Suites de diviseurs

Vous connaissez peut-être déjà la conjecture de Syracuse, déjà abordée dans un billet de blog. Elle consiste à prendre un nombre de départ, puis à lui appliquer une petite opération, et recommencer avec le nombre obtenu. Il existe de nombreux algorithmes de ce genre, comme celui relatif à la persistance multiplicative des nombres. En voici un autre que je vous présente aujourd’hui.

Suite aliquote

Prenons le nombre 20. Ses diviseurs propres, c’est-à-dire différents de lui-même, sont 1, 2, 4, 5 et 10. Si l’on fait la somme de ces diviseurs propres, on obtient 22.

On recommence alors, les diviseurs propres de 22 sont 1, 2 et 11, dont la somme vaut 14. Les diviseurs propres de 14 sont 1 et 7, sont la somme vaut 8.

On fait la somme des diviseurs propres de 8 : 1 + 2 + 4 = 7. 7 n’a qu’un seul diviseur propre qui est 1, et 1 n’ayant pas de diviseur propre, on s’arrête ici.

La suite obtenue, 20, 22, 14, 8, 7, 1 s’appelle la suite aliquote de racine 20.

Des nombres particuliers

Essayons maintenant de construire la suite aliquote de racine 6.

Les diviseurs stricts de 6 sont 1, 2 et 3, dont la somme vaut 6… Vous l’avez compris, la suite aliquote va boucler à l’infini, 6, 6, 6, 6, 6.

Un tel nombre est ce que l’on appelle un nombre parfait, et rien que ceux-là ont leur part de mystère. A ce jour, on en a trouvé une cinquantaine, en relation avec certains nombres premiers (vous en saurez plus dans cet article). En existe-t-il une infinité ? En existe-t-il qui soient impairs ? Aucune réponse à ces deux questions…

Regardons maintenant la suite aliquote de racine 220.

  • La somme de ses diviseurs propres est 1+2+4+5+10+11+20+22+44+55+110=284
  • La somme des diviseurs propres de 284 est 1+2+4+7+71+142=220

Cette fois, la suite boucle entre deux nombres, 220 et 284 : ces nombres sont dits amicaux.

La généralisation se fait alors rapidement : des nombres sont dits sociables si la suite aliquote issue de l’un de ces nombres boucle infiniment sur ces nombres.

Les nombres 1264460, 1547860, 1727636, 1305184 sont par exemple sociables, chaque nombre étant la somme des diviseurs propres du nombre précédent (en revenant sur le premier).

Il existe également une suite de 28 nombres qui vérifient cette propriété, qui est la suivante :

14316 → 19116 → 31704 → 47616 → 83328 → 177792 → 295488 → 629072 → 589786 → 294896 → 358336 → 418904 → 366556 → 274924 → 275444 → 243760 → 376736 → 381 028 → 285 778 → 152990 → 122410 → 97946 → 48976 → 45946 → 22976 →
22744 → 19916 → 17716  (→ 14316 )

Mais peut-on en trouver pour toutes les longueurs ?

Des problèmes irrésolus

La réponse est… on ne sait pas !

A vrai dire, une conjecture est faire : il n’existerait aucune séquence dont la longueur est un nombre de la forme 4k+3, c’est-à-dire 3, 7, 11, 15 etc…

A ce jour, si seuls 50 nombres parfaits ont été trouvés, plus d’un milliard de nombres amicaux existent. 5000 environ font partie d’une suite de taille 4. Ont été également trouvées des suites de longueur 5, 6, 8, 9 et donc 28, mais rien d’autre à ce jour.

Et à vrai dire, on ne sait pas non plus si cet algorithme se termine forcément, à l’image de la conjecture de Syracuse. Sauf qu’il suffit de chercher beaucoup moins loin pour trouver les récalcitrants.

C’est le cas par exemple des suites aliquotes ayant pour racine 276, 552, 564, 660 et 966. Le premier de ces nombres aboutit, à la 469ème étape, au nombre 149 384 846 598 254 844 243 905 695 992 651 412 919 855 640. Ces suites n’ont toujours pas trouvé de fin, et peut-être n’en ont-elles pas ?

C’est tout l’objet de la conjecture de Catalan-Dickson : selon celle-ci, toute suite aliquote aboutit soit au nombre 1, soit à un groupe de nombres sociables. Elle exclut donc une suite qui ne ferait que prendre de nouvelles valeurs à chaque itération.

Enfin, si vous vous ennuyez pour la fin des vacances, voilà de quoi vous occuper !

Pour en savoir plus

  • Nombres amiables et suites aliquotes, Jean-Paul Delahaye, Pour la Science n°292
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Approcher Pi

3.14159265358979323846… et ainsi de suite. Je pourrais bien vous écrire toutes les décimales du nombre π, mais j’ai peur de manquer de place. Aussi, je ne me contenterais que d’une approximation.

Et non, il ne s’agit pas de 3.14, mais plutôt d’une fraction : 22/7 – comme 22 juillet, la date du jour, comme c’est convenu ! A vrai dire, il s’agit là d’une des toutes meilleures fractions pour estimer ce nombre magique…

Des fractions continues

Vous avez peut-être déjà entendu parler de l’algorithme d’Euclide, qui consiste à trouver le plus grand diviseur commun entre deux nombres. Prenons un exemple, on cherche le plus grand diviseur commun de 5486 et 286. On écrit alors la division euclidienne de 5486 par 286

  • 5486 = 19 x 286 + 52, on fait alors le division euclidienne de 286 par 52
  • 286 = 5 x 52 + 26, on fait la division euclidienne de 52 par 26
  • 52 = 2 x 26 + 0, on a terminé.
  • Le plus grand diviseur commun à 5486 et 286 est le dernier reste non nul de cet algorithme, c’est-à-dire 26.

Ce n’est pas vraiment ce qui va nous intéresser pour arriver à nos 22/7 à vrai dire. Nous allons plutôt combiner nos égalités.

D’abord, puisque 5486 = 19 x 286 + 52, si on divise le tout par 286, on obtient que \dfrac{5486}{286}=\dfrac{19 \times 286 + 52}{286}=19+\dfrac{52}{286}.

Nous allons alors renverser la dernière fraction, et utiliser la deuxième de nos divisions euclidiennes

\dfrac{5486}{286}=19+\dfrac{52}{286}=19+\dfrac{1}{\dfrac{286}{52}}=19+\dfrac{1}{\dfrac{5\times 52 + 26}{52}}=19+\dfrac{1}{5+\dfrac{26}{52}}

En simplifiant alors 26/52, (ce qui revient, en fait, à se servir de la dernière division euclidienne), on en vient à la dernière égalité

\dfrac{5486}{286}=19+\dfrac{52}{286}=19+\dfrac{1}{\dfrac{286}{52}}=19+\dfrac{1}{\dfrac{5\times 52 + 26}{52}}=19+\dfrac{1}{5+\dfrac{1}{2}}

Cette succession de fraction de fraction de fraction s’appelle, dans le jargon, une fraction continue. Il est possible de reprendre ce petit algorithme avec n’importe quels nombres entiers… Mais pas seulement.

Approcher Pi

Ce petit jeu, nous pouvons le faire avec π . En effet, nous savons que π = 3.14159265358979323846.. = 3 + 0.14159265358979323846. Comme nous avons fait précédemment, nous allons renverser le dernier terme.

\pi = 3 + \dfrac{1}{\dfrac{1}{0.14159265358979323846..}}= 3+\dfrac{1}{7,06251331...}

On obtient donc une valeur approché se π qui vaut 3 + 1/7, soit 22/7 ! Cette estimation est assez bonne, puisqu’elle a une précision de 2 chiffres après la virgule. En effet, 22/7 vaut environ 3.1428. Mieux encore, si vous essayez d’approcher π avec une fraction ayant un dénominateur inférieur à 7 (et quand je dis fraction, je parle de fraction avec des nombres entiers, je vous vois venir au fond), vous ne pourrez pas avoir un meilleur résultat ! Ces développements particuliers donnent en ce sens les meilleurs approximations possibles des nombres réels.

En effet, on peut continuer encore un bout de temps notre développement. A l’étape suivante, on aurait alors :

\pi \simeq 3 + \dfrac{1}{7 + \dfrac{1}{15}}

Soit une approximation de π à 355/113, soit environ 3.14159292… avec 6 décimales juste !

Spirale de Pi

Ces approximations étaient importantes du temps où les calculs se faisaient à la main : en manipulant des nombres pas trop grands mais fournissant une précision suffisante, il était possible de faire des calculs certes, incorrects, mais suffisamment proches de la réalité.

Faisons par exemple une expérience : partons d’un point sur l’axe horizontal d’un repère, puis mettons un deuxième point après avoir fait π tours autour de l’origine, puis un troisième après de nouveau π tours autour de l’origine, et ainsi de suite. Nous obtenons cette figure.

Voyez-vous les 7 branches qui semblent se dessiner ? C’est justement parce que π est proche de 22/7 : faire π tours, c’est un peu comme faire 3 tours complets puis un septième de tours. Sur l’animation suivante, vous avez ainsi, en vert, les points qui apparaissent tous les π tours, et en rouge, tous les 22/7 tours.

Et le résultat est encore bluffant avec la fraction 355/113, ici en bleu, puisqu’il est impossible de distinguer le bleu du vert. Efficace, comme approximation, n’est-ce pas ?

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Des égalités remarquables

Drapeau rouge : Cet article demande quelques connaissances mathématiques intermédiaires ainsi qu’une bonne capacité d’abstraction


Voici un petit lot d’égalités : essayez donc de percevoir le schéma qui semble se cacher derrière.

Si vous ne me faites pas confiance, vous pouvez toujours vérifier ces calculs sur ce site qui vous permettra de manipuler de si grands nombres (car il se pourrait que votre pauvre petite calculatrice ne tienne pas le coup…).

Alors hasard ou généralité ? Peut-on ainsi ajouter à sa guise des 6, des 0 et des 3 et conserver cette égalité, ou viendra-t-il un moment où cette égalité ne tiendra plus ?

Attention, la démonstration qui suit contient quelques traces de bourrinisme calculatoire. Aussi, si manipuler des nombres et des lettres vous effraie, arrêtez-vous ici et dites-vous que vous avez découvert des égalités absolument surprenantes ! Sinon, continuez donc, vous ne serez pas déçus du voyage.

L’astuce est de remarque que les nombres en jeu ressemblent farouchement au début du développement décimal de fractions bien connues.

Pour prouver nos égalités, nous allons donc remarquer que, pour tout entier positif n, on a les relations suivantes. D’abord

Ou il y a exactement n fois le nombre 6. L’astuce est en effet de multiplier la fraction 1/6 et d’en retirer sa mantisse, c’est-à-dire sa partie « après la virgule ». En procédant de même avec les deux autres nombres en jeu, nous avons donc :

avec exactement n zéros, et pour finir

avec cette fois n+1 fois le chiffre 3. Il est désormais temps de cuber tout cela et d’ajouter gaiement. C’est le moment de se retrousser les manches.

Nous allons commencer par factoriser le second membre pour ne pas avoir à se traîner trop de fractions.

Si on développe toute cette parenthèse (développement laissé en exercice), on obtient alors

Courage, c’est bientôt fini. Regardons maintenant le nombre 16…6650…0033…33. Celui-ci se décompose en

où l’entier n désigne toujours le nombre de 6 et de 0, et n+1 le nombre de 3. Reprenons alors les relations que nous avions remarqué un peu plus tôt.

Et magie ! Nous retrouvons exactement la même expression… Ouf, tout est bien qui finit bien !

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Ne pas faire phi des fourmis

Vous savez à quoi ressemble une fourmi, n’est-ce pas ? Mais savez-vous comment elles se reproduisent ?

Au sein d’une colonie de fourmis, c’est la reine qui se charge de la ponte des œufs. Celle-ci peut alors décider, selon les besoins de la fourmilière, de les féconder en utilisant un spermatozoïde gentiment stocké dans sa spermathèque, ou de le laisser tel quel. Dans le premier cas, l’œuf donnera naissance à une fourmi femelle. Dans le second cas, ce sera un mâle. Oui, la reine des fourmis a la possibilité de décider du sexe de ses descendants, mais n’entrons pas dans ce débat voulez-vous ?

Posons-nous plutôt la question : mais pourquoi diable nous parle-t-on de fourmis dans un blog qui se veut de « vulgarisation mathématique » ? Nous allons en fait nous intéresser aux arbres généalogiques de ces insectes.

Plutôt que d’analyser la descendance, regardons alors l’ascendance.

  • Toute fourmi mâle n’a qu’un seul parent, qui est la reine, une femelle
  • Toute fourmi femelle possède, elle, deux parents : un mâle et une femelle.

Dressons donc l’arbre généalogique d’un individu mâle, par exemple. Il devrait ressembler à ceci :

Le but de notre exerc… article du jour est de compter le nombre d’ascendants de cette fourmi mâle. Nous noterons ainsi an le nombre d’ascendants à la génération n. Par exemple a0 vaut 1, a1 = 1, a2 = 2, a3 = 3, a4 = 5, et ainsi de suite.

1, 1, 2, 3, 5… Cela vous dit peut-être quelque chose…

De la même manière, nous allons noter mn le nombre de mâles et fn le nombre de femelles à la génération n. Il est simple de voir que, pour n’importe quelle génération n, an = mn + fn. Le nombre d’ascendants est égal au nombre d »ascendants mâles ajouté au nombre d’ascendants femelles.

Nous allons maintenant traduire les données de notre « énoncé ».

  • Toute fourmi mâle n’a qu’un seul parent, qui est la reine, une femelle
  • Toute fourmi femelle possède, elle, deux parents : un mâle et une femelle.

Plaçons-nous à une génération n quelconque. Le nombre de mâles à la génération suivante, la génération n+1, est égal au nombre de femelle de la génération n : en effet, seules les femelles ont un mâle comme ascendant direct.

En revanche, le nombre de femelles de la génération suivante est égal eu nombre de mâle et de femelles de la génération n : chaque fourmi a en effet un ascendant femelle, quel que soit son sexe. Nous avons donc établi deux relations :

  • mn+1=fn
  • fn+1=mn+fn

Passons à la génération suivante, la génération n+2. Le raisonnement est strictement identique au précédent

  • mn+2=fn+1=mn+fn=an
  • fn+2=mn+1+fn+1=an+1

Et dans tout cela, on peut récupérer le nombre total d’ascendants à la génération n+2, il suffit d’ajouter les mâles et les femelles :

  • an+2=mn+2+fn+2=an+an+1

Nous avons donc établi la relation suivante :

  • an+2=an+an+1

En d’autres termes, pour avoir le nombre d’ascendants à une certaine génération, il faut additionner le nombre d’ascendants des deux générations précédentes. Par exemple, à la génération 4, il y a 5 ascendants, ce qui est bien la somme du nombre d’ascendants de la génération 3 (3) et de la génération (2). Vous pouvez compléter cet arbre et vous verrez qu’à la génération suivante, il y aura 5 + 3 = 8 ascendants.

D’ailleurs, le nombre de mâles et le nombre de femelles à chaque génération obéit également à cette relation. Essayez donc !

Cette suite, c’est la très connue suite de Fibonacci, que l’on doit au mathématicien éponyme. Cela dit, lui n’étudiait pas vraiment l’ascendance d’une fourmi mais plutôt de la descendance d’un couple de lapins… Chacun son truc.

Toujours est-il que cette suite a diverses propriétés, que vous pourrez observer dans  quelques-unes des vidéos que j’ai pu publier.

L’une d’elle est que si je divise un terme de la suite par le précédent, le résultat se rapproche d’une quantité que l’on nomme le nombre d’or, aussi appelé Phi… Oui, il fallait au moins que j’explique le titre !

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Auchan et les équations

Vous avez surement vu fleurir des tas d’énigmes de ce genre, mettant en jeu des emojis que l’on fait s’additionner, multiplier, diviser entre eux et où le but est de retrouver la valeur représentée par chacun de ces symboles. Bref, une équation où les obscurs x et y sont remplacés par des visages souriants, des parasols ou des bouquets de fleur.

Eh bien c’est précisément un de ces jeux qui est au cœur d’une affaire mathématique, que nous allons nous empresser d’élucider dans ces lignes. L’article qui parle de celle-ci m’a été relayé sur Twitter par @Sandrin80469527 que je remercie.

En Août 2018, la page Facebook d’Auchan Blois lance un concours avec tout de même un ordinateur à la clé. Le principe est simple : résoudre l’énigme que voici :

Cherchez donc de votre côté avant de poursuivre ces lignes !

Vous avez trouvé ? Fort bien !

Peut-être avez-vous fait le raisonnement suivant:

  • 3 ordinateurs valent 15, c’est donc qu’un ordinateur vaut 5
  • Puisqu’un ordinateur + 2 imprimantes valent 11, c’est qu’une imprimante vaut 3
  • Enfin, une imprimante + 4 souris valent 7, ce qui implique qu’une souris vaut 1
  • Finalement 5 + 3 + 1 =9, c’est donc la réponse.

Cette réponse de 9, un étudiant toulousain ne l’entendait pas de cette oreille. Celui-ci a donc porté plainte contre l’enseigne, estimant qu’elle ne respecte pas ses engagements commerciaux.

La raison se trouve sur la troisième ligne : nous n’avons pas réellement une imprimante + 4 souris. Pour être rigoureux, il aurait ainsi fallu mettre des signes + entre chaque paquet de deux souris. Eh oui, on ne rigole pas avec l’écriture en mathématiques : l’absence d’un signe correspond à une multiplication, pas à une addition.

Notre étudiant trouve donc bien la valeur de 5 pour l’ordinateur et la valeur de 3 pour l’imprimante. Seulement, son raisonnement est différent pour la ligne 3, qu’il interprète ainsi (on appellera I l’imprimante et S la souris, ça fait gagner de la place…)

  • I + S x S + S x S = 7
  • Réécrivons cela I + S² +S² = 7. Le carré d’un nombre est la multiplication de ce nombre par lui-même.
  • Encore mieux : I + 2S² = 7
  • Or, puisque I vaut 3, cela signifie que 3 + 2S² =7
  • Nous avons donc 2S² = 4
  • C’est-à-dire S² = 2
  • Et S=√2, soit environ 1.414

La réponse de notre étudiant est donc de 8+√2, environ 9.414.

Et c’est ainsi qu’une maladresse d’écriture conduit à l’affaire à suspense de l’été. Alors, chers organisateurs : à l’avenir, écrivez-mieux vos équations, ne maltraitez pas les signes.

Quant à savoir si ce jeune homme aura gain de cause, on pourra toujours lui rétorquer qu’il existe deux nombres dont le carré vaut 2, et que s’il n’en a adressé qu’un seul, il n’aura eu que la moitié de la réponse !

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La formule de Girard

Vous avez manqué la dernière vidéo qui parle de géométrie sphérique ? Il n’est jamais trop tard pour aller la regarder !

Dans cette vidéo, je mentionne une propriété très importante en géométrie sphérique : la somme des angles d’un triangle y est toujours supérieure à 180 degrés (ou plutôt π radians, puisque nous utiliserons plutôt cette unité d’angle pour la suite).

De combien ? Potentiellement beaucoup, il n’y a pas de valeur fixe. Cette somme peut valoir entre π, pour un triangle d’aire nulle à 3π, pour une hémisphère… ce qui nous prive d’un beau résultat.

Mais de belles formules, il n’en manque pas, cependant !

Angles et triangle

Prenez trois points A, B et C sur une sphère. Pour former un triangle, il faut joindre les points A et B en traçant l’arc de cercle ayant pour centre le centre de la sphère et joignant A à B. On prendra évidemment l’arc le plus court, histoire de minimiser le trajet.

En faisant de même avec B et C, puis avec A et C, on délimite ainsi une zone qui est ce que l’on nomme tout simplement un triangle sphérique.

Nous appellerons alors α l’angle situé au sommet A, β celui situé sur le sommet B et γ celui situé sur le sommet C, ces angles étant exprimés en radians.

Contrairement au plan, où peu importe les angles donnés (pourvu que leur somme fasse 180°), on pourra tracer des triangles aussi grands que l’on veut, ces triangles sont restreints à la sphère lorsqu’il s’agit de géométrie sphérique.

Nous allons appeler R le rayon de notre sphère. La surface de cette sphère vaut alors 4πR2.

Regardons pour commencer l’angle α . Celui-ci délimite une zone, un fuseau sur notre sphère, et l’aire de cette surface est proportionnelle à cet angle α. Elle vaut α / (2π) x 4πR2, soit 2α R2. Nous allons également considérer le fuseau symétrique. L’aire totale occupée par ces deux fuseaux sera donc de Aα=4α R2.

L’angle alpha permet de délimiter deux fuseaux sur la sphère. L’aire hachurée vaut Aα=4α R2.

De la même manière, l’aire des deux fuseaux délimitées par l’angle β valent Aβ = 4β R2 et les deux fuseaux délimités par γ valent Aγ = 4γ R2

Regardons alors notre sphère, lorsque ces trois fuseaux sont présents.

Deux régions, correspondant au triangle et à son symétrique par rapport au centre de la sphère, sont traversées par les trois fuseaux en même temps.

On voit que les fuseaux recouvrent entièrement la sphère, mais que deux régions sont traversées par ces trois fuseaux : il s’agit du triangle et de son symétrique par rapport au centre de la sphère.

Par conséquent, si j’ajoute l’aire de la région issue de α, celle issue de β et celle issue de γ , on obtient la surface de la sphère… plus un supplément. En effet, on a compté l’aire du triangle 6 fois (3 pour le triangle lui-même et 3 pour son symétrique), il faut donc retirer 4 fois l’aire du triangle pour retomber sur le bon compte.

En résumé :

Aα+Aβ+Aγ – 4 Aire triangle = Aire totale

En remplaçant par les valeurs trouvées plus haut, on a alors

4 α R2 + 4 β R2 + 4 γ R2 – 4 Aire triangle = 4πR2

En arrangeant tout cela, on obtient finalement la formule de Girard :

Aire triangle = (α + β + γ – π) x R2

Une formule d’une étonnante simplicité qui relie l’aire d’un triangle t la valeur de ses angles. C’est beau !

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[JEU] Timeline mathématique

Rome ne s’est pas faite en un jour… Cela dit, les mathématiques non plus ! Partez à la découverte des événements d’hier qui font les mathématiques d’aujourd’hui.

Accédez au Drive Timeline mathématiques

Le Timeline version mathématiques que je vous propose est une version personnelle du jeu Timeline : le but du jeu est de reconstituer une frise chronologique des mathématiques, mais vous ne serez pas seul ! Vous devrez vous débarrasser des cartes en votre possession avant vos adversaires.

Saurez-vous dater ces événements de l’histoire des mathématiques ?

Déroulement

Le jeu se compose de plusieurs cartes. Au recto figurent un événement et une illustration, et au verso sont ajoutées les dates et des précisions éventuelles à ce sujet.

  • Chaque joueur reçoit un certain nombre de cartes devant lui, face « date » cachée.
  • Une carte est ensuite placée au centre de la table, date découverte : elle constituera le premier repère de la frise.
  • Les autres cartes seront placées en une pile sur la table

Le premier joueur va alors choisir une de ses cartes et la placer avant ou après la carte déjà présente sur la table. S’il pense que son événement est postérieur à celui placé, il placera sa carte après la carte retournée. Sinon, il la placera avant.

On retourne alors la carte et découvre la date

  • Si la carte est bien placée, elle reste sur la frise
  • Sinon, elle est retirée et le joueur prend une nouvelle carte dans la pile.

C’est au joueur suivant de jouer. Suivant les résultats du premier joueur, il aura davantage de possibilités. Si, par exemple, deux cartes sont présentes dans la frise, il aura la possibilité de placer la carte de son choix avant la première carte, après la deuxième carte ou entre les deux, selon la date qu’il pense être juste.

Le premier joueur à s’être débarrassé de ses cartes remporte la partie.

Contenu

Sur le drive, vous trouverez les cartes, avec recto et verso (162 cartes à ce jour), ainsi que les règles officielles du Timeline, que chacun adaptera selon sa convenance.

Sous peu, vous aurez également une fiche indicative pour les événements qui sont mentionnés ici. N’hésitez pas à me remonter toute erreur si vous en décelez une.

Bonne aventure temporelle et mathématique !

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