Solides de Platon, d’Archimède et de Catalan

Ce billet de blog fait écho à la dernière vidéo publiée sur la chaîne, dans laquelle j’abordais les formes des dés et parlais vaguement des solides de Catalan. Il est temps d’éclaircir le mystère.

C’est l’heure du dual !

Lorsque l’on parle de solides, on ne peut évidemment pas passer outre les solides de Platon, au nombre de 5.

Les 5 solides de Platon : Tétraèdre régulier, Cube, Octaèdre régulier, Dodécaèdre régulier et Icosaèdre régulier

Rappelons les conditions d’entrée dans ce club très fermé :

  • Le polyèdre doit être convexe (sans creux, il doit pouvoir être posé sur chacune de ses faces)
  • Toutes les faces doivent être des polygones réguliers identiques
  • Elles ne doivent pas se couper, hormis sur les arêtes
  • Tous les sommets doivent être le point de rencontre du même nombre de faces

Forcément, avec toutes ces conditions, pas étonnant de ne compter que peu de membres. Et encore, ce nombre pourrait être, d’une certaine manière, réduit à 3 si l’on regroupe ensemble les polyèdres duaux.

Pour construire le dual d’un polyèdre régulier, il suffit de placer un point au centre de chacune de ses faces. Il faut ensuite relier les points qui appartiennent à des faces adjacentes, qui partagent une arête. Par exemple, en faisant ce procédé, on voit que l’octaèdre est le dual du cube.

Octaèdre et cube sont duaux.

De la même manière, on se rendra compte que dodécaèdre et icosaèdre sont duaux et que le tétraèdre est son propre dual.

Puisque les sommets de l’un deviennent les faces de l’autre et inversement, deux polyèdres duaux partagent alors les mêmes propriétés de symétrie. On se restreint alors à trois groupes de symétrie : les symétries du tétraèdre, du cube et du dodécaèdre

Relâcher les conditions

Tout ça, c’est bien beau, mais avoir un club fermé n’est pas forcément pour nous plaire : c’est assez ennuyeux, en somme. Relâchons légèrement les conditions : nous allons maintenant regarder les polyèdres convexes qui sont composés de plusieurs sortes de polygones réguliers, mais qui ont toujours la même propriété sur leur sommet : ceux-ci doivent être le point de rencontre des mêmes types de face, dans le même ordre.

Ces solides sont appelés les solides d’Archimède, et on en exclut en général les prismes et anti-prismes, fort peu intéressants.

Un exemple de solide d’Archimède, il s’agit du cuboctaèdre : composé de 6 carrés et 8 triangles équilatéraux, chaque sommet est entouré d’un triangle, d’un carré puis d’un triangle et de nouveau un carré

Cuboctaèdre

Comment obtenir tous ces solides ? Eh bien nous allons faire subir toutes sortes de choses à nos solides de Platon.

Le cuboctaèdre peut par exemple être vu comme un cube que l’on a tronqué au niveau des sommets, jusqu’au milieu de l’arête (on parle de solide rectifié). En s’arrêtant un peu avant, de manière à avoir des hexagones réguliers comme faces, on obtient un cube tronqué. En continuant l’opération, on arrivera finalement jusqu’à l’octaèdre tronqué, puis l’octaèdre.

La troncature des sommets permet de passer du cube au cube tronqué, au cuboctaèdre, à l’octaèdre tronqué, à l’octaèdre.. et inversement !

En tronquant un octaèdre, on peut faire tout le cheminement dans le sens inverse. Mais l’on peut également tronquer un cuboctaèdre : on obtient bien sûr un… cuboctaèdre tronqué, composé de 26 hexagones, octogones et carrés. On parle également de cube bitronqué

Tronquer un cuboctaèdre donne un nouveau solide d’Archimède

Quitte à bien limer notre solide, il est également possible d’attaquer ses arêtes : on dit alors que le solide est biseauté

En biseautant notre cube, on obtient un petit rhombicuboctaèdre

Dernière torture à infliger à notre solide, un peu moins évident : il est possible de l’adoucir. Cette opération consiste à écarter les faces et les faire pivoter de manière à faire entrer des triangles équilatéraux dans les espaces.

Tuto : Comment adoucir un cube ?

Et… C’est à peu près tout. En faisant de même avec le tétraèdre et le dodécaèdre, on obtient alors un total de 13 solides d’Archimède différent, dont toute la liste se trouve ici.

Vous y trouverez notamment le fameux icosaèdre tronqué, plus connu sous l’appellation ballon de football !

Et Catalan alors ?

J’y viens, rassurez-vous ! Les solides de Catalan adoptent le point de vue inverse des solides d’Archimède : les sommets sont différents mais toutes les faces doivent être les mêmes, indissociables les unes des autres.

Nous avons à notre disposition 13 solides d’Archimède, aux sommets identiques, et nous avons également une formidable transformation : le dual. Il faudra toutefois légèrement modifier la construction par rapport aux polyèdres réguliers, mais le principe reste le même : les sommets deviennent les faces et les faces deviennent des sommets.

Puisqu’un solide d’Archimède a tous ses sommets équivalents, le dual d’un solide d’Archimède aura toutes ses faces équivalentes. Il y a ainsi 13 solides de Catalan.

Voici par exemple le dual du cuboctaèdre, qui est le dodécaèdre rhombique

Le dual du cuboctaèdre est le dodécaèdre rhombique

Pour découvrir tous les solides de Catalan, c’est par ici !

Pour compléter

  • Le site Mathcurve présente les polyèdres archimédiens et les liens avec les pavages du plan et de la sphère
  • Pour visualiser les solides et les transformations pour passer de l’un à l’autre : https://polyhedra.tessera.li
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Paradoxe des deux enfants – Episode 2 !

Pour le premier épisode : cela se passe ici ! Rassurez-vous, il n’est pas utile de comprendre toute la vidéo pour bien suivre la suite du raisonnement !

Ce paradoxe peut s’expliquer en deux mots : probabilité conditionnelle

Peut-être vous êtes-vous dit que l’on calculait à chaque fois les mêmes probabilités, qu’il n’y avait pas lieu que celles-ci changent. Hélas !

A chaque fois, l’événement « Avoir deux filles » était conditionné suivant d’autres événements. Ainsi, la probabilité d' »Avoir deux filles » sachant l’événement « Le couple a au moins une fille » est de 1/3, alors que la probabilité de l’événement « Avoir deux filles » sachant l’événement « Le couple a une fille née un mardi » est de 13/27

Heureusement, une formule bien connue nous permet de nous y retrouver. Nous l’avons déjà rencontrée dans un précédent article, il s’agit de la formule de Bayes.

Dans le premier cas, cette formule s’écrit comme suit (pour rappel, le | se lit « sachant que ») :

P(Le couple a deux filles | Le couple a au moins une fille) = P (Le couple a au moins une fille | Le couple a deux filles) x P (Le couple a deux filles) / P (Le couple a au moins une fille)

  • P (Le couple a au moins une fille | Le couple a deux filles) = 1. Enfin, si le couple a deux filles, c’est qu’il en a au moins une.
  • P (Le couple a deux filles) = 1/4. En effet, chaque enfant a une chance sur 2 d’être une fille, et 1/2 * 1/2 = 1/4
  • P (Le couple a au moins une fille) = 3/4. On peut le voir comme étant 1 – P (Le couple a deux garçons), donc 1 – 1/4 = 3/4

En fin de compte, on a bien P(Le couple a deux filles | Le couple a au moins une fille) = 1/3

Obtenir l’information

Oui mais voilà, je n’ai pas fini de vous retourner le cerveau ! Voici deux formulations pour vous faire travailles vos petits méninges :

  1. On demande à M. Dupond, qui a deux enfants, s’il a au moins une fille. Il répond « Oui »
  2. On demande à M. Dupont, qui a deux enfants, de lui donner le sexe d’un de ses enfants, il répond « Fille »

Quelle est la probabilité que chacun de ces messieurs aient deux filles ?

Pour le premier, rien ne change : c’est 1/3. On est dans le même cas de figure.

Pour le deuxième en revanche, imaginez que M. Dupont ait un garçon et une fille. Il aurait très bien pu répondre « Garçon » après tout ! Contrairement aux apparences, on ne regarde pas les mêmes événements.

Imaginons que M. Dupont choisisse au hasard un de ses enfants, sans préférence, et en donne le sexe. Voici toutes les possibilités, suivant le sexe de ses enfants.

Nous cherchons donc la probabilité que M. Dupont ait deux garçons sachant qu’il a répondu « Garçon ». Utilisons la formule de Bayes :

P(M. Dupont a deux filles| M. Dupont répond Fille) = P(M. Dupont répond Fille |M. Dupont a deux filles) x P(M. Dupont a deux filles) / P(M. Dupont répond Fille)

  • P(M. Dupont répond Garçon |M. Dupont a deux garçons) = 1. Si M. Dupont a deux garçons, il répondra forcément Garçon a la question
  • P(M. Dupont a deux garçons) = 1/4, comme plus haut
  • P(M. Dupont répond Fille) = 1/2. Il suffit d’additionner toutes les probabilités dans l’arbre, lorsque M. Dupont répond Fille : 1/4 + 1/8 + 1/8 = 1/2

Finalement P(M. Dupont a deux filles| M. Dupont répond Fille)  = 1/2

Non seulement, certaines informations ne sont pas anodines, mais en plus, l‘acquisition de l’information peut tout changer !

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Démonstrations par récurrence

Drapeau vert : Cet article ne demande aucune connaissance mathématique particulière


Faire des mathématiques, c’est en grande partie démontrer, prouver des théorèmes, des propriétés. Pour cela, plusieurs méthodes différentes peuvent être employées, suivant les cas de figures.

Lorsque la propriété qui nous intéresse dépend d’un nombre entier, il est souvent possible d’utiliser ce que l’on appelle le raisonnement par récurrence.

Le principe

La démonstration par récurrence se passe en trois étapes :

  • Initialisation : On trouve un entier pour lequel la propriété que nous souhaitons démontrer fonctionne
  • Hérédité : On montre que si la propriété est vérifiée pour un certain entier plus grand ou égal à celui choisi pour l’initialisation, alors la propriété reste vraie lorsque l’on passe à l’entier suivant.
  • Conclusion : La propriété est donc vraie pour tous les entiers supérieurs à notre entier d’initialisation

On parle dans ce cas de récurrence simple. D’autres schémas de récurrence plus complexes existent également.

Globalement, le raisonnement par récurrence peut être vu comme une chute de dominos :

  • On fait tomber le premier domino : c’est l’initialisation
  • On sait que nos dominos sont placés de telle sorte que si l’un tombe, il entraîne le suivant dans sa chute : c’est l’hérédité
  • Par conséquent, tous nos dominos seront tombés

D’autres analogies peuvent être imaginés : la propagation d’une maladie – très contagieuse pour le coup – dans une population ou de la flamme d’une allumette à ses plus proches voisines. A la fin, toutes les personnes seront malades et toutes les allumettes seront enflammées.

Il ne faut d’ailleurs pas oublier l’initialisation ! Placer ses dominos, c’est bien, mais si l’on ne fait pas tomber le premier, ça ne sert à rien.

Notez par ailleurs que la démonstration par récurrence permet d’établir une propriété sur tous les entiers, et il y en a une infinité ! Ca fait un sacré paquet de dominos. Henri Poincaré qualifie d’ailleurs ce type de démonstration d’  « instrument qui permet de passer du fini à l’infini. ». En ne faisant tomber les dominos qu’un par un, on finit pourtant par tous les faire s’écrouler.

Des exemples !

Une légende raconte qu’un professeur, excédé par sa classe fort pénible, leur demanda comme punition de calculer la somme de tous les nombres entiers de 1 à 100. Seulement, dans cette classe se serait trouvé un élève du nom de Carl Friedrich Gauss qui, au bout de quelques secondes seulement, aurait donné la réponse : 5050.

Gauss… Plus vraiment écolier.

Pour cela, Gauss avait écrit la somme dans un sens, puis juste en dessous, dans l’autre :

1 + 2 + 3  …. +  98 + 99 + 100
100 + 99 + 98 +… + 3 + 2 + 1

En additionnant par colonne, on trouve alors

101 + 101 + 101 + … + 101 + 101

Soit une somme de 100 fois le nombre 101, qui vaut 10100. Il suffit alors de diviser par 2 pour obtenir le résultat, 5050.

Cette astuce, on peut l’utiliser pour n’importe quel nombre :

  • La somme des entiers de 1 à 1 vaut 1 x (1+1) / 2, soit 1
  • La somme des entiers de 1 à 2 vaut 2 x (2+1) / 2, soit 3
  • La somme des entiers de 1 à 3 vaut 3 x (3+1) / 2, soit 6
  • La somme des entiers de 1 à n vaut n x (n+1) / 2

Nous avons une propriété qui dépend de l’entier n, nous allons donc la montrer par récurrence, en suivant les étapes plus haut. Nous noterons donc P(n) le prédicat « La somme des entiers de 1 à n vaut n x (n+1) / 2″

  • Initialisation : La somme des entiers de 1 à 1 vaut 1 x (1+1) / 2, soit 1. P(1) est vraie
  • Hérédité : On suppose que, pour un certain n, P(n) est vraie, et on va en déduire que P(n+1) est vraie. Pour cela, écrivons P(n+1), il suffit de remplacer tous les n par n+1 : « La somme des entiers de 1 à n+1 vaut (n+1) x (n+1+1) / 2, soit (n+1)(n+2)/2″.

Par hypothèse de récurrence, on a

1 + 2 + 3 + 4 + … + n = n x (n+1) / 2

En ajoutant n + 1 de chaque côté et en réarrangeant les calculs, on a :

1 + 2 + 3 + 4 + … + n + (n +1) = n (n+1) / 2 + (n+1)
1 + 2 + 3 + 4 + … + n + (n +1) = n (n+1) / 2 + 2(n+1) / 2
1 + 2 + 3 + 4 + … + n + (n +1) = [n (n+1) + 2(n+1)]  / 2
1 + 2 + 3 + 4 + … + n + (n +1) = (n+1) (n+2)  / 2

Si P(n) est vraie, alors P(n+1) est vraie : la propriété est héréditaire.

  • Conclusion : Pour n’importe quel entier positif n, la somme des entiers de 1 à n vaut n(n+1)/2

Evidemment, on a ici tout détaillé et raconté, pas la peine de s’épancher autant sur les détails pour rédiger une récurrence. Un autre exemple de raisonnement par récurrence est celui d’une existence de solution à l’énigme des tours de Hanoi, que vous trouverez sur cette vidéo :

Attention aux pièges !

Maintenant, il est temps de faire une nouvelle preuve : Toutes les chaussettes sont de la même couleur. Non, vous ne rêvez pas, et je m’empresse de vous le démontrer par récurrence. Ma propriété sera donc P(n) : Pour tout groupe de n chaussette, toutes les chaussettes sont de la même couleur.

  • Initialisation : n = 1, Dans tout groupe de 1 chaussette, toutes les chaussettes sont de la même couleur… Logique !
  • Hérédité : Supposons que pour un certain n, P(n) soit vraie, et regardons un groupe de n+1 chaussettes :
    • Si on prend les n premières chaussettes, par hypothèse de récurrence, celles-ci sont toutes de la même couleur (par exemple, rouge, peu importe)
    • Si on prend les n dernières, celles-ci sont aussi de la même couleur. Or, dans celles-ci, vu ce qu’on a raconté juste avant, on sait la couleur de certaines : elles sont rouges
    • Les n+1 chaussettes sont toutes de la même couleur.
  • Conclusion : Pour tout n, dans un groupe de n chaussettes, toutes les chaussettes sont de la même couleur

Bon, la conclusion est absurde, n’est-ce pas ! Il doit y avoir une erreur.

Deux interprétations différentes peuvent la retrouver :

  • Soit on a mal initialisé : en prenant 2 chaussettes, on n’est pas sûr que ces 2 chaussettes soient de la même couleur
  • Soit on n’a pas fait assez attention dans l’hérédité : pour passer de 1 à 2 chaussette, notre raisonnement ne tient pas, puisque cela consiste à faire deux groupes de 1 chaussette, sans chaussette commune…

Bref, la récurrence, c’est bien pratique, mais à manipuler avec précaution !

Pour compléter

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Boire ou conduire, il faut choisir !

Drapeau jaune : Cet article demande quelques connaissances mathématiques de base et un peu d’abstraction pour être entièrement saisi.


Les vacances ont débuté pour certains, arrivent bientôt pour d’autres. Peut-être prendrez-vous la route cet été, qui sait ?

Vous connaissez certainement ce slogan : celui qui conduit, c’est celui qui ne boit pas. Une statistique donne en effet le ton : l’alcool est en cause dans près de 30% des accidents mortels.

Seulement, dans ce cas, après un rapide calcul, on se rend compte que cela signifie que 70% des accidents sont causés par des personnes ayant bu de l’eau. C’est donc que l’eau est plus meurtrière que le vin !

Alors, vraiment dangereux l’alcool ? C’est l’heure de l’article de maths rabat-joie !

Différences de fréquence

Ce raisonnement est bien évidemment absurde ! Lorsqu’on lit la phrase  » l’alcool est en cause dans près de 30% des accidents mortels », il ne faut pas comprendre qu’on a 30% de risque d’avoir un accident mortel si l’on a consommé de l’alcool. On parle en fait d’un événement conditionnel : si l’on choisit uniformément au hasard un accident mortel – ce qui est quand même bien morbide, on ne va pas se le cacher -, la probabilité que l’alcool soit en cause dans celui-ci est d’environ 0.3, soit 30%.

Autrement dit, la probabilité que de l’alcool ait été consommé sachant qu’un accident a eu lieu est de 0.3, ce que l’on écrit de manière plus condensée P( Alcool | Accident ) = 0.3. Le | se lit alors « sachant ».

Rajoutons alors une information à notre énoncé : environ 2% des conducteurs prennent le volant alors qu’ils ont consommé de l’alcool, ce qui signifie qu’en prenant un conducteur au hasard, accident ou pas, on a une probabilité de 0.02 que celui-ci ait pris de l’alcool avant d’embarquer en voiture. On note alors P( Alcool ) = 0.02

D’entrée on remarque la différence des deux fréquences : quand l’on considère tous les conducteurs, on a 2% de personnes ayant consommé de l’alcool alors qu’en se restreignant à un plus petit groupe, on en trouve 30%. C’est donc que, vraisemblablement, il y a un lien entre ces deux groupes !

La formule de Bayes

Pour connaître « l’influence » de l’alcool sur la survenue d’accidents, il faudrait plutôt calculer la probabilité P( Accident | Alcool ). Et cette probabilité, c’est la formule de Bayes qui va nous la donner.

Formule de Bayes

La Formule de Bayes

Pour plus d’informations et d’explications sur cette formule, n’hésitez pas à consulter ce billet très bien rédigé : http://dridk.me/le-theoreme-de-bayes.html

Dans notre cas, le « A » est l’accident, le « B » est la consommation d’alcool, et nous obtenons donc :

 

Nous n’avons pas accès à la probabilité d’avoir un accident en général. Toutefois, nous pouvons faire le même calcul pour les personnes ne consommant pas d’alcool :

La probabilité d’avoir un accident étant – hélas – non nulle, on peut alors diviser les membres de gauche et de droite de nos deux égalités.

Morale de l’histoire : en prenant de l’alcool, on a 21 fois plus de risques d’avoir un accident que lorsque l’on n’en prend pas.

Evidemment, tous ces calculs ont leur limite – on met dans le même sac les personnes ayant 0.5 g ou 5g d’alcool par litre de sang, on ne considère que des conducteurs seuls et on a une estimation pas forcément réaliste du nombre de personnes roulant malgré leur consommation d’alcool – mais ils permettent de mieux comprendre ces chiffres que l’on nous donne.

Allez, soyez prudents !

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C’est quoi un pavage ?

Drapeau vert : Cet article ne demande aucune connaissance mathématique particulière


Je dois vous faire une confession : lorsque je visite certains monuments comme les châteaux et les églises, je ne peux m’empêcher d’aborder leur architecture par une approche mathématique : forme des voûtes, symétries, mais surtout pavages.

Oui, les pavages, ces fameux pavages qui font tant désespérer ma femme lorsqu’elle me surprend à prendre en photo les fenêtres du château de Blois plutôt que de m’intéresser à la chambre du roi -enfin, sauf lorsque le sol présente lui aussi un joli motif ! Alors voilà, il faut bien que je m’explique un peu, mais commençons par le commencement !

C’est quoi un pavage ?

Le pavage, c’est tout bêtement le carrelage de votre salle de bain !

Plus précisément, on se donne un nombre fini de formes géométriques, que l’on appelle les tuiles. Restons dans le classique et commençons avec une dalle de carrelage carré. Le but de la manoeuvre, c’est de recouvrir tout le sol de votre salle de bain à l’aide de ces petits carrés, sans laisser le moindre trou et sans que les carrés ne se chevauchent, bien évidemment.

Ce carrelage est un pavage ayant un carré pour tuile de base.

Vous avez réussi ? Bravo ! Vous avez réalisé le pavage de votre salle de bain. Alors, nuançons tout de même : pour réaliser un pavage proprement dit, il faut paver une salle de bain infiniment grande.

Plusieurs motifs différents

Pavage d’Escher, utilisant des lézards comme tuiles

Pour notre premier pavage, nous avons commencé simplement avec un carré, mais il est possible d’utiliser d’autres tuiles de base, comme des triangles et les hexagones réguliers, ou d’autres un peu plus compliquées.

Un pavage utilisant des hexagones légèrement déformés

Les hexagones, d’ailleurs, se retrouvent aussi dans la nature comme par exemple dans les ruches ou dans la forme des colonnes de basalte : il s’avère que ce pavage est le « plus économique », dans le sens où, si l’on souhaite mettre des joints entre les tuiles de notre pavage, à surface de tuile donnée, c’est le pavage hexagonal qui nous permettra d’économiser le plus de joints – et de temps ! Ce théorème porte le nom du théorème du nid d’abeilles et a été prouvé en 1999 par Thomas Hales, autant dire qu’il est très récent.

Les abeilles seraient-elles de brillantes mathématiciennes ?

On peut bien sûr explorer les polygones non réguliers : si un pentagone régulier ne permettra jamais de paver le plan, d’autres pentagones feront un joli carrelage, comme c’est par exemple le cas dans le pavage du Caire.

Pavage du Caire, quatre pentagones sont assemblés pour former un hexagone

Rien ne nous interdit également d’utiliser deux ou trois tuiles différentes et de les combiner pour paver le plan : c’est par exemple le cas du pavage « carré adouci » qui utilise des tuiles en forme de carrés et de triangles équilatéraux.

Notez d’ailleurs que, dans ce pavage, chaque sommet du polygone est le point de rencontre de deux carrés et de trois triangles : un tel pavage est dit uniforme, et il en existe 11 au total.

On peut encore aller plus loin selon le nombre de points de rencontre différents que l’on s’impose, mais pour cela, je vous conseille la très complète vidéo d’Eljj sur le sujet.

Une des fenêtres du château de Blois, à l’origine de cet article !

Mais pourquoi on fait ça ?

Un pavage, c’est joli, c’est mignon, mais à quoi ça sert ? L’intérêt de l’étude de ces pavages remonte au XVIIIe siècle, avec l’abbé René Just Haüy. Celui-ci eut en effet le malheur de laisser tomber un cristal de calcite, lequel se brisa alors. Surpris, puisque ces cristaux étaient supposés très résistants, l’abbé essaye alors de briser d’autres cristaux de son importante collection à l’aide d’un marteau. Il n’y parvint que selon certains angles bien précis. Il continua ainsi ses coups de marteaux et obtint une forme semblable à celle d’un cristal intact, mais en plus petit bien entendu.

Les cristaux, à l’origine de la fascination pour les pavages ?

L’idée lui vint alors qu’un cristal serait en fait l’assemblage de mailles de petites tailles, mais toujours de la même forme : tout comme un carré peut être découpé en 4 carrés plus petits, il serait possible de découper un cristaux en un certain nombres de mailles plus petites… Du moins pendant un temps. Lorsque ce découpage n’est plus possible, on obtient alors une maille élémentaire.

Un cristal serait donc l’assemblage de ces mailles élémentaires, toutes similaires et collées les unes avec les autres selon leur face.

La question que l’on se pose alors est celui de la forme des mailles : quelles sont les possibilités ? Contrairement à ce que nous avons fait avec nos pavages, il ne s’agit plus ici de paver un plan avec des dalles mais de remplir tout l’espace avec des solides, des polyèdres plus précisément.

Le plan comme départ

Le remplissage de tout l’espace est bien complexe, ceci dit ! Pour comprendre ceux-ci, simplifier le problème n’est pas du luxe, et une première idée est de se restreindre au plan, aux pavages. On chercha donc à classer tous les pavages du plan possible à l’aide d’une seule tuile polygonale :

  • D’abord, il est possible de paver le plan avec n’importe quelle tuile triangulaire ou n’importe quel quadrilatère. Ca c’est fait.
  • Ensuite, dès que l’on a des polygones de plus de 7 côtés, ce n’est pas possible, peu importe la forme du polygone.

Restent alors les pentagones et hexagones. Le but est donc de trouver des conditions que doivent remplir les tuiles pentagonales ou hexagonales pour pouvoir remplir le plan.

Les hexagones qui pavent le plan se divisent alors en trois classe, un même hexagone pouvant appartenir à plusieurs classes différentes.

Pour le pentagone, obtenir un résultat définitif a été bien plus compliqué. A plusieurs reprises, des mathématiciens ayant affirmé avoir obtenu une classification complète des pentagones pavant le plan se sont vus contredits par la découverte d’un nouveau modèle. On citera notamment Marjorie Rice, en 1977, ajouta pas moins de 4 classes à la collection, alors même qu’elle n’a suivi aucune formation mathématique particulière !

La question fut réglée en 2017, lorsque Michael Rao prouva, à l’aide de l’informatique, qu’il n’y avait que 15 classes de pentagones qui pavent le plan. Bref, pour le plan, c’est fini.

Les 15 classes de pavages pentagonaux.

Pour l’espace… Il faudra encore de petits efforts !

Pour compléter

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Vers l’infini et au-delà !

Drapeau rouge : Cet article demande quelques connaissances mathématiques intermédiaires ainsi qu’une bonne capacité d’abstraction.

 

0, puis 1, puis 2, puis 3… Et ainsi de suite, compter n’est plus un secret pour vous depuis bien longtemps. Si l’on ne vous donne aucune limite, ce décompte peut alors durer puisque les nombres ne s’arrêtent jamais : pour un nombre donné, on peut toujours en trouver un plus grand, il suffit de lui ajouter un. C’est ce qu’explique Eljj a son neveu dans sa dernière vidéo, en concluant sa démonstration par :

Il n’existe pas de nombre plus grand que tous les autres

… Et si justement, il en existait un ?

Plus grand que tout

En mathématiques, tout est permis – ou presque. Il suffit d’un peu de magie et de fantaisie, et parfois d’un brin d’esprit tordu pour que naissent de nouvelles théories.

Prenons les entiers naturels, ceux que nous présentons plus haut : ceux-ci sont ordonnés linéairement et l’on peut donner le premier élément, le suivant, le suivant du suivant, le précédent du cinquième élément, enfin bref, nos petits entiers 0, 1, 2, 3, 4, 5… Des entiers que l’on nommera standards.

L'ensemble des entiers standards

L’ensemble des entiers standards

Lorsque l’on utilise ces nombres et seulement ceux-ci, on fait ce que l’on appelle de l’arithmétique standard, et en arithmétique standard, il n’existe pas de nombre plus grand que tous les autres.

Eh bien, faisons fi de tout cela ! De notre grand chapeau de mathématicien, sortons un nouveau « nombre » de notre chapeau, que nous nommerons I, tel que I > n pour n’importe quel entier naturel n.

Si l’on représente graphiquement l’ensemble des entiers par une droite et les entiers par des points sur cette droite, alors notre I se trouve loin, très loin devant. Infiniment loin à vrai dire.

Ce que l’on fait ici, cela s’appelle de la théorie des modèles : on regarde d’autres systèmes de nombres qui contiennent les nombres entiers que nous connaissons, ceux de l’arithmétique standard.

Revenons alors à notre nombre I : vous serez peut-être tenté de dire que I vaut l’infini, et ce n’est peut-être pas un tort. I est infiniment grand, pourtant, il est possible de trouver un nombre plus grand que I. A l’image de ce que nous faisions pour trouver de plus grands entiers, il suffit d’ajouter 1 à I. On aura bien évidemment I + 1 > I.

De même, on peut considérer le nombre I – 1. Celui-ci est plus petit que I, mais il reste plus grand que tous les entiers standards.

Il est également possible de multiplier ces nouveaux nombres entre eux : prenons par exemple le nombre L = I x I. Comme pour les entiers classiques, on pourra dire que I est la racine carrée de L – parce que bon, il faut se le dire, I est quand même franchement positif. Nous entrons peu à peu dans le monde étrange de l’arithmétique non standard. De nombreuses propriétés des entiers naturels restent vraies en ajoutant ces entiers infiniment grands, à condition de rester prudents.

Infiniment grands et récurrence

Il faut en effet rester prudent car certaines propriétés si chers à l’ensemble des entiers naturels se perd lorsque l’on passe à de l’arithmétique non standard : c’est le cas du raisonnement par récurrence.

Le principe de la démonstration par récurrence est similaire à celui des dominos. Si l’on veut montrer qu’une propriété est vraie pour tout entier naturel (standard), il suffit de montrer que :

  • cette propriété est vraie à un rang donné – souvent 0
  • Si elle est vraie au rang n, elle reste vraie au rang n + 1

Autrement dit, en faisant chuter le premier domino, les suivants sont entraînés dans sa chute.

Hélas, lorsque l’on ajoute les entiers non standards comme on les a défini plus haut, et bien tout ne se passe pas comme prévu. Par exemple :

  • 0 est un entier standard
  • Si n est un entier standard, alors n +1 est un entier standard.

La propriété « être un entier standard » satisfait donc les deux propriétés énoncées. Pourtant, nous savons, parce que nous avons construit notre modèle ainsi, qu’il existe des entiers non standards.

En fait, le fait que le mot « standard » apparaisse explicitement dans l’énoncé de cette propriété fait que le principe de récurrence ne peut s’appliquer à cette propriété. Pas de chance !

Vers l’infiniment petit

La notion d’infiniment grand est intimement lié à la notion d’infiniment petit : gardon notre nombre I mais plaçons nous cette fois dans l’ensemble des nombres réels, où les divisions sont permises. Que vaut alors le nombre 1/I ?

Celui-ci est très proche de 0, infiniment proche de 0 même. Si proche que, pour n’importe quel réel standard positif r, on a l’égalité :

0 < 1/I < r

C’est bien simple : pensez à un nombre positif. 1/I est plus petit. Voilà. Et puisque I + 1 est plus grand encore que I, on a alors 1 / (I+1) qui est encore plus petit que 1/I. Ces quantités sont infinitésimales : positives, non nulles, mais infiniment petites !

Cette notion, développée dans les années 60 par Abraham Robinson, vient en fait compléter l’intuition d’infinitésimaux de Newton et Leibniz déjà abordée dans un autre billet de blog. Elle la rend d’ailleurs rigoureuse et permet de faciliter certaines preuves complexes mettant en œuvre la dérivation notamment ! Comme quoi, cette idée farfelue ne l’était peut être pas tant.

Bon, maintenant, pour expliquer ça à un enfant de 5 ans…

Pour compléter

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π est juste, oubliez τ !

Attention, cet article peut contenir : Mauvaise foi (75%), Hooliganisme piiste (3.14%)

Nous sommes au IIIe siècle avant notre ère, au temps où Archimède tente d’exprimer le rapport entre la circonférence d’un cercle et son diamètre. Ces calculs le mènent à un nombre compris 220/71 et 22/7. Des siècles plus tard, nous savons antre autre que ce fameux nombre noté π ne peut s’écrire sous la forme d’une fraction. Et il s’avère que ce petit π a fait bien du chemin, loin de son cercle : on le voit apparaître dans de nombreuses autres formules de géométrie mais aussi d’analyse ou d’algèbre.

Pi

Seulement voilà, π est le rapport entre la circonférence et le diamètre du cercle, mais tout mathématicien vous répondra que l’important dans le cercle, ce n’est pas le diamètre, mais bien le rayon ! Après tout, le cercle n’est-il pas l’ensemble des points situés à une distance donnée d’un point donné ?

Ceci pris en considération, la circonférence C du cercle s’exprime en fonction du rayon R comme étant C = 2πR. Et c’est ce 2 qui fait grincer des dents ! Parce que quitte à définir une constante pour le cercle, autant faire en sorte qu’elle ne soit pas accompagnée d’un autre constante à côté – ce fameux 2 ! Pire encore, il semblerait que notre nombre π, dont on a dit qu’il s’aventurait et visite de nombreux domaines des mathématiques, ne puisse se séparer de son petit facteur 2 si encombrant.

Un clan obscur s’est alors formé pour établir une nouvelle constante du cercle : plutôt que d’utiliser π, ceux-ci recommandent d’utiliser son double, τ = 2π.

Deux articles se font alors les manifestes de ces tauistes :

Vous pouvez allez lire ces lignes si vous le souhaitez, je me charge de vous les faire oublier dans celles qui vont suivre.

π et le cercle

Drapeau vert : Cette partie ne demande aucune connaissance mathématique particulière

Pourquoi diable Archimède a-t-il défini π ainsi ? Pourquoi n’a-t-il pas directement calculé le rapport C/R, qui vaut environ 6.28. La raison ici est purement technique : prenez un objet circulaire dont vous ne connaissez pas le centre.

Pour déterminer son diamètre, il suffit de prendre deux droites parallèles, de rapprocher ces deux droits jusqu’à bien encadrer l’objet puis de mesurer l’encadrement. Pour mesurer le rayon… Et bien il faut d’abord calculer le diamètre, puis le diviser par 2.

En d’autres termes, pour les objets du quotidien, le diamètre est la quantité la plus accessible. Pas étonnant donc que les largeurs des vis ou des balles de fusils expriment le diamètre plutôt que le rayon !

π se retrouve ailleurs avec le cercle, puisque pour obtenir l’aire d’un cercle de rayon R, il faut faire le calcul A = πR². Nul besoin d’un 2 ici. Alors oui, je sais, d’un coup, je suis d’accord pour utiliser le rayon plutôt que le diamètre, ce qui rend la formule plus jolie. Je vous répondrai simplement que, dans les deux cas, l’utilisation de τ aboutira à des formules peu aguichantes.

En résumé, π et τ peuvent être définis ainsi :

 

Il y a de quoi donner de la constante du cercle à chaque nombre. Alors voyons plutôt du côté des angles.

Angles et polygones

Mesurer des angles en degré, c’est depuis bien longtemps dépassé. Les vrais mesurent leurs angles en radian. La règle est simple : 180°, c’est-à-dire un demi-tour, valent π radians, et le reste s’obtient simplement par proportionnalité. L’idée derrière ce changement d’unité est de relier la valeur de l’angle à la longueur de l’arc de cercle que cet angle intercepte : ce doit être la même valeur, au rayon près.

La longueur de l’arc de cercle est égal au produit du rayon et de l’angle mesuré en radians.

Ainsi, si dans un cercle de rayon 1, on choisit deux rayons formant un angle a, alors l’arc de cercle intercepté par cet angle aura une longueur qui vaut exactement a.

Le chemin pour τ semble alors tout tracé : quel est l’angle qui permet de définir un quart de cercle ? τ/4 ! Celui qui définit un tiers de cercle ? τ/3. A côté, π/2 et 2π/3 ne semblent pas offrir de belle résistance.

Des angles en radians… selon Pi ou Tau ! Image de tauday.com

Est-ce suffisant pour autant ? Dites-moi alors l’aire d’un demi-disque unité ? π/2 ! D’un quart du disque unité ? π/4 ! Là encore, τ et π se partagent les lauriers : l’un semble plus adapté aux longueurs, l’autre aux aires. Match nul.

Aires du disque unité. Images provenant de http://www.thepimanifesto.com/

Mais revenons-en aux angles, si vous le voulez bien. Il existe un théorème que vous avez entendu au tout début de votre scolarité : dans un triangle, la somme des angles vaut 180°, autrement dit π radians. Dans un quadrilatère, cette somme vaut 2π radians. Pour un pentagone, 3π radians, pour un hexagone, 4π radians. Pour un polygone à n côtés, elle vaut (n-2)π radians. N’est-ce pas là une formule des plus élégantes ?

Mieux encore, l’aire d’un polygone régulier inscrit dans un cercle de rayon 1 vaut :

Ah oui tiens, je ne vous ai pas parlé de cosinus et de sinus encore ? Il est temps de réparer cette erreur.

Un peu de trigonométrie

Drapeau jaune : Cette partie demande quelques connaissances mathématiques et un peu d’abstraction pour être entièrement saisie.

Prenez un cercle de rayon 1 et tracez deux diamètres perpendiculaires : l’un horizontal, l’autre vertical. Prenez alors un rayon de ce cercle : celui-ci forme un certain angle a avec le rayon horizontal qui part vers la droite. Regardons alors les coordonnées du point d’intersection de ce rayon choisi avec le cercle. Ceux-ci ne dépendent bien évidemment que de l’angle. On appellera alors cosinus de a (noté cos(a)) sa coordonnée selon l’axe horizontal. Son sinus (sin(a)) sera sa coordonnée selon l’axe vertical.

Comme un dessin vaut parfois bien mieux qu’une explication, en voici un :

Puisque faire un tour complet ne change pas le sinus ou le cosinus (ou autrement dit, pour n’importe quel x réel, sin(2π+x) = sin(x) et cos(2π + x) = cos(x)), on aurait tendance à se dire que remplacer π par son cousin serait une bonne idée. Cependant, sinus et cosinus cachent également d’autres formules faisant intervenir π sans être associé à un 2. Pour n’importe quels x réel et n’importe quel entier k, on a en effet.

  • sin(π+x) + sin(x) = 0
  • sin(π – x) = sin(x)
  • cos(π – x) + cos(x) = 0
  • cos (π + x) + cos(x) = 0
  • sin(kπ) = 0
  • cos(kπ) = (-1)^k

On peut également définir, lorsque le cosinus d’un angle ne vaut pas 0 (ce qui arrive avec une période de π), la tangente de l’angle : tan(x) = sin(x)/cos(x). On aboutit alors à de nouvelles identités :

  • tan(π + x) = tan(x)
  • tan(π – x) + tan(x) = 0

De belles formules, n’est-ce pas ? Mais attendez, car de belles formules, en voilà d’autres !

Des formules élégantes

Drapeau rouge : Cet article demande quelques connaissances mathématiques intermédiaires ainsi qu’une bonne capacité d’abstraction

Les tauistes ont tendance à trouver le 2 qui accompagne π inélégant, inapproprié : c’est d’ailleurs toute la motivation de ce mouvement. Mais ce couple est-il omniprésent ? Pas le moins du monde, et j’en veux pour exemple cette intégrale :

Qu’un amateur de mathématiques vienne me dire que cette formule n’est pas belle, je l’attends ! Cette intégrale, connue sous le nom d’intégrale de Gauss, est omniprésente en probabilité. En effet, ceux qui ont rencontré la loi normale se souviennent peut-être plus ou moins de sa densité ; pour une loi normale d’espérance μ et de variance σ, elle vaut :

J’en vois déjà crier victoire à la vue de ce 2π, mais attendez un peu : nous allons réarranger cette formule en posant S =√2σ :

Et voilà, envolé le 2π ! En réalité, le 2 ne se couplait pas avec le π ici, mais bien avec le σ.

Et de belles formules ne faisant intervenir que π, il y en a d’autres en réserves, et en voici un petit florilège rien que pour vos yeux ébahis.

Prenez donc la fonction Γ, définie ainsi pour tout x réel positif:

Cette fonction est bien connue puisqu’elle « généralise » la notion de factorielle. Nous avons les égalités suivantes :

Plus haut nous parlions de l’aire d’un disque, mais pourquoi se limiter à deux dimensions ? Regardons le volume d’une boule-unité dans un espace à n dimensions !

Allons maintenant voir la cousine : l’ellipse dont les demi-axes ont pour longueur a et b :

Et pour ceux qui aiment les intégrales, les fonctions trigonométriques mais aussi leurs réciproques nous donnent quelques jolies petites égalités :

Enfin, vous l’aurez compris, π a encore de beaux jours devant lui…

Et π c’est tout !

Pour compléter

  • Les arguments avancés ici sont entre autres issus du Pi Manifesto

Toutefois, pour bien défendre son nombre, il faut savoir ce qu’on lui reproche !

Et du côté français :

 

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