abstraction pour être entièrement saisie.

Prenez un cercle de rayon 1 et tracez deux diamètres perpendiculaires : l’un horizontal, l’autre vertical. Prenez alors un rayon de ce cercle : celui-ci forme un certain angle a avec le rayon horizontal qui part vers la droite. Regardons alors les coordonnées du point d’intersection de ce rayon choisi avec le cercle. Ceux-ci ne dépendent bien évidemment que de l’angle. On appellera alors cosinus de a (noté cos(a)) sa coordonnée selon l’axe horizontal. Son sinus (sin(a)) sera sa coordonnée selon l’axe vertical.

Comme un dessin vaut parfois bien mieux qu’une explication, en voici un :

Puisque faire un tour complet ne change pas le sinus ou le cosinus (ou autrement dit, pour n’importe quel x réel, sin(2π+x) = sin(x) et cos(2π + x) = cos(x)), on aurait tendance à se dire que remplacer π par son cousin serait une bonne idée. Cependant, sinus et cosinus cachent également d’autres formules faisant intervenir π sans être associé à un 2. Pour n’importe quels x réel et n’importe quel entier k, on a en effet.

  • sin(π+x) + sin(x) = 0
  • sin(π – x) = sin(x)
  • cos(π – x) + cos(x) = 0
  • cos (π + x) + cos(x) = 0
  • sin(kπ) = 0
  • cos(kπ) = (-1)^k

On peut également définir, lorsque le cosinus d’un angle ne vaut pas 0 (ce qui arrive avec une période de π), la tangente de l’angle : tan(x) = sin(x)/cos(x). On aboutit alors à de nouvelles identités :

  • tan(π + x) = tan(x)
  • tan(π – x) + tan(x) = 0

De belles formules, n’est-ce pas ? Mais attendez, car de belles formules, en voilà d’autres !

Des formules élégantes

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Les tauistes ont tendance à trouver le 2 qui accompagne π inélégant, inapproprié : c’est d’ailleurs toute la motivation de ce mouvement. Mais ce couple est-il omniprésent ? Pas le moins du monde, et j’en veux pour exemple cette intégrale :

Qu’un amateur de mathématiques vienne me dire que cette formule n’est pas belle, je l’attends ! Cette intégrale, connue sous le nom d’intégrale de Gauss, est omniprésente en probabilité. En effet, ceux qui ont rencontré la loi normale se souviennent peut-être plus ou moins de sa densité ; pour une loi normale d’espérance μ et de variance σ, elle vaut :

J’en vois déjà crier victoire à la vue de ce 2π, mais attendez un peu : nous allons réarranger cette formule en posant S =√2σ :

Et voilà, envolé le 2π ! En réalité, le 2 ne se couplait pas avec le π ici, mais bien avec le σ.

Et de belles formules ne faisant intervenir que π, il y en a d’autres en réserves, et en voici un petit florilège rien que pour vos yeux ébahis.

Prenez donc la fonction Γ, définie ainsi pour tout x réel positif:

Cette fonction est bien connue puisqu’elle « généralise » la notion de factorielle. Nous avons les égalités suivantes :

Plus haut nous parlions de l’aire d’un disque, mais pourquoi se limiter à deux dimensions ? Regardons le volume d’une boule-unité dans un espace à n dimensions !

Allons maintenant voir la cousine : l’ellipse dont les demi-axes ont pour longueur a et b :

Et pour ceux qui aiment les intégrales, les fonctions trigonométriques mais aussi leurs réciproques nous donnent quelques jolies petites égalités :

Enfin, vous l’aurez compris, π a encore de beaux jours devant lui…

Et π c’est tout !

Pour compléter

  • Les arguments avancés ici sont entre autres issus du Pi Manifesto

Toutefois, pour bien défendre son nombre, il faut savoir ce qu’on lui reproche !

Et du côté français :

 

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Encore du nombre d’or

Quoi ? Encore lui ? J’en avais pourtant parlé dans ma dernière vidéo, et je n’en ai pas fini ?

Eh bien non, fort loin de là ! Aujourd’hui, nous allons voir comment construire et approcher cette « divine proportion ». C’est parti !

La valeur de l’or

Revenons-en donc à la définition du nombre d’or : elle concerne la division d’un segment en deux parties telles qu’en faisant la division de la grande longueur par la petite, on obtient la même chose qu’en divisant la longueur totale par la longueur du grand morceau.

Le petit est au grand ce que le grand est au tout.

En appelant a la grande longueur (bleue) et b la petite (rouge), on obtient alors cette équation :

En mettant cette équation au carré, on en obtient une nouvelle que voici :

On retrouver d’ailleurs là une des propriétés du nombre d’or : le multiplier par lui-même revient à lui ajouter 1. Il n’y a pas de mystère !

Ce genre d’équation, les élèves de 1ère scientifique savent les résoudre à coup de discriminant et sont donc capables d’en déterminer les deux solutions. Oui, car il y a deux possibilités, mais celle qui nous intéresse est évidemment la solution positive, puisque nous parlons de rapport de longueur. On en arrive donc à la conclusion suivante :

Le rectangle alors ?

Tout ça c’est bien beau, mais ce qu’on veut nous, c’est un rectangle d’or, ce rectangle si parfait qu’il se trouve absolument partout – spoiler : non, mais on va quand même en construire un.

Commençons d’abord par tracer un triangle ABC rectangle en B ayant des côtés de l’angle droit AB de longueur 1 et BC de longueur 1/2. Grâce au théorème de Pythagore, on sait que le carré de la longueur de l’hypoténuse AC vaut 1² + (1/2)², soit 5/4. AC a donc pour longueur √5/2.

Traçons alors la droite (BC), puis un cercle de centre C et de rayon AC. Celui-ci coupe la droite en deux points M et N, M étant celui « le plus loin » du point B. Eh bien, la longueur de MB vaut MC + CB soit √5/2 + 1/2, le nombre d’or !

Fib-or-nacci

La suite de Fibonacci est une célèbre suite qui se définit ainsi : ses deux premières termes valent 1 puis, pour obtenir les termes suivants, on fait la somme des deux nombres précédents. Cette suite est donc la suite

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233…

Prenons maintenant les rapports entre les termes consécutifs (1/1, 2/1, 3/2, 5/3, …), on obtient alors une nouvelle suite, dont les valeurs arrondies sont les suivantes :

1, 2, 1.5, 1.667,  1.6, 1.625, 1.615, 1.619, 1.617, 1.618, 1.618

Les termes de cette suite semblent se rapprocher de plus en plus du nombre d’or… et c’est d’ailleurs bel et bien le cas, il ne s’agit pas d’une valeur approchée qui va différer à la 155e décimale.

Ainsi, construire des rectangles ayant pour dimensions des termes consécutifs de la suite de Fibonacci approchera efficacement un rectangle d’or. A vrai dire, si l’on ajoute un carré à l’extérieur de ces rectangles de Fibonacci, la construction de la suite nous dit que le rectangle ainsi obtenu sera également un rectangle de Fibonacci, utilisant les termes suivant de la suite.

Plutôt que de partir de 1 et 1, il est aussi possible de démarrer la suite de Fibonacci par n’importe quels entiers, pourvu que l’on conserve la règle de construction de la suite. Partons par exemple de 2 et 5, nous obtenons :

2, 5, 7, 12, 19, 31, 50, 81, 131, 212…

Et de nouveau, en faisant la division des termes par le précédent, on se rapproche inexorablement du nombre d’or.

Pourtant, la suite de Fibonacci classique est, dans un certain sens, le meilleur moyen de procéder.

Le meilleur moyen

Regardons maintenant une autre version de l’équation que doit vérifier le nombre d’or.

Il se pourrait que vous soyez pris d’une furieuse envie de remplacer φ dans le deuxième membre par 1 + 1/φ. Faisons donc !

Et pourquoi s’arrêter en si bon chemin ? Remplaçons une nouvelle fois φ dans le membre de droite.

Et nous pouvons poursuivre ce procédé à l’infini, si bien que

Nous obtenons ce que l’on appelle un développement de φ en fraction continue, et ce développement à une propriété : il fournit les meilleurs approximations rationnelles de φ.

Ce que ça veut dire, c’est que si on arrête le développement à un certain moment, on obtient alors une fraction a/b qui approche efficacement φ, dans le sens où toute fraction qui approcherait mieux le nombre d’or φ aurait forcément un dénominateur plus grand que b.

Ce nombre par exemple vaut 13/8, soit 1.625. Si l’on veut se rapprocher davantage du nombre d’or avec une fraction, il n’y a pas le choix, il faut un dénominateur plus grand que 8.

Mais, ces deux nombres 13 et 8 ne vous disent pas quelque chose ? Il s’agit des 5èmes et 6èmes termes de la suite de Fibonacci. Il s’avère qu’à l’aide d’un raisonnement par récurrence – laissé en exercice pour ce qui connaissent le procédé – on peut montrer que les approximations de φ obtenues grâce au développement en fraction continue ne sont rien d’autre que les quotients de deux termes successifs de la suite de Fibonacci.

Non seulement la suite de Fibonacci permet d’approcher le nombre d’or, mais c’est en plus la meilleure manière de le faire avec des fractions !

Bonus

Pour compléter

 

 

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Le carré magique de Bachet

Dans la catégorie des jeux mathématiques, je demande le fameux carré magique ! Le principe est simple et connu de beaucoup : prenez une grille carrée de côté n et placez-y tous les nombres de 1 à n x n, de telle sorte que la somme sur les lignes, les colonnes et les diagonales de ce carré soient les mêmes.

Simple à énoncer, ce problème l’est-il aussi à la résolution ? N’hésitez pas à réfléchir avant de passer à la suite…

En 1612, dans son livre Problèmes plaisants et délectables qui se font par les nombres, Claude-Gaspar Bachet de Méziriac propose une méthode de construction de carré magique pour toute grille carrée d’ordre impair (c’est-à-dire avec un nombre impair de cases sur le côté).

Méthode de Bachet de Méziriac pour construire un carré magique.

  • La première étape consiste à étendre le carré que l’on souhaite compléter en une grille « inclinée »
  • On place alors les nombres en progressant selon les diagonales de cette grille, en partant du haut et en allant vers le bas à droite.
  • Une fois cela fait, on déplace tous les nombres qui sont hors du carré de base. Ceux de gauche sont déplacés à droite, ceux du haut en bas et ainsi de suite pour combler les cases vides.

Cette méthode marche à tous les coups… Mais pourquoi ? C’est bien ce qui nous intéresse ici. Je ne ferai pas une démonstration rigoureuse de cette construction, j’en laisse le loisir aux plus acharnés : l’idée est simplement de présenter les arguments clés de ce principe.

Les diagonales

Avant de commencer, observons les diagonales, déjà remplies par cette méthode. Celles-ci ont toute la même somme – et c’est heureux ! En effet, la diagonale qui part du haut à gauche pour aller en bas à droite comporte des nombres qui progressent de 1 en 1, avec le nombre 25 au milieu.

L’autre diagonale, elle, présente des nombres qui augmentent de 7 en 7, toujours avec 25 au milieu. On parle aussi de progression arithmétique, mais cela n’a que peu d’importance.

Ce qui est important en revanche, c’est que d’une part, cette configuration n’est possible que parce que nous remplissons une grille d’ordre impair – sinon, les deux diagonales du carré ne se croisent pas !.

Aussi, la somme sur ces deux diagonales vaut 7 x 25, soit 175. 25 est en effet la médiane de tous les nombres à inscrire dans le carré – le nombre du milieu, si vous préférez. Bref, tout commence pour le mieux.

Les diagonales somment toutes les deux à 175

Revoir le problème

Nous allons désormais réécrire tous les nombres disposés sur notre carré. Voici notre nouvelle écriture :

Décomposition des nombres de la grille

Vous remarquerez alors que sur les diagonales qui descendent vers bas à gauche – ou qui montent en haut à droite, c’est selon -, tous les premiers chiffres sont les mêmes. Pour les diagonales qui descendent en bas à droite, c’est le second qui est en commun.

Chaque case de notre grille peut donc se traduire par un couple de nombres, le premier étant choisi parmi 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, le seconde parmi 0, 7, 14, 21, 28, 35, 42. Nous appellerons ces deux nombres les identifiants du nombre de départ. Le nombre 41 à placer dans le carré est identifié parle couple (6,35).

L’idée est donc la suivante : compléter les cases vides du carré de sorte que, sur chaque ligne et chaque colonne, les cases aient toutes un premier et un second identifiant différent, à la manière du sudoku. Par exemple, on pourrait aligner (3,21) et (2,14). En revanche, impossible de placer (1,7) et (5,7) sur la même ligne ou colonne, puisque leur deuxième identifiant est le même.

Commençons par regarder le carré intérieur, celui que nous souhaitons compléter. Sur chaque ligne, aucune de ces cases ne portent ni le premier, ni le second identifiant en commun. Il n’y a donc pas de problème pour le moment.

Passons aux nombres au-dessus du carré, et regardons par exemple (1,7). Tous les nombres ayant le 1 comme premier identifiant se trouve sur la diagonale qui descend vers la gauche en partant de cette case, tandis que tous les nombres qui portent 7 comme deuxième identifiant sont sur la diagonale qui descend à droite. Or, ces deux diagonales ne peuvent pas descendre de plus de 6 cases ! En descendant (1,7) de 7 cases, on est donc certain qu’aucune case sur la nouvelle ligne ne portera un identifiant en commun.

La case rouge ne peut avoir aucun identifiant en commun avec les cases de sa ligne et de sa colonne.

Ce raisonnement vaut par ailleurs pour tous les nombres au-dessus et en-dessous du carré.

Reste à s’occuper des nombres à gauche et à droite maintenant. Le raisonnement est très similaire, à cela près que certaines cases ont déjà été déplacées et qu’il faut faire attention que cela ne génère pas de nouveau obstacles.

Voilà tous nos nombres placés ! Il ne reste plus qu’à vérifier.

Sur chaque ligne et chaque colonne, tous les premiers identifiants et tous les seconds identifiants sont différents. Or, il n’y a que 14 places possibles, pour autant d’identifiants existants, c’est donc qu’ils figurent tous sur cette ligne/colonne. Autrement dit, la somme sur chaque ligne ou colonne vaut la somme de tous les identifiants possibles, à savoir la valeur 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 0 + 7 + 14 + 21 + 28 + 35 + 42, soit 175

Et voilà le travail !

Pour compléter

  • Claude-Gaspard Bachet de Méziriac, Problèmes plaisants et délectables qui se font par les nombres, consultable à cette adresse.
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[Vidéo] Autour de la Terre – Automaths #03

Nouvelle vidéo sur la chaîne Automaths : cette fois, on fait le tour de la Terre, de la tête au pied !

Si vous souhaitez allez plus loin, n’hésitez pas à lire la suite ! Autant vous avertir toutefois, ce ne sera pas forcément évident pour tous : il vous faudra mobiliser certains souvenirs de fins de collèges voire de lycée et bien manipuler le calcul littéral. Vous pouvez tout autant vous contenter du résultat incroyablement contre-intuitif, ce sera déjà quelque chose !

Puis bon, finalement, c’est du calcul un poil bourrin, alors bon…

Drapeau rouge : Cet article demande quelques connaissances mathématiques (trigonométrie) ainsi qu’une bonne capacité d’abstraction


Tendre en un point

Vous l’avez donc vu, si l’on ajoute 1 mètre à la corde qui fait le tour de la Terre, on peut surélever la corde de 16 cm en tout point, un résultat qui paraît totalement absurde.

Encore plus surprenant à mon goût, c’est cette corde que l’on soulève en un seul point cette fois-ci : on peut désormais la soulever de 120 m environ !

En gros, on passe d’une corde de 40000 km à 40000,001 et on est capable de faire passer une quarantaine d’éléphants empilés les uns sur les autres ! Pour prouver ce résultat, nous allons devoir faire appel à la trigonométrie.

On allonge la corde d’un mètre et on soulève en un point : quelle est la hauteur ainsi créée ?

Pour rappel, dans un triangle rectangle, on peut exprimer certaines quantités reliées aux angles aigus. Celles qui nous intéressent ici sont le cosinus et la tangente : il nous est donné par le rapport entre le côté adjacent à l’angle (le côté commun à l’angle droit et à l’angle observé) et l’hypoténuse – le plus grand côté du triangle.

On définit par ailleurs la tangente d’un angle par le rapport du côté opposé sur le côté adjacent.

Ici, le cosinus de l’angle bleu vaut BC/AC, sa tangente vaut AB/BC

 

En avant les calculs…

Appelons donc h la hauteur recherchée et R le rayon de la Terre. Nous allons placer plusieurs points sur notre schéma :

  • le point S, au sommet, qui correspond au point le plus haut atteint par la corde.
  • les points A et B, les deux points à partir desquels la corde se détache de la surface de la Terre.
  • le point O, centre de la Terre.

Avec nos notations, nous pouvons d’ores et déjà donner quelques valeurs : AO = BO = R, tandis que SO = R + h. D’autre part, les triangles AOS et BOS sont rectangles, respectivement en A et en B. Cela nous servira plus tard !

De plus, nous noterons T l’angle \widehat{AOS}. Notez que pour les calculs, T sera exprimé en radians : 180° correspondent à π radians. Nous avons tout ce qu’il nous faut, commençons les calculs maintenant !

Nos différents points sont placés !

D’abord, le tour de la corde de base, équivalent au tour de la Terre, vaut 2πR. Pour la longueur de la corde allongé de 1 mètre, il est possible de l’exprimer de deux façons différentes.

  • Puisque la corde est allongé d’un mètre, cette longueur vaut 2πR + 1
  • Mais, si on appelle C la longueur du grand arc de cercle entre A et B, elle vaut également C + AS + BS, ou C + 2 AS

Or, dans le triangle AOS, rectangle en A, nous avons tan(T) = AS / AO, soit AS = AO tan(T) donc AS = Rtan(T).

Par ailleurs, puisque notre angle T est exprimé en radians, la longueur du grand arc de cercle qui relie A à B vaut (2π-2T)R.

En combinant tout cela, nous obtenons :

2πR+1=2Rtan(T)+(2π-2T)R

ce qui conduit à

1 = 2R(tan(T) – T)

Il est l’heure de faire nos premières approximations : nous allons supposer que la hauteur h est petite par rapport au rayon de la Terre et que l’angle T lui-même est petit. Cette approximation nous permet alors d’approcher la quantité tan(T) – T par T3/3. Nous avons donc :

1 = 2RT3/3

ou réécrit de manière à isoler T :

T = \frac{3}{2R}*

C’est bien beau, mais ce qui nous intéresse, c’est h. Regardons alors le cosinus de l’angle T. Nous avons :

cos(T) =  AO / SO = R / (R + h)

Or, l’angle T étant toujours supposé petit, on peut approcher cos(T) par 1 – T2/2. Faisons donc :

1 - \frac{T^{2}}{2}=\frac{R}{R+h}

Puis nous allons remplacer le T de cette équation en utilisant le résultat noté *.

1 - \frac{1}{2}\left( \frac{3}{2} \right)^{2/3}\left(\frac{1}{R}\right)^{2/3}=\frac{R}{R+h}

Beurk… Courage, nous y sommes presque ! Passons le R+h de l’autre côté et développons

R + h -\frac{1}{2}\left( \frac{3}{2} \right)^{2/3}R^{1/3}- h\frac{1}{2}\left( \frac{3}{2} \right)^{2/3}\left(\frac{1}{R}\right)^{2/3}=R

Deux choses : d’abord, les R s’annulent, on peut les oublier. Ensuite, la partie h\frac{1}{2}\left( \frac{3}{2} \right)^{2/3}\left(\frac{1}{R}\right)^{2/3} est petite comparée au reste : nous pouvons donc raisonnablement l’oublier. Il en vient donc :

h \simeq \frac{1}{2}\left( \frac{3}{2} \right)^{2/3}R^{1/3}

Oui, non, on ne peut pas faire plus joli, surtout qu’il y a déjà eu pas mal d’approximations !

Bref, il est temps de répondre à notre question : comme vous le voyez ici, h dépend fortement du rayon R de la Terre ou de la sphère autour de laquelle nous attachons notre corde.

En prenant pour rayon celui de la Terre, R = 6371000 m, on obtient environ 121 mètres.

Attention si vous souhaitez appliquer cette formule à d’autres sphères : il est important ici d’exprimer votre rayon en mètres pour conserver la bonne unité ! (En effet, il est sous-entendu que le coefficient 3/2 est aussi en mètres, il faut donc utiliser cette même unité.)

Promis, la prochaine fois, ce sera moins douloureux…

Pour compléter

  • Axel Bellos, Le cercle des problèmes incongrus, Ed Flammarion, 2016

 

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Le théorème de Pythagore… en puzzles !

Drapeau vert : Cet article ne demande aucune connaissance mathématique particulière


Le théorème de Pythagore, le fameux théorème de Pythagore…

Mais si, celui qui dit que dans un triangle rectangle, le carré de la longueur de l’hypoténuse – le côté en face de l’angle droit – est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés. Dit comme ça,on est en droit de se demander d’où sort cette formule magique…

Il est donc temps de faire un peu de géométrie !

L’aire de la figure

Commençons par une figure de base : le carré. Pour rappel, un carré possède 4 côtés de même longueur et 4 angles droits. Si l’on connaît la longueur d’un de ses côtés, on est alors capable de calculer la surface occupée par ce carré : il suffit de multiplier cette longueur par elle-même. On dit justement qu’on élève la longueur au carré.

Par exemple, un carré de 5 cm de côté recouvre une surface de 25 cm². Autrement dit, on peut placer 25 petits carrés de côté 1 cm dans ce carré-ci.

Ce carré de 5cm de côté contient 5 x 5 = 25 petits carrés de côté 1cm

Prenons alors un triangle rectangle, n’importe lequel, et plaçons des carrés sur chacun de ses trois côtés. Nous allons maintenant faire correspondre les longueurs des côtés du triangle aux aires – les surfaces – des carrés dessinés.

Le théorème de Pythagore implique qu’en découpant les deux petits carrés, on peut reconstruire parfaitement le grand carré.

Le carré de la longueur de l’hypoténuse – c’est-à-dire l’aire du carré qui repose sur le plus grand côté – est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés – l’aire des deux autres carrés.

En d’autre termes, on peut découper les deux petits carrés de manière à recouvrir parfaitement le plus grand carré, sans laisser aucun trou et sans faire se chevaucher les pièces ainsi découpées !

Puzzles et constructions

A partir de là, de nombreux puzzles ont vu le jour pour illustrer cette propriété, dont le puzzle de Périgal, présenté ci-dessous.

On peut découper les deux carrés du haut puis réarranger les pièces pour reconstruire le carré du bas.

Si vous souhaitez voir d’autres « Puzzles de Pythagore« , vous pouvez en trouver en ligne à cette adresse. A vous de les résoudre !

Naturellement, cette méthode n’est pas la seule pour parvenir à ses fins. Une méthode classiquement montrée passe par la soustraction d’aires. Pour cela, appelons a et b les longueurs des côtés de l’angle droit et c la longueur de l’hypoténuse.

Nous construisons alors un carré dont le côté a pour longueur a + b, puis nous disposons 4 triangles comme suit :

L’aire restante dans le carré, une fois quatre triangles ôtés, est la même de chaque côté.

Forcément, puisque l’on retire 4 fois la même surface, alors l’aire restante est la même à chaque fois : à gauche, c’est un carré de côté de longueur c, à droite, ce sont deux carrés de côtés respectifs a et b. Et voilà, le résultat est là !

Preuve et illustration

Il convient toutefois d’aborder ces puzzles, aussi utiles soit-il, avec prudence. Les dessins sont parfois trompeurs, et ils ne sauraient faire office de preuve à eux seuls.

Dans le théorème de Pythagore, il y a ainsi l’expression « triangle rectangle » qui apparaît, ce qui laisse supposer que ce que nous venons de faire ne serait pas valable avec un triangle quelconque (et c’est en effet le cas). Pourquoi alors ? Cette donnée apparaît-elle clairement dans les puzzles ?

On peut la voir apparaître dans la méthode de soustractions d’aire : si le triangle de départ n’était pas rectangle, alors les figures formées en clair ne seraient pas des carrés.

Et puis, nous avons là un triangle particulier, qu’est-ce qui nous dit que cela fonctionnera avec n’importe quel autre triangle rectangle ? Est-ce que les mesures n’ont pas été justement choisies pour que tout colle à la perfection ?

Encore plus sournois, est-ce que ce puzzle colle bien parfaitement ? Est-ce qu’il n’y a pas un léger interstice entre les pièces, indécelable à l’oeil mais qui fausserait toute approche mathématique ? – et nous verrons des exemples sur ce blog, croyez-le bien !

Bref, un dessin ou une animation sont de bonnes approches pour bien comprendre les enjeux et mieux se représenter ce théorème, mais elles ne suffisent pas non plus à le prouver.

Pour compléter

  • Résolvez 5 puzzles sur cette page Geogebra
  • Les carrés c’est bien, mais on peut faire n’importe quelle forme, comme le montre cet article de blogdemaths.
  • Un article d’Images des mathématiques sur le théorème de Pythagore et ses puzzles.
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