Les pavages dorés

Drapeau vert : Cet article ne demande aucune connaissance mathématique particulière


Une envie subite de refaire votre papier peint ou le carrelage de votre salle de bain ? En perfectionniste que vous êtes, vous exigez cependant de n’utiliser que des polygones réguliers pour votre décoration.

Pour satisfaire vos envies, vous pourrez peut-être opter pour un pavage carré. Après tout, dans carrelage, il y a la racine du mot carré, alors quoi de plus naturel que de disposer régulièrement ces quadrilatères dans votre nouvelle pièce.

Plus original, vous pourrez choisir des motifs hexagonaux. On trouve d’ailleurs ces motifs en observant les ruches ou les colonnes basaltiques des massifs volcaniques.

Colonnes hexagonales de basalte… Pas tout à fait régulières, certes, mais impressionnantes !

Mais les pentagones réguliers dans tout ça ? Eh bien, les malheureux n’ont pas autant de chance, et l’on peut s’en rendre compte rapidement en essayant de les accoler les uns aux autres : de toute évidence, ça ne rentre pas !

Rien à faire Robert, ça ne rentre pas…

Pourtant, vous n’en démordez pas : vous utiliserez des pentagones réguliers coute que coute ! Alors, qu’à cela ne tienne, voyons ce que nous pouvons faire de ces polygones

Le rapport d’or

Pour cela, nous allons utiliser une propriété de notre pentagone : si l’on prend la longueur d’une de ses diagonales – un segment lient deux sommets qui ne sont pas voisins – et qu’on le divise par la longueur d’un côté, on obtient une valeur que l’on appelle nombre d’or, environ égale à 1.618.

Ce nombre, noté φ et parfois appelé « Divine proportion« , possède une caractéristique fort utile à notre affaire de pavage : le multiplier par lui-même revient à lui ajouter 1.

φ x φ = φ + 1

Découpons alors notre pentagone en trois triangles isocèles – qui possèdent deux côtés de longueur égale – comme l’indique l’image suivante :

En observant le triangle central, on remarque que sa base est un côté du pentagone, et que ses deux côtés égaux correspondent à deux diagonales du pentagone. Ainsi, le rapport entre la longueur des grands côtés et la longueur de la base de ce triangle vaut φ. Un triangle qui respecte cette règle s’appelle un triangle d’or.

Inversement, les deux triangles des extrémités ont pour base une diagonale du pentagone et, pour côtés égaux, deux côtés du pentagone. Cette fois, c’est le rapport entre la longueur de la base et celle des deux côtés égaux – soit l’inverse de ce que nous avions précédemment – qui est égal à φ. Un tel triangle s’appelle un triangle d’argent.

Et là, nous allons voir pourquoi le nombre d’or possède ce surnom de Divine proportion. Nous allons accoler un triangle d’or et un triangle d’argent provenant du même pentagone régulier, comme sur la figure plus bas. Nous allons supposer que ce pentagone a un côté de longueur 1 unité.

Ses deux côtés égaux correspondent à la base du triangle d’argent, ou a un côté du triangle d’or : ils ont une longueur de φ. Sa base, en revanche, à une longueur de φ + 1, qui est égal à φ x φ. Ainsi, en faisant le rapport entre les longueurs de la base et de ses côtés égaux, nous obtenons φ x φ / φ. En d’autres termes, nous avons, à partir d’un triangle d’or et d’un triangle d’argent, formé un nouveau triangle d’argent.

Triangles d’or et d’argent, de plus en plus grands…

Prenons alors ce nouveau triangle d’argent, et collons un triangle d’or sur un côté. Cette fois, la base a une longueur de φ, et le côté une longueur de φ x φ comme calculé plus haut. Le rapport entre côté et base est donc de φ : c’est un triangle d’or.

Et nous pouvons continuer ainsi à l’infini, avec ce triangle d’or et le triangle d’argent précédents, nous formons un triangle d’argent. Avec ce nouveau triangle d’argent et le grand triangle d’or, nous formons un nouveau triangle d’or, et ainsi de suite, de proche en proche, nous pouvons couvrir tout le plan.

De proche en proche, nous finirons bien par paver le plan ! #30AnsTangente

Nombre d’or, le retour

Voilà donc une solution pour paver en utilisant des fragments de pentagone, mais combien de triangles nous faudra-t-il pour former nos nouveaux triangles, de manière récursive.

La suite des nombres de triangles correspond à une suite bien connue…

En commençant avec 1 triangle d’or et 1 triangle d’argent, nous avons fait un triangle d’argent composé de 2 triangles. Avec ce nouveau triangle et un triangle d’or, c’est un triangle composé de 3 petits triangles qui a été créé. Puis, il en a fallu 5, puis 8, puis 13…

Les amateurs de mathématiques auront vite reconnu la fameuse suite de Fibonacci, où chaque terme est calculé en faisant la somme des deux termes précédents. Et pour cause : chaque triangle est construit à l’aide des deux étapes précédentes, tout comme la suite ! Pas étonnant donc de la revoir dans nos triangles.

Cela devient encore plus intrigant lorsque l’on compte séparément le nombres de triangles de départ utilisés

Etape 1 2 3 4 5 6 7
Nombre total de triangles 1 1 2 3 5 8 13
Triangles d’or 0 1 1 2 3 5 8
Triangles d’argent 1 0 1 1 2 3 5

On remarque que les nombres de triangle d’or et d’argent utilisés sont des termes consécutifs de cette fameuse suite de Fibonacci. Encore une fois, tout est logique puisque les triangles sont construits grâce aux deux étapes précédentes.

Mais ce qui est intéressant, c’est que plus on progresse, plus le rapport entre le nombre de triangles d’or et le nombre de triangles d’argent tend vers… le nombre d’or, φ, encore lui !

Et cette convergence nous montre que le pavage que nous construisons ne peut pas être périodique, c’est-à-dire qu’il n’existe pas un petit modèle, de taille finie, avec lequel on puisse paver tout le plan rien qu’en le translatant ou en le tournant.

En effet, si c’était le cas, il serait composé d’un certain nombres de triangles d’or O et un certain nombre de triangles d’argent A. Le rapport O/A est ce que l’on appelle un nombre rationnel, une fraction. Or, φ ne peut pas être écrit sous une telle forme : il n’est donc pas possible d’avoir un tel modèle.

Pour plus d’allure

Bon, avouons-le, notre triangle n’est pas très beau. Rassurez-vous, car il existe des constructions bien plus élégantes faites avec ces triangles.

Une première construction consiste à utiliser des « fléchettes » et des « cerfs-volants » qu’on obtient en accolant respectivement deux triangles d’argent ou d’or. Par le même principe que pour le triangle, il est possible de construire alternativement des fléchettes et des cerfs-volants de plus en plus grands, jusqu’à paver le plan.

Cerf-volant (gauche) et fléchettes (droite). Il est possible de former un cerf-volant à partir de deux cerf-volants et deux demi-flechettes. Pour la fléchette, il faut un cerf-colant et deux demi-fléchette.

Et voici une partie du résultat qui peut être obtenu :

Pavage avec fléchettes et cerf-volants

De la même manière, en collant les triangles selon leur base, on obtient des losanges que l’on peut encore une fois construire successivement, jusqu’à recouvrir tout le plan. Autant dire que tout cela a plus d’allure que notre pavage de départ !

Pavage avec des losanges d’or et d’argent

Pour compléter

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Le dernier des premiers

Drapeau jaune : Cet article demande quelques connaissances mathématiques et un peu d’abstraction pour être entièrement compris


Les nombres premiers sont fascinants. Pour rappel, un nombre entier supérieur à 0 est dit premier s’il possède exactement deux diviseurs, à savoir 1 et lui-même. Et ces nombres sont aujourd’hui utiles dans notre quotidien, puisqu’ils sont à la base du système de cryptographie RSA, garant de votre (presque) sécurité informatique.

Dans un précédent article, je vous parlais des théorèmes et conjectures concernant leur répartition au sein de l’ensemble des nombres entiers. En particulier, l’ensemble des nombres premiers est infini : peu importe le nombre premier considéré, il en existe toujours un plus grand.

Et face à ce genre de résultat, les compétitions fusent pour trouver et décrire au mieux les plus grand nombres premiers possibles. Le record a d’ailleurs été battu très récemment, ce 3 janvier 2018 : il est désormais acquis que le nombre suivant est premier :

277232917-1

Alors, c’est bien gentil, mais d’où ça vient tout ça ?

Les nombres de Mersenne

Marin Mersenne

Marin Mersenne, religieux français ayant donné son nom aux nombres qui nous intéressent aujourd’hui.

Parmi les nombres premiers, il existe certaines sous-familles plus ou moins remarquables, et parmi celles-ci figurent les nombres de Mersenne premiers.

Un nombre de Mersenne est un nombre qui peut s’écrire sous la forme 2p – 1, où p est un entier strictement positif. Ce nombre est plus simplement noté Mp. Par exemple, 7 peut s’écrire 7 = 23 – 1, c’est donc un nombre de Mersenne, et on le notera, conformément à ce que nous avons écrit plus tôt, M3. Vous l’aurez alors sans doute deviné, un nombre de Mersenne premier est un nombre qui est à la fois de Mersenne et premier. C’est le cas de 7, mais aussi de 3, de 31, où de notre nouveau nombre premier record.

Pour qu’un nombre de Mersenne Mp soit premier, il faut avant tout que l’entier p soit lui-même premier. Par exemple, M4 ou M42 ne peuvent être des nombres premiers, puisque 4 et 42 ne le sont pas eux-mêmes.

Cette condition est toutefois loin d’être suffisante !
Par exemple, le nombre M11 = 211 – 1 = 2047 = 23 x 89 et n’est donc pas premier.

Revenons en au nombre qui nous intéresse : 277232917-1. Ce nombre est en réalité le 50ème nombre de Mersenne premier qui a été démontré comme étant premier à ce jour. Attention, cela ne signifie pas qu’il y en a exactement 49 qui soient plus petits que celui-ci : d’autres ont pu échappé aux mailles du filet !

Toujours est-il que ce nombres est grand, très grand : pour l’écrire en entier, il vous faudrait écrire pas moins de 23 millions de chiffres (23.249.525 pour être exact). Si vous préférez le binaire, vous pouvez également vous amuser à écrire 77.232.917 fois le chiffre 1.

Pour vous faire passer cette folle envie, sachez que sur un Document Word écrit en Times New Roman, avec une taille de police de 10 et les marges classiques, il vous faudra pas moins de 3845 pages pour en venir à bout… Bon courage !

Et si l’on remonte dans le temps, il s’avère que les précédents nombres premiers records étaient également des nombres de Mersenne. Il doit bien y avoir une raison derrière tout cela !

Le test de Lucas-Lehmer

En effet, inutile de vous cacher la vérité plus longtemps, il y a bien un secret. Naïvement, pour prouver qu’un nombre est premier, on peut regarder tous les entiers entre 2 et ce nombre, et montrer qu’aucun de ceux-ci ne divise notre nombre. Si l’on est un peu plus futé, on arrêtera cet algorithme à la racine carrée du nombre… Mais tout ceci est affreusement long !

C’est d’ailleurs sur cette longueur que repose la cryptographie actuelle : trouver un nombre premier, factoriser un nombre en produit de nombres premiers est faisable mais très long, mais une fois que la solution est donnée, il est très aisé de la vérifier.

Cette difficulté n’est pas la même pour tous les nombres, et en particulier pour les nombres de Mersenne. Pour cela, faisons appel à la suite de Lucas-Lehmer, que nous nommerons S, et définie comme suit :

  • S(1) = 4
  • Pour tout n>1, S(n + 1) = S(n)² – 2

    Edouard Lucas

    Edouard Lucas a créé un premier test de primalité…

Autrement dit, le premier terme de cette suite vaut 4, et chaque terme de la suite est égal au carré du terme précédent auquel on retire 2. Les premiers termes sont les suivants :

4 ; 14 ; 194 ; 37.634 ; 1.416.317.954…

Pour vérifier si un nombre nombre de Mersenne Mp est premier, nous allons regarder le (p-1)-ième terme de cette suite, S(p-1). Si Mp divise S(p-1), alors Mp est premier ! Et réciproquement, si Mp ne divise pas S(p-1), alors Mp n’est pas premier.

Par exemple, 7 = 23 – 1 = M3. Nous regardons le deuxième terme de la suite de Lucas-Lehmer, celui-ci vaut 14 et est bien un multiple de 7 : M3 divise S(2), M3 est bien premier.

Derrick Lehmer

.. Un test de primalité amélioré plus tard par Derrick Lehmer.

Cependant, les nombres de la suite de Lucas-Lehmer grandissent très vite, trop vite pour être utilisés ainsi. Ainsi, il sera bien plus efficace d’utiliser seulement les « restes » de la suite de Lucas-Lehmer, modulo le nombre qui nous intéresse. Cette notion, si vous avez déjà parcouru le blog, vous l’avez rencontrée à plusieurs reprises, mais je vais tout de même en rajouter une couche.

Considérons par exemple M13 = 8191. On se pose alors la question « Est-ce que le 12 ème terme de la suite de Lucas-Lehmer est un multiple de 8191 ou pas ? ». Que ce soit le cas ou non, lui ajouter ou lui retirer 8191 ne changera pas la conclusion : nous allons donc lui retirer un maximum de fois le nombre 8191, jusqu’à obtenir un nombre plus petit que celui-ci.

Une autre manière de l’imaginer, c’est de se dire que nous comptons en boucle : après 8190 vient 0, et on recommence ainsi. C’est ce que l’on nomme l’arithmétique modulaire. Et plutôt que de le faire seulement au 12ème nombre, nous allons faire ce calcul à toute la suite : nous allons exprimer la suite de Lucas-Lehmer modulo 8191.

  • S(1) = 4, cela ne change pas. De même, S(2) = 14 et S(3) = 194
  • En revanche, S(4) = 37.634, ce qui est plus grand que 8191. Nous allons donc réduire ce nombre modulo 8191, et le calcul nous donnera S(4) = 4870 (modulo 8191)
  • Nous repartons alors de ce nombre-ci ! S(5) = 4870² – 2 = 23716898. Un petit coup de modulo 8191 et nous avons notre 5ème terme, S(5)= 3953 (modulo 8191)
  • Et ainsi de suite, notre suite vaudra 5970, 1857, 36, 1294, 3470, 128…
  • Jusqu’au douzième terme qui vaut 0, ce qui signifie que le nombre de la suite « classique » était en effet un multiple de 8191
  • Finalement, M13 est premier !

Vous n’avez peut-être pas tout compris, et ce n’est pas bien grave : l’important est que nous disposons, pour les nombres de Mersenne, d’une méthode simple et efficace pour déterminer si oui ou non, un nombre de Mersenne est premier.

Chasseur de « primes »

(Oui, alors, en anglais, un nombre premier se dit « prime number ». Du coup, je jugeais opportun de placer ce petit jeu de mot, mais le fait de devoir l’expliquer tend à montrer le contraire !)

Bref, nous avons une méthode efficace pour déterminer si un nombre donné est premier ou pas : pas étonnant que ce soient les nombres de Mersenne qui battent des records !

D’ailleurs, le programme qui permet de déterminer si un nombre de Mersenne est premier est en libre service : vous pouvez, avec votre propre ordinateur, partir à la recherche de nombres premiers toujours plus grands [voir liens plus bas]. Mieux, vous pouvez même être récompensés, histoire d’arrondir les fins de mois. Comptez toutefois un certain temps, plus ou moins long, avant d’arriver à destination.

Finissons sur une note plus rabat-joie : hormis le fait de dire « Ouah, on a découvert un super grand nombre premier », l’arrivée de ce nouveau nombre de Mersenne ne bouleverse pas le paysage mathématique. En effet, vu la « simplicité » de ce nombre, il n’y a absolument aucune chance de le voir utiliser en cryptographie par exemple… Mais peut-être son utilité sera-t-elle revue un jour !

Pour compléter

  • Envie de lecture ? Regardez cette vidéo de Numberphile qui présente l’ancien plus grand nombre premier connu.
  • L’annonce de la découverte du 50ème nombre de Mersenne premier
  • Vous aussi, découvrez des nombres premiers toujours plus grand avec le logiciel du Great Internet Mersenne Prime Research (GIMPS)
  • Trouver des grands nombres premiers, un problème de tous les jours, sur Science étonnante
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Suite logistique et arbre chaotique

Drapeau jaune : Cet article demande quelques connaissances mathématiques et un peu d’abstraction pour être entièrement compris


Il arrive parfois que des relations d’apparence très simples aboutissent à des comportements extrêmement complexes. A titre d’exemple, intéressons-nous aujourd’hui à ce que l’on nomme la suite logistique.

Modéliser une population

Comme son nom ne l’indique pas forcément, la suite logistique vise à estimer l’évolution de la taille d’une population au cours du temps. Peu convaincu par le modèle de Malthus, qui utilise un taux de croissance constant de la population, le mathématicien Pierre François Verhulst imagine, en 1840, un tout autre modèle qui introduit une part de concurrence.

En effet, on imagine bien que, dans de bonnes conditions, la taille de la population d’une espèce donnée tend à augmenter. Seulement, lorsque cette taille est trop importante alors que les ressources disponibles n’augmentent pas, de la compétition se met en place entre les individus, ce qui aboutit alors à une diminution de la taille de population.

Si, une année, une population se trouve en deça d’un certain seuil, alors l’année suivante, la population sera plus importante. Si, à l’inverse, elle se trouve au-delà, alors la compétition et la concurrence la fera baisser l’an suivant.

Pour modéliser cela, Verhulst propose une formule toute simple. Appelons P(n) la taille de population de notre espèce à l’année n. Nous pouvons redimensionner cette population pour que ce nombre soit compris entre 0 et 1 (en divisant tout simplement par la population maximale). 0 correspond à une extinction de la population, 1 signifie que la population a atteint son niveau maximal. Alors :

P(n+1) = R x P(n) x (1 – P(n))

où R est une constante qui dépend de l’espèce que nous souhaitons modéliser.

Par exemple, choisissons R=2, et une population de départ de taille P(0) = 0.2

  • Après la 1ère année, la population P(1) sera de R x P(0) x (1 – P(0)) soit 2 x 0.2 x 0.8, soit 0.32
  • Recommençons en partant de 0.32. Après la deuxième année, la taille de notre population sera donc de 2 x 0.32 x (1 – 0.32) ce qui vaut 0.4352
  • Puis elle vaudra 0.4916019
  • Puis 0.4998589
  • Puis elle vaudra 0.5, et à l’étape suivante, encore 0.5, et ainsi de suite, jusqu’à la fin des temps.

Evolution de la taille de population pour R = 2

Chaque nouvelle application de la formule s’appelle une itération, et lorsque nous itérons suffisamment le procédé, nous observons que la taille de population se stabilise aux alentours d’une taille limite. Dans le cas où R=2 et P(0)=0.2, cette valeur limite vaut 0.5.

Changeons alors la valeur de notre R et observons le comportement de la taille de la population. Pour R = 2.9, la population se stabilise autour de 0.655, tout en oscillant autour de cette valeur.

Pour un R trop faible, plus petit que 1, le population atteindra 0 : c’est l’extinction, claire et nette, aucun survivant.

Prenons maintenant R=3.1 et regardons les tailles de population au cours du temps :
0.2 ; 0.496 ; 0.7749504 ; 0.5406471  ; 0.7698782 ; 0.5492138 ; 0.7674918 ; 0.5531892…

Evolution de la taille de population pour R = 3.1

Cette fois, nous n’observons plus une mais deux valeurs qui se répètent indéfiniment et la taille de notre population passe de l’une à l’autre, d’une année sur l’autre. Passons alors à 3.5 et observons :

Evolution de la taille de population pour R = 3.5

Cette fois, notre taille de population se met à osciller indéfiniment entre 4 valeurs. Et en augmentant encore notre R, nous pourrions trouver des oscillations entre 8, 16, 32 valeurs… Jusqu’à trouver le chaos le plus total !

Diagramme de Feigenbaum

Nous allons construire un graphique avec, sur l’axe horizontal, la valeur du paramètre R et, sur l’axe vertical, les valeurs autours desquelles la population semble se stabiliser ou osciller. La figure obtenue, appelée diagramme de Feigenbaum, du nom du mathématicien qui l’étudia, ressemble à ceci :

Diagramme de Feigenbaum

Avant la valeur de R = 3, il n’y a qu’une seule valeur stable, comme c’était le cas pour notre premier essai. Puis, à partir de ce point, le graphe se scinde en deux parties, les deux valeurs que prend la taille de population. Puis, aux alentours de R = 3.45, ces deux branches se dédoublent de nouveau, donnant naissance à 4 branches, puis 8 un peu plus tard.

On peut constater que ces dédoublements sont de plus en plus rapprochés, mais surtout qu’à partir de R = 3.57, la population va alterner entre une infinité de valeurs, sans période précise : c’est le chaos.

Un peu d’ordre dans le chaos

Malgré le désordre ambiant, le diagramme de Feigenbaum (ou figuier, comme certains le nomment) possède plusieurs propriétés intrigantes.

Zoomons par exemple autour de l’embranchement supérieur : on retrouve exactement la même structure que notre arbre de départ. Le graphe contient plusieurs versions miniatures de lui-même.

Le graphique contient plusieurs versions miniatures de lui-même.

L’ordre reprend par ailleurs ses droits pour certaines valeurs isolées, que nous pouvons apercevoir sur les zones plus clairs du diagramme. Ainsi, en prenant un R d’environ 3.83, on se retrouve avec une oscillation de période 3.

Evolution de la taille de population pour R = 3.83

En vérité, le résultat est plus puissant que cela : les périodes dans un tel diagramme apparaissent dans un ordre très précis, appelé Ordre de Charkovski. Au début, la période était de 1, puis de 2, puis de 4, et ainsi de suite. La dernière période de ce classement est justement la période 3. Autrement dit, si quelque part dans le graphe se trouve un cycle de période 3, alors toutes les autres périodes s’y trouvent (et elles s’y trouvent avant, soit entre R = 0 et R = 3.83 dans notre cas).

Un autre exemple d’ordre dans le chaos ? Nous avons plus tôt mentionné que les temps de dédoublement étaient de plus en plus courts… et il s’avère que ces temps obéissent en fait à une loi très précise. Appelons B(n) la valeur de R pour la n-ième bifurcation, alors le rapport B(n)/B(n+1) tend vers une certaine constante δ appelée Nombre de Feigenbaum, et qui vaut environ 4,6692016…

Et cette constante n’est pas inhérente à notre cas : si nous choisissons une autre suite que notre suite logistique, pourvu qu’elle respecte certaines propriétés, alors nous obtiendrons le même comportement pour notre taille de population, un diagramme semblable, un comportement qui finit par devenir chaotique, mais aussi un rapport entre les temps de bifurcation qui se rapproche de cette même constante.

Voici par exemple le résultat quand nous prenons P(n + 1) = R x sin( π x P(n) )

Oui, c’est presque pareil… Et nous aurons la même allure pour toute fonction dont la courbe forme une « bosse » comme le font les deux précédentes. A vous de choisir celle que vous préférez alors.

Pour compléter

Envie d’explorer un peu plus le chaos ?

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De l’autre côté du zéro…

Drapeau rouge : Cet article demande quelques connaissances mathématiques intermédiaires ainsi qu’une bonne capacité d’abstraction


Attention, abstraction ! Vous êtes prévenus

Frege, Peano, Von Neumann et d’autres… Les entiers naturels ont leur construction et les opérations classiques d’addition et de multiplication sont bien définies pour chacune d’entre elles.

Vous pouvez trouver celle de Peano à cette adresse, celle de Frege ici, et la construction de l’addition par là.

Sans surprise nous retrouvons alors le fait que 5+3=8, 1+1=2 et ainsi de suite. En revanche, quel est le nombre x tel que 2+x=7 ? Si le nombre 5 nous vient immédiatement à l’esprit, posons-nous la question de son arrivée, de sa décision. Intuitivement, nous avons fait l’opération 7-2, autrement dit une soustraction… laquelle n’est pas encore proprement définie dans notre ensemble.

Les nombres négatifs sont dans notre quotidien, mais cela n’a pas toujours été le cas.

Plus généralement, et même si leur acceptation a tardé à venir, nous avons conscience aujourd’hui de l’existence de nombres négatifs : qu’il s’agisse de la température ou des étages d’un immeuble, le signe « moins » devant un nombre ne nous est pas étranger. Là encore, nous pourrions interpréter l’entier négatif -2 comme étant le résultat de la soustraction entre 0 et 2, et nous revenons à notre point de départ : c’est quoi une soustraction ?

Pire encore, puisque -2 est aussi le résultat de la soustraction entre 3 et 5, quelle écriture doit-on privilégier ?

Des classes d’équivalence

Pour s’en sortir, le mathématicien Richard Dedekind utilisera alors le raisonnement que nous avons posé en introduction, à savoir qu’un entier relatif peut s’écrire, de manière non unique certes, comme la différence de deux nombres entiers naturels.

Richard Dedekind

Pour s’affranchir de la soustraction tout d’abord, il notera plutôt cette différence comme un couple d’entiers naturels (a,b). Ainsi, au lieu d’écrire 2 – 5 comme nous serions tentés de le faire, Dedekind notera simplement ce nombre (2,5). De même, 4 – 3 devient (4,3),     7 – 10 devient (7,10) et ainsi de suite.

L’ennui, comme mentionné, est la multiplicité des écritures des entiers relatifs avec cette convention. (2,5) et (7,10) désignent par exemple le même entier, -3. Lorsqu’un objet mathématique possède plusieurs écritures possibles, les mathématiciens adorent trouver une relation d’équivalence qui relie chacune de ces écritures : ainsi peuvent-ils noter l’objet en question comme une classe d’équivalence, ce qui résout tous les problèmes d’unicité si ennuyeux. N’hésitez pas à lire cet article si cette notion vous est étrangère.

Quelle relation trouver alors ? Si deux couples (a,b) et (c,d) désignent le même entier relatif, alors a – b = c – d, par construction. Seulement, puisque nous n’avons pas le droit d’utiliser la soustraction, nous pouvons modifier légèrement l’écriture, ce qui nous donnera a + d = c + b. C’est la relation que nous utiliserons :

Deux couples d’entiers naturels
(a,b) et (a’,b’) sont en relation – ce que l’on notera désormais (a,b) ∼ (a’,b’) si a+b’=a’+b

Cette relation est-elle bien une relation d’équivalence ? Autrement dit, vérifie-t-elle bien les trois propriétés de réflexivité, de symétrie et de transitivité que nous avons mentionné
sur la page concernée ?

  • Quel que soit le couple d’entier (a,b), on a évidemment (a,b) ∼ (a,b). Cela revient à écrire que a+b=a+b. Youpi.
  • Quels que soient les couples d’entiers (a,b) et (a’,b’), si a + b’= a’ + b, alors a’ + b = a+ b’, autrement dit si (a,b) ∼ (a’,b’), alors (a’,b’) ∼ (a,b)
  • Soient les couples d’entiers (a,b), (a’,b’) et (a’ ‘,b’ ‘) et supposons que (a,b) ∼ (a’,b’) et que (a’,b’) ∼ (a’ ‘,b’ ‘)
    Cela se traduit par a + b’ = a’ + b et a’ + b’ ‘ = a’ ‘ + b’. Alors, en combinant ces deux égalités, nous avons
    a + b’ + a’ + b’ ‘ = a’ + b + a’ ‘ + b’, ce que l’on réécrit
    a + b’ ‘ + a’ + b’ = a’ ‘ + b + a’ + b’.

Et là, il ne faut pas aller trop vite. Peut-on alors retirer les a’ + b’ de chaque côté, sans avoir accès à la soustraction ? C’est bien le cas, et vous pouvez vous amuser à le montrer, mais cela n’a rien d’évident !

On peut alors représenter ces classes d’équivalence sur une grille d’entiers naturels : les entiers naturels que l’on construit sont en fait représentées par les diagonales de cette grille. Certains jumeaux bien connus vous diront peut-être qu’en voyant cela, Dedekind comprit tout de suite que le Monde était dirigé par l’équation d’une droite qui se reproduisait dans deux dimensions orthogonales plus une invisible, mais je ne me lancerai pas sur ce genre d’ineptie… Oups, trop tard.

Les classes d’équivalence pour notre relation correspondent au diagonale du plan.

Chaque entier relatif peut alors être désigné par l’un des membres de la classe d’équivalence qu’il désigne (on parle de représentant). Classiquement, on choisira (n,0) pour un entier positif et (0,n) pour l’entier négatif -n, mais rien n’empêche d’en choisir un autre.

Des opérations

Maintenant que nous avons nos entiers relatifs, nous pouvons définir une addition sur ces nouveaux nombres. Pour ce faire, faisons de nouveau comme si la soustraction existait. Le couple (a,b) désigne donc le nombre a – b et le couple (a’,b’) désigne le nombre a’ – b’.

Si on souhaite additionner ces nombres, nous avons, en réorganisant les termes,
(a,b) + (a’,b’) = (a – b) + (a’ – b’) = (a + a’) – (b + b’), ce qui s’écrit avec notre convention d’écriture (a,b) + (a’,b’)=(a + a’,b + b’).

Autrement dit, il suffit d’ajouter terme à terme nos deux nombres.

Par ailleurs, on peut remarquer que (a,b) + (b,a) = (a + b, a + b) = 0. Il est alors possible de définir l’opposé et la soustraction entre deux nombres :

(a,b) – (a’,b’) = (a,b) + (b’,a’) et -(a,b) = (b,a)

Pour la multiplication, on peut procéder au même jeu de réécriture :
(a – b).(a’ – b’) = a.a’ – a.b’ – b.a’ + b.b’ = (a.a’ + b.b’) – (a.b’ + b.a’), ce que nous réécrivons
(a,b).(a’,b’) = (a.a’ + b.b’,a.b’ + b.a’).

Cette multiplication est, par ailleurs, distributive par rapport à l’addition :
a(b + c) = ab + ac pour n’importe quels entiers relatifs a,b et c

L’ensemble \mathbb{Z} muni de ces deux opérations d’addition de multiplication est appelé « anneau » et est parfois noté (\mathbb{Z},+,.)

Contrairement à l’addition qui permet de définir la soustraction, nous ne pouvons pas définir la division de deux entiers relatifs, et ce pour une raison simple : cette division ne donne pas forcément un entier relatif lui-même.

En revanche, nous pouvons démontrer ce que l’on nomme l’intégrité de l’anneau (\mathbb{Z},+,.). Ce terme signifie que si le produit de deux entiers relatifs est nul, alors
au moins l’un des entiers relatifs est nul.

Récapitulons

Pour tous entiers relatifs (a,b) et (a’,b’), on définit :

  • (a,b)+(a’,b’)=(a+a’,b+b’)
  • (a,b)-(a’,b’)=(a,b)+(b’,a’)
  • (a,b).(a’,b’)=(a.a’+b.b’,a.b’+a’.b)
  • Si (a,b).(a’,b’)=0 alors a=b ou a’=b’

Grâce à ces opérations, nous pouvons obtenir les règles de signes basiques. Par exemple, si l’on multiplie deux entiers négatifs notés (0,a) et (0,b), on obtient le nombre (a.b,0), qui est positif.
C’est une démonstration du fait connu que « moins par moins fait plus ».

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L’art de mettre en relation

Drapeau vert : Cet article ne demande aucune connaissance mathématique particulière


Vous avez ces trois chapeaux devant vous, et une question simple : quel est l’intrus ?

chapeaux

Là, plusieurs réponses sont possibles :

  • On peut exclure le premier chapeau puisqu’il n’a pas la même forme que les deux autres.
  • On peut écarter le deuxième vu qu’il est vert alors que les autres sont rouges.
  • Enfin, on peut désigner le troisième chapeau, plus grand que les deux autres.

Il n’y ni bonne ni mauvaise solution : tout dépend ce que l’on entend par intrus. Dans votre réponse, vous avez en tout cas certainement raisonné en trouvant un point commun à au moins l’un d’entre eux, point que ne partageait pas le dernier. En d’autres termes, vous avez classé ces chapeaux, selon le critère qui vous semblait le plus judicieux.

En mathématiques également, il est courant de classer les objets selon leurs propriétés. On rassemble ainsi des objets similaires en classe d’équivalence.

Mettre en relation.

Plutôt que d’exclure, il est ici question de regrouper à l’aide de ce que les mathématiciens nomment les relations d’équivalence. Alors, attention, on ne parle pas de n’importe quelle relation, il faut qu’elle respecte certaines propriétés :

  • Elle doit être réflexive : n’importe quel objet doit être en relation avec lui-même.
  • Elle doit être symétrique : si un premier objet est en relation avec un second objet, alors ce second objet est lui-même en relation avec le premier objet.
  • Elle doit être transitive : si un premier objet est en relation avec un deuxième objet lui-même en relation avec un troisième objet, alors le premier objet est en relation avec le troisième objet.

Prenons par exemple la relation « être de la même couleur » dans notre ensemble de chapeau.

  • Un chapeau est forcément de la même couleur que lui-même.
  • Si un chapeau 1 est de la même couleur que le chapeau 2, alors le chapeau 2 est de la même couleur que le chapeau 1.
  • Si un chapeau 1 est de la même couleur que le chapeau 2, lui-même de la même couleur que le chapeau 3, alors le chapeau 1 est de la même couleur que le chapeau 3.

Nous venons de prouver sans trop de difficulté que la phrase « être de la même couleur » définissait bien une relation d’équivalence. Alors à quoi ça sert tout ça ?

Eh bien, une fois notre relation d’équivalence trouvée, nous pouvons regrouper ensemble tous les éléments qui sont en relation les uns avec les autres dans ce que l’on appelle des classes d’équivalence. Par exemple, en utilisant la couleur comme relation d’équivalence, nous pouvons construire deux classes, la première constituée des chapeaux 1 et 3, et la deuxième uniquement constituée du chapeau 2. En prenant la taille, nous aurions une classe d’équivalence qui regroupe les chapeaux 1 et 2 tandis que le chapeau 3 serait tout seul dans une autre classe.

Plus précisément, nous réalisons une partition de notre ensemble des chapeaux : chaque chapeau appartient à une et une seule classe d’équivalence. Dès l’instant où vous tentez de grouper des objets, des concepts par similarité, ce sont des classes d’équivalence que vous formez.

Calendrier et arithmétique modulaire

Une application de ces relations particulières se trouve dans le domaine de l’arithmétique. Pour deux nombres entiers, nous dirons qu’ils sont en relation si leur différence est un multiple de 7 (on dit aussi qu’ils sont congrus modulo 7)

Par exemple, 15 – 1 = 14, qui est un multiple de 7. 15 et 1 sont donc congrus modulo 7. En revanche, 13 – 2 = 11, qui n’est pas un multiple de 7. 13 et 2 ne sont donc pas congrus modulo 7.

Nous pouvons ainsi former 7 classes. La première, composée des nombres 1, 8, 15, 22… La deuxième, composée de 2, 9, 16, 23… et ainsi de suite… Plutôt que d’écrire chaque classe en entier, nous pouvons en choisir un élément particulier, que nous appellerons représentant. Pour nos 7 classes, choisissons simplement 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, et disposons-les sur un cercle.

Airthmétique modulaire

Les entiers de 1 à 7 sont disposés en cercle, de telle sorte qu’après le 7 vient le 1

Cette disposition en cercle donne tout son sens à notre relation d’équivalence : faisons par exemple l’opération 5 + 4. Classiquement, on dirait simplement que 5 + 4 vaut 9. Sur notre cercle, nous allons démarrer sur le 5, puis avancer de 4 pas dans le sens des aiguilles d’une montre : nous nous retrouvons sur le 2. Ce n’est pas surprenant, puisque 2 et 9 sont dans la même classe d’équivalence ! Autrement dit, 5 + 4 est congrus à 2 modulo 7

Quel intérêt me direz-vous ? Ces congruences, on ne les rencontre pas tous les jours. Eh bien, justement, il s’avère qu’une semaine compte 7 jours. Imaginons que nous numérotions les jours de l’année : si le jour 1 est un lundi, alors les jours 8, 15, 22 et les suivants de 7 en 7 – autrement dit, tous ceux congrus à 1 modulo 7 – seront aussi des lundis.

Si nous sommes un mercredi, quel jour serons-nous dans 25 jours ?

  • En notant 1 le premier lundi, le 3ème jour est un mercredi
  • 25 est dans la classe de 4 modulo 7 (puisque 25 – 4 = 21 qui est un multiple de 7)
  • 3 + 4 = 7, qui correspond au dimanche.

25 jours après un mercredi, nous serons donc un dimanche.

D’autres exemples peuvent être trouvées dans la vie quotidienne : la grande aiguille revient toutes les 60 minutes à la même position, définissant cette fois des classes d’équivalence modulo 60. L’arithmétique modulaire, combinée aux nombres premiers, donne naissance à de magnifiques applications en cryptographie, afin que vous fassiez vos transactions en ligne l’esprit tranquille…

Les entiers selon Frege

Prenons un nouvel exemple et voyageons à la ferme !

La ferme

Bienvenue à la ferme des animaux !

Pour nous, il serait commode de compter les animaux : il y a 1 âne, 2 oies, 4 cochons, 4 chevaux, 4 vaches, 6 poules et 6 moutons. Mais oublions tout cela, oublions les nombres : ici ils n’existent pas.

Procédons plutôt par association. Choisissons parmi toutes celles-ci, deux espèces d’animaux, potentiellement les deux-mêmes, et regardons s’il est possible d’associer un animal de la première espèce à un animal de la seconde sans laisser personne de côté.

En bref, on détermine s’il y a autant d’animaux de la première espèce que d’animaux
de la seconde espèce sans avoir à les compter. Si c’est le cas, on dira que la première espèce est en relation avec la seconde espèce. Par exemple, les vaches sont en relation avec les chevaux, mais ne sont pas en relation avec les poules. En revanche, les poules sont en rapport avec les moutons.

Nous pouvons vérifier que notre relation « avoir autant d’animaux » est bien une relation d’équivalence

  • Une espèce est toujours en relation avec elle-même. Il y a autant de cochons que de cochons, autant de poules que de poules, et ainsi de suite.
  • Si une espèce A est en relation avec une espèce B, alors l’espèce B est en relation avec l’espèce A. S’il y a autant de poules que de moutons, alors il y a autant de moutons que de poules.
  • Si une espèce A est en relation avec une espèce B qui est elle-même en relation avec une espèce C, alors l’espèce A est aussi en relation avec l’espèce C.
    S’il y a autant de cochons que de chevaux, et autant de chevaux que de vaches, alors il y a autant de cochons que de vaches.

Une fois cette relation en place, on peut par exemple construire une classe d’équivalence qui comporte l’ensemble des poules et l’ensemble des moutons. Pour plus de commodités, cette classe pourra être notée « 5 ». De même, nous avons la classe d’équivalence qui rassemble les chevaux, les cochons et les vaches. Cette classe sera notée « 4 ». Certaines classes n’ont qu’une seule espèce, comme celle des ânes, notée « 1 » ou celle des oies, notée « 2 ».
Nous pouvons également imaginer la classe des lions et des girafes. Celle-ci sera notée 0.

C’est ainsi que Frege définit les entiers naturels, contrairement à Peano qui les définit de manière axiomatique : ce sont les classes d’équivalence pour la relation que nous avons utilisée. Le nombre 4, c’est le nom de la classe d’équivalence qui regroupe tous les ensembles qui comportent autant d’élément qu’il y a de roues dans une voiture.

Par la suite, il est possible de définir les entiers relatifs grâce à une relation d’équivalence sur les couples d’entiers naturels, puis les rationnels à l’aide d’une nouvelle relation sur les couples d’entiers relatifs, puis les réels avec une troisième relation sur les suites de rationnels… Bref, les classes d’équivalence sont à la base des nombres, et donc, dans une certaine mesure, des mathématiques elles-mêmes !

Pour compléter

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Des paradoxes et des ensembles

Drapeau jaune : Cet article demande quelques connaissances mathématiques et un peu d’abstraction pour être entièrement compris


Souhaitez-vous une énigme ?

Dans une petite bourgade, très loin d’ici, réside un barbier. Dans cette bourgade, le maire a fait voter une loi : le barbier doit raser tous les hommes du village qui ne se rasent pas eux-mêmes, et seulement eux !

Question : le barbier se rase-t-il lui-même ?

Raisonnons : si le barbier ne se rase pas lui-même, alors la loi l’oblige à se raser. Mais dans ce cas-là, il se rasera lui-même, et est donc hors la loi. Voici notre barbier fort désoeuvré ! A vrai dire, une telle loi, aussi stupide soit-elle, pourrait très bien exister. On ne peut en dire autant du barbier qui pourra l’appliquer.

Illustration : 3dman_eu sur pixabay https://pixabay.com/fr/users/3dman_eu-1553824/

Et en mathématiques, cela peut poser problème ! Que dire alors de l’ensemble de ces hommes qui se rasent eux-mêmes : inclut-il, oui ou non, le barbier ?

On pourrait croire qu’une propriété partagée par des éléments – un prédicat – suffirait à décrire un ensemble : l’ensemble des nombres plus grands que 3, l’ensemble des fonctions qui valent 0 en un point… Le barbier nous montre qu’il n’en est rien ! La prudence est de mise.

Une des pistes pour « résoudre » ces paradoxes est de hiérarchiser les ensembles : prenons donc un nouvel exemple, plus numérique celui-ci.

Exprimer les nombres

Il existe de nombreuses manières de définir un nombre avec des mots : prenons par exemple l’entier 42.

Celui-ci peut-être défini à l’aide de son écriture en lettres, « quarante-deux ». Il peut également être défini par l’addition, comme étant « trente-sept plus cinq », par une multiplication, puisqu’il vaut « six fois sept », ou encore par des phrases plus alambiquées comme « le nombre qui vaut vingt-quatre si l’on inverse les deux chiffres qui composent son écriture ».

Il est naturellement possible de pousser le vice très loin en imaginant des phrases aussi longues que l’on veut, toujours pour désigner le même nombre 42, mais restons raisonnables, et limitons-nous à une définition qui ne dépasse pas 100 mots.

Nous pouvons alors nous demander s’il est possible de définir tous les entiers naturels en moins de 100 mots, et avec un peu de réflexion, nous réalisons que c’est impossible. En effet, puisque nous avons un nombre fini de mots dans notre dictionnaire, nous avons également un nombre fini de suite de 100 mots mis cote à cote. Ce nombre a beau être très grand, il n’est rien comparé à l’infinité de nombres entiers qui existe !

« L’ensemble des entiers naturels qui ne peuvent être définis en moins de 100 mots » est donc non vide, il contient des éléments.

Puisque c’est une partie non vide de l’ensemble des entiers naturels, elle admet forcément un plus petit élément, unique, qui sera donc défini comme étant « le plus petit élément de l’ensemble des entiers naturels qui ne peuvent être définis en moins de 100 mots »… Or, nous venons justement de définir cet entier naturel en moins de 100 mots !

Hiérarchiser les définitions

Bertrand Russel

Le problème de ce paradoxe, connu sous le nom de « Paradoxe de Berry » et formulé en 1906 par Bertrand Russel est un problème de langage : que veut réellement dire le mot « définir » et jusqu’à quel point pouvons-nous l’utiliser à tort et à travers ?

Avant de définir notre entier problématique, nous avons d’abord « défini » un ensemble. C’est seulement ensuite que nous avons défini son plus petit élément et, par conséquent, nous avons défini notre entier en passant par la définition d’un ensemble. Il y a donc deux niveaux de définitions dans ce raisonnement qui ne doivent pas être traitées de façon équivalentes.

Pour essayer de s’en démêler, il va falloir être plus précis dans cette définition, et leur accorder différents degrés, différents niveaux.

Partons de rien : nous appellerons « 0-définition » un assemblage de mots qui permet de caractériser, de manière unique et non ambigüe, un ensemble, un entier, un objet.

Toutefois, nous devons nous imposer de ne pas utiliser le mot « 0-définition » dans cet assemblage de mots, pour ne pas avoir une notion qui tourne en rond. Ainsi, « six fois sept » est une 0-définition du nombre 42. Nous pouvons alors reprendre notre argument précédent et prouver, de la même manière, qu’il existe un « ensemble des entiers naturels qui ne peuvent être 0-définis en moins de 100 mots« . Seulement, cette manière de désigner notre ensemble comporte une 0-définition, ce que nous nous sommes interdits de faire !

Il faut donc passer au niveau supérieur : nous appellerons « 1-définition » un assemblage de mots dans lequel le mot « 0-définition » est autorisé et qui permet de caractériser, de manière unique et non ambigüe, un ensemble, un entier, un objet. En d’autre termes, une 1-définition utilise une 0-définition pour désigner un autre ensemble, un autre objet.

Notre ensemble est donc caractérisé par une 1-définition. De même, le plus petit élément de cet ensemble est déterminé comme étant « le plus petit élément de l’ensemble des entiers naturels qui ne peuvent être 0-définis en moins de 100 mots ». Certes, il y a moins de 100 mots dans cette phrase… Mais cette phrase n’est pas une 0-définition, puisqu’elle fait justement intervenir une 0-définition. Il n’y a donc plus de paradoxe ici !

De la même manière, il est possible de penser à des 2-définitions, des 3-définitions et ainsi de suite, autant que l’on veut.

Dans la même classe de problème, nous pouvons imaginer un génie aux pouvoirs magiques qui vous accorde un voeu. Vous, plus malin, faites le voeu d’avoir une infinité de voeu !

Eh bien, là encore, ce n’est pas un voeu simple, mais un voeu qui parle de voeu, ce que l’on pourrait appeler un 1-voeu sur le modèle précédent. Hélas, le génie ne peut exaucer que des 0-voeux et ne pourra accéder à votre demande.

Quel dommage…

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Poser des multiplications : plusieurs écoles

Drapeau vert : Cet article ne demande aucune connaissance mathématique particulière


Nous avons pas mal parlé d’addition ces derniers temps, qu’il s’agisse d’en retracer les premières propriétés ou de se demander ce qui pouvait bien se trouver avant. Il est temps de la laisser de côté pour se concentrer sur sa petite cousine, la multiplication.

Rassurez-vous, pour cette fois, nous n’entrerons pas dans l’abstraction la plus totale, vous pouvez ranger votre boîte d’aspirine…

L’apprentissage de la multiplication passe d’abord par une généralisation de l’addition : plutôt que d’écrire 3 + 3 + 3 + 3, nous allons écrire 3 x 4, pour signifier que le nombre 3 est présent 4 fois dans une addition. A partir de là, il est temps d’apprendre les fameuses tables de multiplication, pour que ce calcul fastidieux devienne un automatisme.

Par la suite, on apprend à faire des multiplications plus compliquées, avec des nombres comportant plusieurs chiffres, en les décomposant en étapes plus simples : on apprend tout simplement à poser la multiplication.

Et pour poser des multiplications, il y a plusieurs écoles !

La méthode japonaise / maya / chinoise… Bref, celle avec des lignes et des noeuds.

Alors, d’où vient réellement cette méthode, j’avoue que je ne saurais l’affirmer. Cependant, je suis au moins en mesure de l’expliquer.

Vous avez probablement vu, en vous aventurant sur les réseaux sociaux par exemple, une technique de multiplication révolutionnaire qui rend totalement obsolète l’apprentissage des tables de multiplications.

Le principe est simple : les chiffres d’un nombre sont représentés par des segments, regroupés en petits tas. Par exemple, le nombre 213 peut s’écrire avec 3 tas de segments que l’on place dans l’ordre : le premier en comporte 2, le deuxième en a 1 et le dernier en a 3. Ces segments sont tracés dans une certaine direction – disons horizontale ici.

Dans la direction perpendiculaire, nous allons cette fois tracer de nouveaux segments, qui permettent de représenter un autre nombre. Ces nouveaux segments vont alors croiser les précédents en de nombreux points, appelés noeuds. Faire la multiplication de nos deux nombres revient finalement à compter les noeuds ainsi formés !

Voici une animation pour y voir un peu plus clair dans ce que je raconte.

Multiplication japonaise

Multiplication japonaise

On regroupe ainsi les noeuds par paquet, en partant du bas à droite pour aller en haut à gauche. De cette manière, on obtient les chiffres du produit de nos deux nombres de départ.

Séduisante sur le papier, puisqu’elle semble reléguer les tables de multiplications au rang de gadget, cette méthode comporte toutefois plusieurs inconvénients.

D’abord, il faut savoir former les paquets correctement sur le quadrillage : il n’est pas toujours évident de s’y retrouver entre nos différents tas. Lequel est utilisé pour le chiffre des dizaines ? Celui des centaines ?

Il s’agit là d’un jeu d’appariement assez récurrent en mathématiques : considérons pour le moment que nous n’avons le droit qu’aux nombres 1, 10, 100, 1000, etc…Pour obtenir 100 à l’aide d’une multiplication de deux nombres parmi les précédents, je n’ai guère que trois choix : 100 x 1, 10 x 10 ou 1 x 100.

Remarquez alors comment est formé le paquet rose sur l’animation : celui-ci est le compte total des noeuds formés par les segments…

  • des unités de 213 et des centaines de 132 (on est dans le cas 1 x 100)
  • des dizaines de 213 et des dizaines de 132 (on est dans le cas 10 x 10)
  • des centaines de 213 et des unités de 132 (on est dans le cas 100 x 1)

En gros, il faut trouver les bonnes paires de chiffres dans les deux nombres que nous multiplions. Naturellement, plus les nombres seront grands, plus il y aura de tas à prendre en compte. Cela se compliquera encore un peu plus si les deux nombres à multiplier n’ont pas la même taille.

Un petit souci vient également lorsque le chiffre 0 figure dans l’un des nombres : il suffit alors de placer une ligne en pointillé et d’ignorer tous les croisements que celle-ci peut engendrer. Par ailleurs, nous nous sommes contentés ici d’utiliser de petits chiffres. Avec cette méthode, la présence d’un 8 ou d’un 9 rend notre décompte assez laborieux, si bien qu’on préfèrera revenir à nos bonnes vieilles tables de multiplication…

La méthode russe

La méthode russe est directement inspirée de la multiplication qu’utilisaient les égyptiens dans l’antiquité… mais en mieux.

L’idée est de décomposer nos nombres en faisant de petites multiplications, plus simples, moins fastidieuses. En l’occurrence, il faudra simplement multiplier (et un peu diviser) par 2 !

Pour cela, nous allons dans un premier temps écrire nos deux nombres côte à côte, le plus grand à gauche – cela nous facilitera la tâche. Puis nous allons multiplier le premier nombre par 2. En même temps, nous diviserons le second nombre par 2. Si cette division ne tombe pas juste, pas de souci ! On prend la partie entière, on ne s’occupe pas de ce qui vient après la virgule. On continue ainsi jusqu’à ce que le nombre de droite vaille 1.

Prenons un exemple : 24 x 21

  • Je multiplie 24 par 2, cela fait 48. Je divise 21 par 2, cela me donne 10.5. Je garde donc 48 et 10
  • Je multiplie 48 par 2, je divise 10 par 2, cela me donne 96 et 5
  • Je recommence, il me reste 192 et 2
  • Puis 384 et 1

Maintenant, j’écris tous ces nombres dans un tableau, et je vais seulement garder les lignes où le nombre de droite est impair :

24 21
48 10
96 5
192 2
384 1

J’additionne alors les nombres de gauche que je n’ai pas rayé, et j’obtiens finalement :

24 x 21 = 24 + 96 + 384 = 504

Et voilà comment multiplier deux nombres en ne connaissant que sa table de 2… Le principe se base sur ce que l’on appelle l’écriture binaire d’un nombre : usuellement, nous écrivons les nombres en écriture décimale, en faisant des paquets de 10. 10 paquets de 10 forment un paquet de 100, puis 10 paquets de 100 donnent un paquet de 1000 et ainsi de suite. On peut ainsi écrire 24 = 2 x 10 + 4 x 1 ou 504 = 5 x 100 + 0 x 10 + 4 x 1.

La méthode russe utilise plutôt le regroupement par paquet de 2. En l’occurrence, 21 peut s’écrire 21 = 1 x 16 + 0 x 8 + 1 x 4 + 0 x 2 + 1 x 1. On remarque que seuls les paquets de 16, de 4 et de 1 sont utilisés. Plus simplement, on pourrait écrire 21 = 16 + 4 + 1. Et c’est justement cette écriture que l’on trouve à la fin, lorsque l’on multiplie par 24

  • 24 x 1 =… 24 !
  • 24 x 4 = 96
  • 24 x 16 = 384

Pas magique… Mathématique !

La méthode arabe

Comment parler d’arithmétique sans parler du monde arabe ? Impossible, je ne le ferai donc pas. Et d’ailleurs, même problème d’origine que notre première multiplication : on ne sait pas vraiment si les Arabes en sont les inventeurs ou les transmetteurs…

La méthode arabe ne change pas beaucoup de la nôtre à vrai dire (il va falloir sortir vos tables, je vous le dis !). C’est simplement la présentation qui varie. Nous allons cette fois multiplier 147 par 456, et pour cela, nous allons présenter le calcul sous la forme d’un tableau. Nous écrirons sur la première ligne le premier nombre, puis sur la dernière colonne, le second.

Toutes les cases seront ensuite divisées en deux en diagonale. On remplit les cases avec les produits des chiffres, suivant la ligne et la colonne : dans la partie haute, la dizaine, et dans la partie basse l’unité. Il suffit ensuite d’additionner diagonalement les nombres pour trouver le résultat.

Et puisqu’une illustration vaut mieux qu’un texte, voici notre exemple tout frais !

 

Multiplication arabe

Par exemple, la case en haut à droite, entourée en rouge, correspond à la multiplication de 7 et de 2, qui vaut 14. On place donc 1 dans la partie haute et 4 dans la partie basse. Une fois tout le tableau rempli, on ajoute les nombres suivant les diagonales. S’il y a des retenues, on les remonte dans la diagonale du dessus (ce à quoi correspondent les flèches ici)

Ici, le « décalage d’un cran » que l’on peut apprendre quand on passe au chiffre suivant dans une multiplication est remplacé par ce parcours en diagonal, mais le principe est le même. Résultat : 147 x 256 = 37632

Vous êtes désormais parés à toutes les éventualités (multiplicatives en tout cas). Quelle est votre méthode préférée ?

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