Où sont cachés les nombres premiers ?

En arithmétique, les nombres premiers sont incontournables. Pour rappel, un entier positif est dit « premier » s’il possède exactement deux diviseurs entiers positifs – à savoir 1 et lui-même. C’est le cas de 2, 3, 5, 7, 11… mais pas de 1, puisqu’il n’a qu’un seul diviseur.

Derrière cette définition simpliste se cachent les briques élémentaires, les atomes des nombres entiers : en effet, n’importe quel entier positif peut se décomposer de manière unique en produit de nombres premiers. 10 = 2 x 5, 24 = 2 x 2 x 2 x 3, 2183 = 37 x 59, et ainsi de suite…

Cette propriété importante – qui porte tout de même l’appellation méritée de Théorème fondamental de l’arithmétique – est par exemple à la base de la cryptographie RSA, laquelle vous permet de faire des achats sur Internet sans (trop) risquer de vous faire voler votre numéro de carte bancaire. En l’occurrence, le procédé fait intervenir deux très grands nombres premiers multipliés entre eux pour donner un nombre encore plus grand.

RSA

Adi Shamir, Ron Rivest et Len Adleman, fondateurs de la cryptographie RSA

Casser le code RSA (et donc, s’emparer des données bancaires planétaires) revient donc plus ou moins à faire l’opération inverse : à partir de ce très grand nombre, retrouver les deux nombres premiers qui ont servi à le composer. Évidemment, on pourrait tester tous les nombres jusqu’à trouver le bon, mais on parle là de très grands nombres, et une méthode aussi brute prendrait des années avant de produire un résultat satisfaisant…

Bref, les nombres premiers, c’est bien, c’est utile et c’est fun. Nous savons beaucoup de choses sur ces nombres fantastiques, mais en ignorons beaucoup d’autres. Parmi les domaines de recherche se pose ainsi la question de la répartition de ces nombres premiers.

Ce que l’on sait : une histoire d’infini

Euclide

Euclide (gravure)

Il existe une infinité de nombres premiers : ce résultat est connu depuis Euclide et ses Eléments, 300 ans avant notre ère.

Les nombres premiers sont en plus grande quantité que toute quantité proposée de nombres premiers.

Euclide, Eléments

Une démonstration de ce résultat consiste à supposer le contraire : si l’on suppose que les nombres premiers existent en nombre fini, alors en les multipliant tous ensemble et en ajoutant 1, on obtient un nouveau nombre premier, ce qui rend donc notre hypothèse absurde. Le plus grand nombre premier connu à ce jour est le nombre 274 207 281 – 1, qui possède près de 22 millions de chiffres !

Cela dit, il y en a beaucoup, mais il y en a aussi de moins en moins. En 1896, Jacques Hadamard et Charles-Jean de la Vallée Poussin démontrent un résultat conjecturé par Gauss et Legendre : si l’on considère un nombre entier N, alors la proportion de nombres premiers compris entre 1 et N se rapproche, à mesure que N grandit, de la quantité 1/ln(N), une quantité qui tend lentement mais surement vers 0.

Si l’on utilise cette approximation, on trouve que 8.7 % des entiers entre 1 et 100 000 sont premiers (soit 8000 environ). Entre 1 et 100 000 000, on tombe à 5.4 %.

Ce résultat fait au passage intervenir l’analyse complexe, et notamment la fonction zêta de Riemann qui nécessitera sans doute un article pour elle seule.

En gros, les nombres premiers sont, d’une certaine manière, de plus en plus rares à mesure que l’on avance dans notre ensemble des nombre entiers, et en plus, il existe des écarts entre nombres premiers aussi grands que l’on veut. Prenons le nombre 100! (le produit 1 x 2 x 3 x … x 99 x 100). Ce nombre est un multiple de tous les entiers de 1 jusqu’à 100. Par conséquent :

  • 100! + 2 est la somme de deux multiples de 2, c’est donc aussi un multiple de 2
  • 100! + 3 est un multiple de 3
  • 100! + 100 est un multiple de 100

Ainsi, nous avons 99 nombres consécutifs qui ne sont pas premiers – et qui sont, certes, très grands. Naturellement, le raisonnement que nous avons eu avec 100 tient aussi avec 1000, 10000, ou n’importe quel entier. On peut donc trouver des suites de plus en plus grandes d’entiers consécutifs qui ne soient pas premiers.

Jumeaux, cousins, sexys…

Il existe des écarts aussi grands que l’on veut, c’est un fait. Mais en existe-t-il de toutes les tailles ? Si la réponse est évidemment non pour 3, 5, 7 ou tous les nombres impairs, que dire de 2, 4, 6…?

Deux nombres premiers dont la différence vaut 2 s’appellent des nombres premiers jumeaux. C’est le cas de 3 et 5, de 5 et 7, de 11 et 13, et de beaucoup d’autres couples de nombres premiers. Le 25 décembre 2011, suite au projet PrimeGrid, on a pu identifier les nombres 3 756 801 695 685 × 2666 669 + 1 et 3 756 801 695 685 × 2666 669 – 1 comme étant des nombres premiers jumeaux. A titre purement informatif, ces deux nombres possèdent plus de 200000 chiffres dans leur écriture décimale.

A vrai dire, on soupçonne qu’il existe une infinité de ces couples, mais personne n’a pu le prouver à ce jour. D’ailleurs, on soupçonne également qu’il existe une infinité de couples de nombres premiers dont la différence vaut 4, qu’on appelle nombre cousins. Aussi, on pense qu’il existe une infinité de couples de nombres premiers dont la différence vaut 6, aussi appelés nombres sexys.

En fait, pour n’importe quel entier pair supérieur ou égal à 2, on a conjecturé qu’il existe une infinité de couples de nombres premiers dont la différence vaut ce nombre : cette supposition est connue sous le nom de Conjecture de Polignac.

Yitang Zhang

Absolu inconnu avant son article sur les espaces entre nombres premiers, Yitang Zhang a connu un extraordinaire et soudain gain de notoriété !

En 2013, Yitang Zhang parvient toutefois à démontrer que ce résultat est au moins vrai pour un entier compris entre 2… et 70 000 000 ! En clair, il existe une valeur comprise entre 2 et 70 000 000 pour laquelle il existe une infinité de couples de nombres premiers dont la différence vaut cette valeur. Et n’allez pas croire qu’il s’agit là d’un petit résultat : 70 millions peuvent paraître grands, mais il s’agit d’un minuscule grain de poussière sur l’échelle astronomique des nombres entiers.

On pourrait par ailleurs s’intéresser aux écarts qui « reviennent le plus souvent » avant un entier donné. Si nous listons tous les nombres premiers entre 1 et 100, nous obtenons

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97

Regardons maintenant les écarts entre les nombres premiers successifs.

1, 2, 2, 4, 2, 4, 2, 4, 6, 2, 6, 4, 2, 4, 6, 6, 2, 6, 4, 2, 6, 4, 6, 8

Ici, l’écart qui apparait le plus souvent est le 2 : c’est notre champion sauteur – comme baptisé par John Conway – des nombres premiers de 1 à 100. Si nous poussions jusqu’à 101, 2 et 4 seraient présents en même proportion. Passé 947, c’est le nombre 6 qui règne en maître, et ce jusqu’à… au moins 1012 ! Quant à la suite, les mathématiciens pensent que le nombre 30 deviendra le nouveau champion sauteur, puis ce sera le tour de 210, 2310…

Qu’ont-ils de si incroyables ? Si on écrit leur décomposition, voici ce que l’on voit

  • 6 = 2 x 3
  • 30 = 2 x 3 x 5
  • 210 = 2 x 3 x 5 x 7
  • 2310 = 2 x 3 x 5 x 7 x 11

Ces nombres sont en réalité les produits des plus petits nombres premiers : on les appelle des nombres primordiaux. Ainsi, les champions sauteurs, hormis le nombre 4 qui apparaît parfois, seraient les nombres primordiaux !

Ce résultat est très dépendant d’une autre conjecture, celle de Hardy-Littlewood. Sous réserve que cette conjecture soit vraie, Paul Erdős a réussi à prouver que les champions sauteurs devenaient de plus en plus grands, tendant même vers l’infini.

Des conjectures qui résistent

Et bien d’autres résultats restent à démontrer…

En 1850, Tchebychev a réussi à démontrer une conjecture établie par Bertrand qui affirmait qu’entre n’importe quel nombre entier et son double, on pouvait trouver un nombre premier. Par exemple, entre 8 et 16, on trouve le nombre premier 11. Entre 26 et 52, on trouve le nombre 37.

D’autres résultats de ce genre, plus fins, n’ont pas encore été démontrés. C’est le cas de la conjecture de Legendre,

Conjecture de Legendre : pour tout entier n, il existe un nombre premier entre n² et (n+1)².

Par exemple, en prenant n = 1000, cette conjecture affirme qu’il existe un nombre premier entre 1 000 000 et 1 002 001 (et en effet, on pourrait par exemple citer 1 000 003, 1 000 211 ou 1 001 191). A ce jour, on a seulement pu montrer qu’entre ces bornes, il existait un nombre premier ou semi-premier – produit de deux nombres premiers distincts, comme 11 x 13, 17 x 3, etc…

Nous pourrions également citer la conjecture d’Andrica,

Si pn désigne le n-ième nombre premier, alors √pn+1-√pn < 1

En gros, si on a un nombre premier, inutile d’aller chercher un autre nombre trop loin. Mais là encore, une preuve ou un contre-exemple restent encore à trouver !

La spirale d’Ulam

La répartition des nombres premiers a quelque chose de mystérieux, presque inaccessible. Pourtant, lorsque l’on s’amuse à les dessiner, il en sort des phénomènes très ordonnés, comme celui de la spirale d’Ulam, du nom de ce mathématicien qui, s’ennuyant à écouter une conférence qui ne l’intéressait guère, se mit à griffonner sur sa feuille de papier.

Le principe est simple : il suffit, en commençant pas le 1 au centre du dessin, d’enrouler les nombres entiers autour de ce 1.

Spirale d'Ulam

Puis, on entoure ou on colorie les nombres premiers, et on regarde ce que l’on obtient.

Spirale d'Ulam

Vous distinguerez peut-être certaines lignes obliques sur cette figure. Ces alignements correspondent à des polynômes de degré 2, de la forme an² + bn + c, qui donnent un grand nombre de nombres premiers dès lors que l’on remplace n par un entier.

Le mathématicien Euler s’est d’ailleurs intéressé  à ces nombres chanceux, c’est-à-dire les entiers p tel que le nombre n² + n + p soit premier si l’on remplace n par 1, 2, 3… et ainsi de suite jusqu’à p-2. 17 est un exemple de ceux-ci, et l’on peut voir sur la spirale l’alignement des 15 nombres premiers que ce polynôme engendre.

Il ne faut toutefois pas espérer trouver une formule qui permette de générer les nombres premiers en un clin d’oeil : le semblant d’ordre que nous observons est aussi relatif que subjectif. Mais avouez que ça a tout de même de l’allure !

Pour compléter

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Qu’est-ce que ça veut dire additionner ?

Regrouper des successeurs

Dans un précédent article, nous avons vu la construction de l’ensemble des entiers naturels selon Peano. Seulement, avoir des nombres entiers, c’est bien, mais encore faut-il savoir quoi en faire.

Sans addition, comment savoir combien de pommes a-t-on ?

En mathématiques, la première opération que nous apprenons sur nos nombres entiers est l’addition : quoi de plus naturel que de commencer par là alors !

Pour rappel, la construction de l’ensemble ℕ de nos entiers reposait sur cinq axiomes :

  1. Il existe un entier naturel, que l’on notera 0
  2. Pour tout entier naturel n, il existe un unique successeur, que l’on notera S(n) ou Sn
  3. Aucun entier naturel n’admet 0 pour successeur
  4. Si deux entiers naturels ont le même successeur, alors ces deux entiers sont égaux.
  5. Si un ensemble contient 0 et est stable par l’opérateur de succession S, alors cet ensemble est l’ensemble des entiers naturels.

En d’autres termes, tout entier naturel vaut 0 ou peut s’écrire d’une unique manière sous la forme SSSSS…S0 avec un certain nombre de S devant le chiffre 0. Partons donc de ce que nous savons – ou pensons savoir – au sujet de l’addition, et regardons comment pourrait s’écrire l’addition 1 + 1 = 2 dans notre « nouveau langage » :

  • 1 est le successeur de 0, il peut donc s’écrire S0
  • 2 est le successeur de 1, il peut donc s’écrire S1, soit SS0
  • Notre égalité s’écrit donc S0 + S0 = SS0

De la même manière, 3 + 4 = 7 pourrait s’écrire SSS0 + SSSS0 = SSSSSSS0.

Alors c’est bien beau tout ça, mais qu’en fait-on ? Ce que l’on peut se dire, c’est que l’entier qui se trouve à droite regroupe en fait tous les S des deux entiers que l’on additionne.

SSS0 + SSSS0 = SSSSSSS0

L’addition, c’est en fait un regroupement de ces S, ces opérateurs de succession qui nous servent à définir notre ensemble des entiers naturels. Seulement, pour le traduire simplement d’un point de vue mathématique, l’affaire ne s’avère pas aussi facile.

Procédons plutôt par étape ! Plutôt que de rassembler tous les S d’un coup, nous allons les déplacer d’un entier vers l’autre par étape. Pour être plus clair, voici comment nous pourrions nous y prendre dans cette addition.

  • SSS0 + SSSS0 = SSSS0 + SSS0, en déplaçant un S de l’entier de droite vers la gauche
  • SSSS0 + SSS0 = SSSSS0 + SS0,
  • SSSSS0 + SS0 = SSSSSS0 + S0,
  • SSSSSS0 + S0 = SSSSSSS0 + 0,

Il ne nous reste plus à déterminer ce que donne l’addition d’un nombre et de 0 – qui, à moins que vous ne décidiez de remettre en question toutes les mathématiques, doit bien valoir le nombre lui-même – et nous aurons défini plus ou moins proprement l’addition.

Dans l’ensemble des entiers naturels, l’addition est entièrement définie par les deux axiomes suivants :

  • pour tout a, a + 0 = a
  • pour tous a, b ; a + S(b) = S(a + b)

Vous noterez que le deuxième axiome ne correspond pas tout à fait à notre procédé un peu plus haut, mais que l’idée sous-jacente est la même : pour additionner deux entiers, il suffit de déplacer les S du deuxième entier jusqu’à ne plus en avoir. L’égalité qui nous est présentée ici traduit en vérité le fait que a + (b + 1) est égal à (a + b) + 1

Naturellement, on pourrait se poser la question des propriétés de cette addition nouvellement construite. Il est temps de démontrer nos premiers théorèmes !

Premiers théorèmes

Vous avez du mal avec le formalisme ? Vous ne comprenez pas qu’on puisse faire des mathématiques avec des lettres ? Désolé de vous l’annoncer, mais cette suite de l’article risque de vous donner un peu la migraine. Mais n’hésitez pas à essayer, ça peut valoir le coup !

Voici les règles : vous disposez des cinq axiomes de Peano et des deux de l’addition. Ces axiomes, il est possible de les combiner entre eux pour aboutir à de nouveaux résultats, ceux que l’on nomme les théorèmes. L’addition, celle que nous connaissons, possède deux propriétés fondamentales.

  • elle est associative : peu importe les entiers considérés, (a + b) + c = (a + b) + c, on peut commencer l’addition où l’on veut ;
  • elle est commutative : a + b = b + a, on peut changer l’ordre dans une addition.

A première vue, nos sept briques axiomatiques ne disent rien sur ces deux propriétés pourtant si utiles – imaginez un seul instant que 1 + 2 soit différent de 2 + 1, j’en tremble d’avance…

Nous allons pour cela utiliser le raisonnement par récurrence, possible grâce au cinquième axiome de Peano : si une certaine propriété est vraie pour 0, et si la propriété au rang n+1 peut se déduire de la propriété au rang n, alors cette propriété est vraie pour n’importe quel entier naturel.

Pour schématiser, on peut voir un tel raisonnement comme la chute de dominos que l’on aligne : si, en partant de notre premier domino, chaque domino qui tombe entraîne le suivant dans sa chute, à la fin, tous les dominos seront tombés. Bon, la seule différence, avec les entiers naturels, c’est qu’il y en a une petite infinité, mais vous voyez le principe.

Bref, passons à la preuve de notre…

Théorème 1 : L’addition est associative.

Prenons trois entiers naturels a, b, et c. Nous allons procéder par récurrence sur le troisième, c. On fixe alors a et b deux entiers naturels.

  • a + (b + 0) = a + b = (a + b) + 0 ; c’est la conséquence du premier axiome de l’addition.
  • Supposons vraie l’égalité suivante : (a + b) + c = a + (b + c). Nous avons alors
    • (a + b) + S(c) = S((a + b) + c) par l’axiome 2 de l’addition
    • S((a + b) + c) = S(a + (b+c)) par hypothèse de récurrence
    • S(a + (b+c)) = a + S(b + c) par l’axiome 2 de l’addition
    • a + S(b + c) = a + (b + S(c)) encore une fois en utilisant l’axiome 2
    • Nous avons finalement (a + b) + S(c) = a + (b + S(c))
  • On en conclut que pour n’importe quel entier naturel c, on a bien (a + b) + c = a + (b + c)

Ouf, nous pouvons faire notre addition dans n’importe quel ordre et nous voici rassurée : ce que l’on nous a enseigné à l’école n’est pas erroné ! Une fois le sort de l’associativité scellée, nous pouvons passer à celui de la commutativité, qui nous dit que l’on peut changer l’ordre de nos entiers dans une addition.

Théorème 2 : L’addition est commutative

Avant de nous lancer dans cette preuve, il nous faudra un petit théorème intermédiaire, de moindre importance. Ces théorèmes sont souvent appelés des « lemmes« .

Lemme : Pour n’importe quel entier naturel, a + 0 = 0 + a

Là encore, la démonstration se fait par récurrence sur a :

  • 0 + 0 = 0 + 0, bravo, c’est notre initialisation
  • Si on suppose que a + 0 = 0 + a pour un certain a, alors 0 + S(a) = S(0 + a) = S(a + 0) = S(a) = S(a) + 0. Dans l’ordre, nous avons utilisé l’axiome 2 de l’addition, l’hypothèse de récurrence, l’axiome 1 puis de nouveau l’axiome 1
  • Bref, pour n’importe quel entier naturel a, a + 0 = 0 + a

De la même manière, il est possible de montrer le

Lemme 2 : Pour n’importe quel entier naturel, a + S(0) = S(0) + a

Attaquons-nous maintenant au gros morceau ! Nous allons montrer que pour n’importe quels entiers a et b, a + b = b + a en raisonnant par récurrence sur l’entier b.Fixons donc l’entier a.

  • Nous avons montré précédemment que a + 0 = 0 + a et a + S(0) = S(0) + a
  • Supposons donc que pour un certain entier b, on ait a + b = b + a, alors
    • a + S(b) = a + S(b + 0) = a + (b + S(0)) en combinant axiome 1 et axiome 2
    • a + (b + S(0)) = (a + b) + S(0) grâce à l’associativité
    • (a + b) + S(0) = (b + a) + S(0) par hypothèse de récurrence
    • (b + a) + S(0) = b + (a + S(0)) de nouveau par associativité
    • b + (a + S(0)) = b + (S(0) + a), montré au lemme 2
    • b + (S(0) + a) = (b + S(0)) + a, encore l’associativité
    • (b + S(0)) + a = S(b + 0) + a = S(b) + a par les axiomes de l’addition
    • Finalement, a + S(b) = S(b) + a
  • On conclut donc que pour n’importe quels entiers a et b, a + b = b + a, la commutativité est démontrée !

Nous voici donc armés pour additionner des entiers naturels. Ainsi, nous pouvons fièrement affirmer que, conformément à notre intuition, 3 + 4 = 7.

Le monde est sauvé, les mathématiques peuvent se reposer sur leurs opérations. Et ils vécurent heureux et eurent beaucoup d’enfants… Bon, d’accord, je dois encore travailler mes fins…

Pour compléter

  • Pourquoi 1 + 1 = 2 sur Blogdemaths, qui définit les entiers de « manière ensembliste », mais ça fonctionne tout pareil.
  • 1 + 1 = 2 dans l’arithmétique de Peano, une vidéo de Science4all. Alors, oui, les axiomes de Peano et ceux de l’arithmétique de Peano, c’est pas tout à fait vraiment exactement la même chose, mais ça fonctionne aussi presque tout pareil (non, cette phrase n’est pas correcte, mais c’est mon blog, je dis qu’est-ce que je veux).
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Petite histoire des nombres rationnels

Les nombres rationnels – que certains connaissent sous la forme de fractions – désignent le résultat de la division, du quotient de deux nombres entiers. A ce titre, les nombres entiers sont évidemment eux-même des nombres rationnels, puisqu’ils sont par exemple le résultat d’une division par 1.

Cela dit, certaines divisions ne « tombent pas juste ». Il est, par exemple, impossible de répartir équitablement 100 personnes dans 3 salles différentes. Alors, comment doit-on considérer le résultat de cette opération, 100/3 ? Est-ce vraiment un nombre ?

Egypte antique

Le concept de nombres rationnels a mis du temps à se développer, à se former. Parfois, seul un nombre très restreint de fractions était considéré, suivant les civilisations. Comme pour les nombres entiers, c’est en Mésopotamie et en Egypte antique qu’il faut se rendre pour trouver les premières traces de ces objets mathématiques.

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La clé de la divisibilité

Est-ce que le nombre 784152 est divisible par 347 ? Cette question, vous vous l’êtes forcément posée à un moment ou un autre de votre vie… Non ? Vraiment ? C’est dommage, je comptais en parler dans cet article. Alors tant pis, j’en traiterai quand même !

Divisibilité

Si nous prenons deux nombres entiers et que nous les multiplions entre eux, cela donne un nouveau nombre entier. Jusque là, rien de nouveau sous le Soleil.

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Nim : Au pays des bâtonnets

Vous avez 17 bâtonnets et un adversaire en face de vous. A tour de rôle, vous allez devoir retirer 1, 2 ou 3  bâtonnets de la zone de jeu, jusqu’à ce qu’il n’en reste plus qu’un : celui qui est forcé de piocher le dernier bâtonnet perd la partie.

Ce jeu est une des nombreuses variantes du jeu de Nim, et les amateurs de Fort Boyard reconnaîtront sans doute cette fameuse épreuve qui voyaient les candidats affronter les maîtres du temps – même si, dans ce cas, il y a 20 bâtonnets, mais c’est un détail.

Jeu des bâtonnets

Vous pouvez vous entraîner à jouer contre l’ordinateur à cette adresse, mais autant vous prévenir tout de suite : il ne se laissera pas faire ! A la moindre de vos erreurs, il sautera sur l’occasion pour vous infliger une cuisante défaite : n’hésitez pas à analyser son comportement pour comprendre comment il procède.

Existe-t-il une stratégie qui permettrait de gagner à tous les coups ? Ou bien tout ceci n’est-il que pur hasard ?

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Newton contre Leibniz : la lutte de l’infiniment petit

Qui découvre quoi ? Il arrive que plusieurs mathématiciens se penchent sur un même problème au même moment, et y amènent chacun une solution. Ce fut le cas par exemple de Newton et Leibniz, désormais reconnus comme étant les fondateurs du calcul différentiel… Mais une telle équité entre les deux savants n’a pas toujours été d’actualité.

Newton

Isaac Newton

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De la Terre à la Lune

Très récemment, un article laissait entendre, par une étude de la tablette babylonienne Plimpton 322 et de ses consœurs, que la trigonométrie était plus ancienne que ce que l’on croyait. Réalité frappante ou simple coup médiatique, il est sans doute trop tôt pour le déterminer, alors revenons plutôt en Grèce, au IIe siècle avant notre ère.

A cette époque, les Grecs savaient déjà beaucoup de choses sur notre Univers. Il était par exemple établi que la Terre était sphérique, et l’on disposait alors de certaines mesures de sa circonférence et de son rayon – plutôt bonne si l’on croit Eratosthène, deux fois trop grande si l’on se fie à celle, plus ancienne, d’Aristote. Bon, ils pensaient aussi qu’elle était au centre de l’Univers, mais c’est une autre histoire.

Terre et Lune

A Nicée, un savant grec nommé Hipparque se met alors en tête de mesurer la distance qui sépare la Terre de la Lune, et utilisera pour cela un outil d’une puissance remarquable : la trigonométrie.

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