Auchan et les équations

Vous avez surement vu fleurir des tas d’énigmes de ce genre, mettant en jeu des emojis que l’on fait s’additionner, multiplier, diviser entre eux et où le but est de retrouver la valeur représentée par chacun de ces symboles. Bref, une équation où les obscurs x et y sont remplacés par des visages souriants, des parasols ou des bouquets de fleur.

Eh bien c’est précisément un de ces jeux qui est au cœur d’une affaire mathématique, que nous allons nous empresser d’élucider dans ces lignes. L’article qui parle de celle-ci m’a été relayé sur Twitter par @Sandrin80469527 que je remercie.

En Août 2018, la page Facebook d’Auchan Blois lance un concours avec tout de même un ordinateur à la clé. Le principe est simple : résoudre l’énigme que voici :

Cherchez donc de votre côté avant de poursuivre ces lignes !

Vous avez trouvé ? Fort bien !

Peut-être avez-vous fait le raisonnement suivant:

  • 3 ordinateurs valent 15, c’est donc qu’un ordinateur vaut 5
  • Puisqu’un ordinateur + 2 imprimantes valent 11, c’est qu’une imprimante vaut 3
  • Enfin, une imprimante + 4 souris valent 7, ce qui implique qu’une souris vaut 1
  • Finalement 5 + 3 + 1 =9, c’est donc la réponse.

Cette réponse de 9, un étudiant toulousain ne l’entendait pas de cette oreille. Celui-ci a donc porté plainte contre l’enseigne, estimant qu’elle ne respecte pas ses engagements commerciaux.

La raison se trouve sur la troisième ligne : nous n’avons pas réellement une imprimante + 4 souris. Pour être rigoureux, il aurait ainsi fallu mettre des signes + entre chaque paquet de deux souris. Eh oui, on ne rigole pas avec l’écriture en mathématiques : l’absence d’un signe correspond à une multiplication, pas à une addition.

Notre étudiant trouve donc bien la valeur de 5 pour l’ordinateur et la valeur de 3 pour l’imprimante. Seulement, son raisonnement est différent pour la ligne 3, qu’il interprète ainsi (on appellera I l’imprimante et S la souris, ça fait gagner de la place…)

  • I + S x S + S x S = 7
  • Réécrivons cela I + S² +S² = 7. Le carré d’un nombre est la multiplication de ce nombre par lui-même.
  • Encore mieux : I + 2S² = 7
  • Or, puisque I vaut 3, cela signifie que 3 + 2S² =7
  • Nous avons donc 2S² = 4
  • C’est-à-dire S² = 2
  • Et S=√2, soit environ 1.414

La réponse de notre étudiant est donc de 8+√2, environ 9.414.

Et c’est ainsi qu’une maladresse d’écriture conduit à l’affaire à suspense de l’été. Alors, chers organisateurs : à l’avenir, écrivez-mieux vos équations, ne maltraitez pas les signes.

Quant à savoir si ce jeune homme aura gain de cause, on pourra toujours lui rétorquer qu’il existe deux nombres dont le carré vaut 2, et que s’il n’en a adressé qu’un seul, il n’aura eu que la moitié de la réponse !

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La formule de Girard

Vous avez manqué la dernière vidéo qui parle de géométrie sphérique ? Il n’est jamais trop tard pour aller la regarder !

Dans cette vidéo, je mentionne une propriété très importante en géométrie sphérique : la somme des angles d’un triangle y est toujours supérieure à 180 degrés (ou plutôt π radians, puisque nous utiliserons plutôt cette unité d’angle pour la suite).

De combien ? Potentiellement beaucoup, il n’y a pas de valeur fixe. Cette somme peut valoir entre π, pour un triangle d’aire nulle à 3π, pour une hémisphère… ce qui nous prive d’un beau résultat.

Mais de belles formules, il n’en manque pas, cependant !

Angles et triangle

Prenez trois points A, B et C sur une sphère. Pour former un triangle, il faut joindre les points A et B en traçant l’arc de cercle ayant pour centre le centre de la sphère et joignant A à B. On prendra évidemment l’arc le plus court, histoire de minimiser le trajet.

En faisant de même avec B et C, puis avec A et C, on délimite ainsi une zone qui est ce que l’on nomme tout simplement un triangle sphérique.

Nous appellerons alors α l’angle situé au sommet A, β celui situé sur le sommet B et γ celui situé sur le sommet C, ces angles étant exprimés en radians.

Contrairement au plan, où peu importe les angles donnés (pourvu que leur somme fasse 180°), on pourra tracer des triangles aussi grands que l’on veut, ces triangles sont restreints à la sphère lorsqu’il s’agit de géométrie sphérique.

Nous allons appeler R le rayon de notre sphère. La surface de cette sphère vaut alors 4πR2.

Regardons pour commencer l’angle α . Celui-ci délimite une zone, un fuseau sur notre sphère, et l’aire de cette surface est proportionnelle à cet angle α. Elle vaut α / (2π) x 4πR2, soit 2α R2. Nous allons également considérer le fuseau symétrique. L’aire totale occupée par ces deux fuseaux sera donc de Aα=4α R2.

L’angle alpha permet de délimiter deux fuseaux sur la sphère. L’aire hachurée vaut Aα=4α R2.

De la même manière, l’aire des deux fuseaux délimitées par l’angle β valent Aβ = 4β R2 et les deux fuseaux délimités par γ valent Aγ = 4γ R2

Regardons alors notre sphère, lorsque ces trois fuseaux sont présents.

Deux régions, correspondant au triangle et à son symétrique par rapport au centre de la sphère, sont traversées par les trois fuseaux en même temps.

On voit que les fuseaux recouvrent entièrement la sphère, mais que deux régions sont traversées par ces trois fuseaux : il s’agit du triangle et de son symétrique par rapport au centre de la sphère.

Par conséquent, si j’ajoute l’aire de la région issue de α, celle issue de β et celle issue de γ , on obtient la surface de la sphère… plus un supplément. En effet, on a compté l’aire du triangle 6 fois (3 pour le triangle lui-même et 3 pour son symétrique), il faut donc retirer 4 fois l’aire du triangle pour retomber sur le bon compte.

En résumé :

Aα+Aβ+Aγ – 4 Aire triangle = Aire totale

En remplaçant par les valeurs trouvées plus haut, on a alors

4 α R2 + 4 β R2 + 4 γ R2 – 4 Aire triangle = 4πR2

En arrangeant tout cela, on obtient finalement la formule de Girard :

Aire triangle = (α + β + γ – π) x R2

Une formule d’une étonnante simplicité qui relie l’aire d’un triangle t la valeur de ses angles. C’est beau !

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[JEU] Timeline mathématique

Rome ne s’est pas faite en un jour… Cela dit, les mathématiques non plus ! Partez à la découverte des événements d’hier qui font les mathématiques d’aujourd’hui.

Accédez au Drive Timeline mathématiques

Le Timeline version mathématiques que je vous propose est une version personnelle du jeu Timeline : le but du jeu est de reconstituer une frise chronologique des mathématiques, mais vous ne serez pas seul ! Vous devrez vous débarrasser des cartes en votre possession avant vos adversaires.

Saurez-vous dater ces événements de l’histoire des mathématiques ?

Déroulement

Le jeu se compose de plusieurs cartes. Au recto figurent un événement et une illustration, et au verso sont ajoutées les dates et des précisions éventuelles à ce sujet.

  • Chaque joueur reçoit un certain nombre de cartes devant lui, face « date » cachée.
  • Une carte est ensuite placée au centre de la table, date découverte : elle constituera le premier repère de la frise.
  • Les autres cartes seront placées en une pile sur la table

Le premier joueur va alors choisir une de ses cartes et la placer avant ou après la carte déjà présente sur la table. S’il pense que son événement est postérieur à celui placé, il placera sa carte après la carte retournée. Sinon, il la placera avant.

On retourne alors la carte et découvre la date

  • Si la carte est bien placée, elle reste sur la frise
  • Sinon, elle est retirée et le joueur prend une nouvelle carte dans la pile.

C’est au joueur suivant de jouer. Suivant les résultats du premier joueur, il aura davantage de possibilités. Si, par exemple, deux cartes sont présentes dans la frise, il aura la possibilité de placer la carte de son choix avant la première carte, après la deuxième carte ou entre les deux, selon la date qu’il pense être juste.

Le premier joueur à s’être débarrassé de ses cartes remporte la partie.

Contenu

Sur le drive, vous trouverez les cartes, avec recto et verso (162 cartes à ce jour), ainsi que les règles officielles du Timeline, que chacun adaptera selon sa convenance.

Sous peu, vous aurez également une fiche indicative pour les événements qui sont mentionnés ici. N’hésitez pas à me remonter toute erreur si vous en décelez une.

Bonne aventure temporelle et mathématique !

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Trois demis font quinze dixièmes

Il y a de cela deux semaines environ, un tweet faisait son apparition sur la toile. Son sujet : les fractions ! Il était en effet question de la démonstration de l’égalité de deux fractions, et c’est cette démonstration qui a fait parler.

Vous trouvez tout cela trop difficile ? Vous n’avez pas compris cette preuve ? Ou au contraire, vous ne voyez pas le problème que cet extrait peut causer ? Allons donc, explorons ce document.

Des nombres rationnels

D’abord, précisons qu’il s’agit là d’un extrait des Repères annuels de progression de 5e, que vous pourrez trouver dans leur intégralité à cette adresse. C’est donc un document à destination des professeurs mais les indications qui y figurent peuvent à tout moment être présentés à l’élève.

La démonstration s’appuie sur la définition du nombre \frac{a}{b} où a est un nombre entier (positif, pour commencer) et b est un nombre entier différent de 0. \frac{a}{b} est ainsi le nombre qui, multiplié par b, donne a.

Autrement dit, dans cette définition, ce \frac{a}{b} est un nombre à part entière, un nombre dit rationnel : il ne s’agit pas de diviser a par b, mais bien de la notation d’un nombre, tout comme π ou √2 et même 1 sont la notation d’autres nombres. D’ailleurs, que signifie mathématiquement « diviser », si ce n’est trouver un nombre qui, multiplié par un premier, en donne un deuxième ?

Prenons par exemple \frac{3}{2} : il s’agit du nombre qui, multiplié par 2, vaut 3 (plus communément écrit \frac{3}{2} \times 2 = 3. Seulement, lorsque l’on fait 1,5 \times 2, on obtient également 3. c’est tout simplement que \frac{3}{2} et 1,5 sont deux écritures différentes du même nombre.

Et dans cette démonstration, il s’agit justement de montrer qu’un nombre rationnel peut avoir plusieurs écritures.

Par définition, \frac{15}{10} est le nombre qui multiplié par 10, vaut 15. Oui mais voilà, si je prends \frac{3}{2} et que je le multiplie par 10, j’obtiens \frac{3}{2} \times 10. Or, 10 = 2 x 5, on en déduit que \frac{3}{2} \times 10 = \frac{3}{2} \times 2 \times 5$.

En revenant à la définition de \frac{3}{2}, on a alors que \frac{3}{2} \times 2 \times 5 = 3 \times 5 = 15. Autrement dit, \frac{3}{2} est, comme \frac{15}{10}, le nombre qui, multiplié par 10, vaut 15. Ces deux nombres sont donc égaux.

La démonstration peut se généraliser en utilisant le calcul littéral, mais je la laisse en exercice au lecteur. Rassurez-vous, le rapport préconise dans un premier temps de se limiter aux exemples comme celui-ci. Ouf.

Et pour l’élève alors ?

Cette vision vous a peut-être déstabilisé, et j’avoue que je l’ai moi-même regardé de travers dans un premier temps. Pour beaucoup, nous avons vu d’abord la représentation « à la grecque », c’est-à-dire une illustration géométrique des fractions.

L’approche géométrique possède plusieurs avantages, notamment en ce qui concerne les opérations sur les fractions, bien plus évidentes à mon goût avec cette illustration qu’en utilisant uniquement la définition.

Il ne faut pas pour autant jeter une énorme pierre carrée à l’approche plus numérique car elle présente, toujours selon mon avis, plusieurs avantages.

  • D’abord, elle introduit l’idée de démonstration. Et sur ce point, je pense qu’il est important de ne pas découpler les deux approches : du point de vue géométrique par exemple, on peut faire conjecturer aux élèves cette égalité des fractions, mais bien leur faire comprendre qu’un coup d’oeil de mathématiques ne suffit pas toujours. Peut-être que, grâce à cela, nous verrons moins de « le triangle est rectangle car j’ai mesuré un angle droit avec mon équerre » le jour du brevet…
  • Elle permet aux élèves de manipuler les nombres. Combien de secondes ai-je vu buter sur une simple équation « 2x=5 ». Autrement dit, quel est le nombre qui, multiplié par 2, donne 5 ? C’est la définition de 5/2 !
  • Toujours dans cette idée de nombre, on présente les fractions comme tel ! Là encore, même en 2nde, des élèves butent lorsqu’ils voient 1/3 et qu’il ne parviennent pas à s’en sortir. Faites comme les autres nombres, puisque c’en est un !

Ajoutons également que cette approche n’a pas pour but d’éclipser les autres. Les égalités de produit en croix ou les simplifications par un facteur commun ne sont pas jetés aux oubliettes et peuvent faire l’objet d’un développement de la sorte.

Bref, je ne vois pas de quoi s’alarmer : ce raisonnement, s’il est bien présenté, ne me semble pas si compliqué et confronte l’élève à de belles mathématiques. De toute manière, il ne s’agit là que de recommandations, et le professeur qui ne les apprécie guère pourra tout simplement les oublier… Mais ce serait fort dommage.

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Le problème des reines

Dans ma dernière vidéo, j’abordais le lien entre les carrés magiques et le problème des reines. Dans ce dernier, l’énigme consistait à placer n reines sur un échiquier de taille n x n sans qu’aucune reine ne puisse en attaquer une autre.

Des solutions existent pour toute taille d’échiquier strictement supérieure à 3… Il est temps de s’y atteler !

Le problème aux origines

Au départ, il n’y avait qu’un échiquier classique, de taille 8 x 8, et c’est un joueur d’échec allemand, Max Bezzel, qui proposa l’énigme en 1848. En 1850, un certain Carl Friedrich Gauss affirma que ce problème présentait au total 92 solutions (en comptant toutes les possibilités, y compris celles qui ne sont que des rotations d’autres solutions de ce problème).

Mais comme pour tout problème de mathématique, il serait dommage de s’arrêter à un cas particulier. On se demanda alors si le même problème était résoluble pour des tailles d’échiquier différentes.

Notons d’abord que, puisqu’il ne peut y avoir qu’une seule reine par colonne, écrire une solution revient à écrire une liste comportant une seule et unique fois chaque entier de 1 à n. Ces nombres représentent les lignes sur lesquelles placer nos reines. Par exemple, sur l’échiquier 5 x 5 qui suit, la solution présentée peut se résumer par la liste ( 3 ; 5 ; 2 ; 4 ; 1 )

Solution 5 x 5

Une solution pour l’échiquier 5 x 5

Comment alors se rendre compte si la solution donnée est correcte ?

Prenez chaque nombre de cette liste et ajoutez-y le numéro de sa colonne – sa position dans la liste.

Pour le cas précédent, cela donne ( 3 + 1 ; 5 + 2 ; 2 + 3 ; 4 +4 ; 1 + 5 ) soit (4 ; 7 ; 5 ; 8 ; 6). On remarque que tous les nombres obtenus sont différents.

Maintenant, reprenez la liste de départ, et retirez à chaque nombre sa position, sa colonne. Dans l’exemple on a ( 3 – 1 ; 5 – 2 ; 2 – 3 ; 4 – 4 ; 1 – 5 ), soit (2 ; 3 ; -1 ; 0 ; -4). Là encore, tous les nombres sont différents… Eh bien, avec ces deux critères, nous pouvons affirmer que notre liste donne bien une solution au problème des reines.

En effet, récapitulons les conditions au problème de la reine.

  • Il ne peut y avoir qu’une reine par colonne. C’est pour cela que nous pouvons résumer un placement des reines avec des nombres entiers.
  • Il y a une et unique reine par ligne : tous les nombres de 1 à n doivent être présents une et une seule fois dans la liste.
  • Deux reines ne doivent pas partager la même diagonale. C’est ce que l’on vérifie en faisant cette manipulation.

Regardons par exemple ce placement, qui n’est pas une solution du problème des reines.

Placement incorrect

Ce placement s’écrit (1 ; 4 ; 3 ; 5 ; 2). Il respecte les deux premières conditions. Ajoutons donc à chaque nombre sa position dans la liste.

( 1 + 1 ; 4 + 2 ; 3 + 3 ; 5 + 4 ; 2 + 5) fait (2 ; 6 ; 6 ; 9 ; 7). On voit apparaître le nombre 6 en 2ème et 3ème position : c’est parce que les reines des deuxièmes et troisièmes colonnes sont sur la même diagonale ascendante.

Faisons de même avec la soustraction ( 1 – 1 ; 4 – 2 ; 3 – 3 ; 5 – 4 ; 2 – 5), ce qui fait
(0 ; 2 ; 0 ; 1 ; -3). Cette fois, le 0 apparaît en 1ère et 3ème position : c’est parce que les reines des premières et troisièmes colonnes sont sur la même diagonale descendante.

Un test fort pratique donc ! Pour les amateurs de permutation, on cherche donc une permutation P de l’ensemble des entiers de 1 à n telle que P + id et P – id soient injectives. Oui, d’un coup, ça fait plus savant et sérieux que placer des dames sur du carrelage.

D’accord, mais nous on veut les solutions !

Passons donc aux choses sérieuses. Plusieurs cas existent, suivant la taille de votre échiquier.

Cas n°1 : La taille de votre échiquier n’est pas de la forme 6k + 2 ou 6k + 3.

C’est le cas d’un échiquier de taille 5, 6, 7, mais pas de taille 8, puisque 8 = 6 x 1 + 2, ni de 39, puisque 39 = 6 x 6 + 3. Ce cas est très simple puisqu’il suffit de placer les reines en « L ».

Placez une reine sur la deuxième case en partant du bas sur la première colonne. Puis avancez d’une case à droite et deux cases en haut, placez une nouvelle reine. Et ainsi de suite, jusqu’à dépasser du bord supérieur. Placez alors une reine tout en bas dans la colonne suivante et recommencez. Vous avez votre solution !

Solution pour 7

Une solution en escalier pour un échiquier 7 x 7

Cas n°2 : La taille de votre échiquier est de la forme 6k + 2

C’est le cas de 8, 14, 20, et ainsi de suite, de 6 en 6.

Placez les nombres paires d’un côté et les nombres impairs de l’autre. Pour 8, cela donne (2 ; 4 ; 6 ; 8 ; 1 ; 3 ; 5 ; 7).

Inversez le 1 et le 3, puis placez le 5 à la fin : (2 ; 4 ; 6 ; 8 ; 3 ; 1 ; 7 ; 5). Terminé !

Solution 14 x 14

Une solution pour le problème 14 x 14

Cas n°3 La taille de votre échiquier est de la forme 6k + 3

C’est le cas de 9, 15, 21 et ainsi de 6 en 6.4

De la même manière, séparons la liste des entiers selon la parité. Pour 15, cela donnerait donc (2 ; 4 ; 6 ; 8 ; 10 ; 12 ; 14 ; 1 ; 3 ; 5 ; 7 , 9 , 11 ; 13 ; 15)

Il faut ensuite placer le 2 à la fin de la liste des pairs puis le 1 et le 3 à la fin de la liste des impairs, ce qui donne ( 4 ; 6 ; 8 ; 10 ; 12 ; 14 ; 2 ; 5 ; 7 ; 9  ; 11 ; 13 ; 15 ; 1 ; 3)

Solution sur l’échiquier 15×15

Et c’est terminé !

Combien de solutions ?

C’est bien beau tout ça, mais combien de solutions a-t-on ? Ces nombres ont été déterminés pour des échiquiers de taille allant jusqu’à 27 : on compte 234907967154122528 – plus de 200 millions de milliards – solutions au total, ce qui se réduit à 29363495934315694 – plus que 29 millions de milliards.

Les plus curieux pourront consulter les séquences A002562 et A000170 sur l’OEIS.

Pour le reste, nul ne sait vraiment. L’hypothèse a été faite que le nombre total était de l’ordre de n!/c où c est un réel, environ égal à 2,54, mais nul ne le sait vraiment. Alors, si vous vous ennuyez un jour…

Pour aller plus loin

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Les moyens de moyenner

Drapeau vert : Cet article ne demande aucune connaissance mathématique particulière


Si vous avez fait un tour sur Blogdemaths, vous avec surement lu cet article poétiquement intitulé Harmonique, nique, nique, qui vous présentait une autre manière de calculer une moyenne, selon le contexte. C’est ce que l’on appelle la moyenne harmonique.

Seulement, des moyennes, il en existe une belle fournée – à vrai dire, on peut en fabriquer autant qu’on veut, mais certaines sont plus utiles que d’autres…

Petit tour d’horizon !

C’est quoi une moyenne ?

Avant d’aller plus loin, il convient de rappeler ce que l’on appelle une « moyenne ». Dans vos souvenirs de collège, vous avez peut-être inscrit quelque part que pour calculer une moyenne, il suffit d’additionner toutes les valeurs puis de diviser par le nombre de valeurs.

Hélas ! C’est une formule que vous retenez, pas le concept qui est derrière.

Prenons l’exemple de Paulo le cheval qui doit traîner sa carriole et les personnes  l’intérieur. Il s’avère que, dans sa charrette, Paulo transporte 5 personnes dont les poids sont de 70, 42, 84, 24 et 60 kilogrammes – non, je ne sais pas si un vrai cheval est bien capable de déplacer une telle charge, mais c’est un cheval mathématique ici, ne sous-estimez pas ses capacités.

Au total, Paulo doit donc déplacer 280 kilos, et c’est bien tout ce qui l’intéresse. Tout au plus pourrait-on lui murmurer à l’oreille qu’il doit transporter 5 personnes de 280/5=56 kilos chacune que ça ne lui changerait rien.

Paulo et Paula sont prêts à partir..

C’est là tout l’intérêt de la moyenne : à partir de plusieurs observations faites sur un certain nombre d’individus, il faut assigner à chacun de ces individus une valeur qui laisse le total des observations inchangé. Dans notre cas, que les 5 personnes aient le poids énoncé plus haut ou pèsent toutes 56 kg, cela ne change rien pour notre cheval.

Toute la nuance de la moyenne réside en fait dans ce mot « total ». S’il nous paraît parfois raisonnable de convertir le mot « total » en « somme », il y a des situations où l’on ferait mieux de se retenir violemment.

D’autres moyennes

A ce titre, on peut reprendre la moyenne harmonique présentée sur Blogdemaths.

Si un automobiliste roule à 60 km/h durant une certaine distance puis à 100 km/h durant une même distance, sa vitesse moyenne durant son parcours sera de 75 km/h, et non de 80. Faire une somme de vitesse n’a pas de sens. Tout ce que l’on peut faire, c’est additionner des distances ou des temps.

Dans un autre registre, imaginez donc que le prix de la baguette double l’année prochaine, puis, suite à une crise massive, soit multiplié par 8 l’année suivante. Quelle aura été son augmentation moyenne ?

Au total, la baguette a été multipliée par 2 puis par 8, soit par 16 en deux ans. Notre total est ici déterminé par une multiplication. Il faut maintenant prendre la racine carrée de 16, soit 4, pour obtenir la multiplication moyenne du prix du pain. Multiplier par 2 puis par 8 revient bien à multiplier deux fois de suite par 4. C’est ce qu’on appelle la moyenne géométrique.

Moyenne géométrique

Si l’on considère deux nombres positifs a et b, la moyenne géométrique g de ces deux nombres est telle que a/g = g/b. Autrement dit, on se retrouver avec g²=ab, d’où :

g=\sqrt{ab}

On peut interpréter ce résultat géométriquement (ah, ah !) : g est la longueur du côté du carré ayant même aire que le rectangle ayant pour longueurs de côté les nombres a et b.

Autre interprétation dans un triangle rectangle : la moyenne géométrique de a et b est la longueur de la hauteur issue de l’angle droit qui partage l’hypoténuse de longueur a+b en deux segments de longueur a et b. Et comme un dessin vaut mieux qu’un long discours…

Moyenne géométrique

Moyenne géométrique de deux nombres positifs

On peut, pour s’en convaincre, remarquer que les deux angles signalés en vert ici sont égaux. Or, les amateurs de trigonométrie auront noté que la tangente de ces angles vaut a/g pour l’un et g/b pour l’autre : on en revient à la définition de la moyenne géométrique.

Notons au passage que la moyenne arithmétique correspond à la longueur du rayon du cercle circonscrit à ce triangle rectangle. Elle  est donc forcément supérieur ou égale à la moyenne géométrique.

Il est également possible de placer la moyenne harmonique sur ce dessin, ainsi qu’une autre moyenne : la moyenne quadratique, qui vaut :

q = \sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}

Moyennes

Différentes moyennes sur un seul dessin

Pour les amateurs de rugby, sachez au passage que la moyenne géométrique vous permettra de placer optimalement votre ballon dans le cas d’une tentative de transformation d’essai.

L’angle est maximal lorsque la longueur x est la moyenne géométrique des longueurs a et b.

Pour aller un peu plus loin dans la moyenne…

La moyenne géométrique, comme les moyennes arithmétiques et harmoniques, peut se généraliser à plus de deux observations : il suffit de prendre la racine n-ième du produit de toutes les observations. Ainsi, si le prix du pain était multiplié par 2, puis par 9, puis par 12, on aurait une multiplication moyenne de \sqrt[3]{2\times 9 \times 12}, soit un prix du pain multiplié en moyenne par 4 chaque année.

Sachez également que si ces moyennes ne vous conviennent pas, il vous est possible d’en créer à volonté : si l’on considère une fonction f qui est monotone sur l’ensemble des réels strictement positifs, la formule

f(m)=\frac{f(a)+f(b)}{2}

permet de définir une moyenne selon f. En prenant par exemple f(x)=x, on retrouve la moyenne arithmétique. En prenant f(x)=ln(x), c’est la moyenne géométrique…

Ne vous reste plus qu’à donner un sens à tout cela…

Pour compléter

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Solides de Platon, d’Archimède et de Catalan

Ce billet de blog fait écho à la dernière vidéo publiée sur la chaîne, dans laquelle j’abordais les formes des dés et parlais vaguement des solides de Catalan. Il est temps d’éclaircir le mystère.

C’est l’heure du dual !

Lorsque l’on parle de solides, on ne peut évidemment pas passer outre les solides de Platon, au nombre de 5.

Les 5 solides de Platon : Tétraèdre régulier, Cube, Octaèdre régulier, Dodécaèdre régulier et Icosaèdre régulier

Rappelons les conditions d’entrée dans ce club très fermé :

  • Le polyèdre doit être convexe (sans creux, il doit pouvoir être posé sur chacune de ses faces)
  • Toutes les faces doivent être des polygones réguliers identiques
  • Elles ne doivent pas se couper, hormis sur les arêtes
  • Tous les sommets doivent être le point de rencontre du même nombre de faces

Forcément, avec toutes ces conditions, pas étonnant de ne compter que peu de membres. Et encore, ce nombre pourrait être, d’une certaine manière, réduit à 3 si l’on regroupe ensemble les polyèdres duaux.

Pour construire le dual d’un polyèdre régulier, il suffit de placer un point au centre de chacune de ses faces. Il faut ensuite relier les points qui appartiennent à des faces adjacentes, qui partagent une arête. Par exemple, en faisant ce procédé, on voit que l’octaèdre est le dual du cube.

Octaèdre et cube sont duaux.

De la même manière, on se rendra compte que dodécaèdre et icosaèdre sont duaux et que le tétraèdre est son propre dual.

Puisque les sommets de l’un deviennent les faces de l’autre et inversement, deux polyèdres duaux partagent alors les mêmes propriétés de symétrie. On se restreint alors à trois groupes de symétrie : les symétries du tétraèdre, du cube et du dodécaèdre

Relâcher les conditions

Tout ça, c’est bien beau, mais avoir un club fermé n’est pas forcément pour nous plaire : c’est assez ennuyeux, en somme. Relâchons légèrement les conditions : nous allons maintenant regarder les polyèdres convexes qui sont composés de plusieurs sortes de polygones réguliers, mais qui ont toujours la même propriété sur leur sommet : ceux-ci doivent être le point de rencontre des mêmes types de face, dans le même ordre.

Ces solides sont appelés les solides d’Archimède, et on en exclut en général les prismes et anti-prismes, fort peu intéressants.

Un exemple de solide d’Archimède, il s’agit du cuboctaèdre : composé de 6 carrés et 8 triangles équilatéraux, chaque sommet est entouré d’un triangle, d’un carré puis d’un triangle et de nouveau un carré

Cuboctaèdre

Comment obtenir tous ces solides ? Eh bien nous allons faire subir toutes sortes de choses à nos solides de Platon.

Le cuboctaèdre peut par exemple être vu comme un cube que l’on a tronqué au niveau des sommets, jusqu’au milieu de l’arête (on parle de solide rectifié). En s’arrêtant un peu avant, de manière à avoir des hexagones réguliers comme faces, on obtient un cube tronqué. En continuant l’opération, on arrivera finalement jusqu’à l’octaèdre tronqué, puis l’octaèdre.

La troncature des sommets permet de passer du cube au cube tronqué, au cuboctaèdre, à l’octaèdre tronqué, à l’octaèdre.. et inversement !

En tronquant un octaèdre, on peut faire tout le cheminement dans le sens inverse. Mais l’on peut également tronquer un cuboctaèdre : on obtient bien sûr un… cuboctaèdre tronqué, composé de 26 hexagones, octogones et carrés. On parle également de cube bitronqué

Tronquer un cuboctaèdre donne un nouveau solide d’Archimède

Quitte à bien limer notre solide, il est également possible d’attaquer ses arêtes : on dit alors que le solide est biseauté

En biseautant notre cube, on obtient un petit rhombicuboctaèdre

Dernière torture à infliger à notre solide, un peu moins évident : il est possible de l’adoucir. Cette opération consiste à écarter les faces et les faire pivoter de manière à faire entrer des triangles équilatéraux dans les espaces.

Tuto : Comment adoucir un cube ?

Et… C’est à peu près tout. En faisant de même avec le tétraèdre et le dodécaèdre, on obtient alors un total de 13 solides d’Archimède différent, dont toute la liste se trouve ici.

Vous y trouverez notamment le fameux icosaèdre tronqué, plus connu sous l’appellation ballon de football !

Et Catalan alors ?

J’y viens, rassurez-vous ! Les solides de Catalan adoptent le point de vue inverse des solides d’Archimède : les sommets sont différents mais toutes les faces doivent être les mêmes, indissociables les unes des autres.

Nous avons à notre disposition 13 solides d’Archimède, aux sommets identiques, et nous avons également une formidable transformation : le dual. Il faudra toutefois légèrement modifier la construction par rapport aux polyèdres réguliers, mais le principe reste le même : les sommets deviennent les faces et les faces deviennent des sommets.

Puisqu’un solide d’Archimède a tous ses sommets équivalents, le dual d’un solide d’Archimède aura toutes ses faces équivalentes. Il y a ainsi 13 solides de Catalan.

Voici par exemple le dual du cuboctaèdre, qui est le dodécaèdre rhombique

Le dual du cuboctaèdre est le dodécaèdre rhombique

Pour découvrir tous les solides de Catalan, c’est par ici !

Pour compléter

  • Le site Mathcurve présente les polyèdres archimédiens et les liens avec les pavages du plan et de la sphère
  • Pour visualiser les solides et les transformations pour passer de l’un à l’autre : https://polyhedra.tessera.li
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