Drapeau vert : Cet article ne demande aucune connaissance mathématique particulière

<hr /

Compter ce que l’on voit

Le mot calcul, souvent rencontré en mathématiques, nous vient du mot latin calculus, qui signifie… cailloux !
Cette étymologie n’est évidemment pas sorti de nulle part, puisque l’on raconte qu’autrefois, à un temps où les nombres n’existaient pas encore, le berger comptait ses moutons à l’aide de petites pierres. Pour chaque animal qui rentrait dans son enclos, le berger n’avait qu’à ajouter un caillou. A la fin de l’opération, il y avait donc autant de cailloux que de moutons, le compte était bon !

Toutefois, la méthode présentait des inconvénients : on imagine bien qu’il n’était pas très commode de toujours avoir son petit tas de cailloux sur soi si l’on voulait compter ses animaux.

D’autres méthodes ont ainsi pu être imaginées : par exemple, l’os de Lebombo, un perroné de babouin datant de 35 000 ans avant notre ère, comporte 29 entailles. S’agissait-il de compter là aussi des moutons, ou de déterminer un cycle lunaire, les théories s’affrontent à son sujet. Une telle méthode avait en tout cas l’avantage de se révéler moins encombrante, mais non réutilisable.

Ces deux options partageaient en tout cas un point commun : à un animal, à un jour, à une chose que l’on souhaitait compter, on associait une encoche ou une pierre. On parle alors de raisonnement par correspondance. Notre tas de pierres avait alors autant de cailloux qu’il y avait d’animaux dans le troupeau. Mais vint alors un nouveau problème : à moins d’avoir une quantité non négligeables
de cailloux ou un os suffisamment long, comment est-il possible de représenter les nombres les plus grands ?

Regrouper par paquets

Face à une telle situation, le réflexe serait d’essayer de regrouper les encoches ou les pierres par paquet, afin de mieux se les représenter. Par exemple, plutôt que de faire une cinquième entaille dans le bâton ou l’os comme on a pu faire les quatre premières, il est possible de barrer le groupe de quatre. C’est là une manière de dire,
de comprendre que ce sigle de quatre encoches barré par une cinquième signifie que l’on a en réalité compté 5 objets.

En d’autres termes, un symbole a été créé pour représenter cinq objets à la fois, facilitant ainsi la relecture des comptes : ce sont les débuts des chiffres et des nombres. Ce sont des concepts abstraits, sans équivalence matérielle.
Si je vous demande d’imaginer un mouton, vous visualiserez sans doute un animal à quatre pattes portant une belle toison laineuse.

Mais si je vous demande d’imaginer le chiffre 3 ou le nombre 124… Peut-être imaginerez-vous 3 ou 124 moutons, mais ce ne sera pas vraiment le chiffre ou le nombre que vous aurez à l’esprit, mais bien la correspondance que vous lui donnez avec des objets ou des êtres bien réels.

Suivant les civilisations, les sigles utilisés et les nombres ainsi représentés varient. De même, leur utilisation ne sera pas exactement la même.

Plusieurs numérations

Numération additive

Pour certains systèmes, la position de ces sigles dans l’écriture ne jouera aucun sens.
Pour connaître la valeur d’un nombre, il suffit alors d’ajouter les valeurs de tous les sigles qui le constituent.
On parlera alors de numération additive. Ce principe est par exemple utilisé au départ en Mésopotamie ou en Egypte.

Mésopotamie

Les premières traces de comptage et de numération en Mésopotamie proviennent de 8000 avant notre ère, à un temps ou l’écriture n’existait pas. Pour compter le bétail confié aux bergers, les propriétaires mésopotamiens utilisaient alors des jetons d’argile de taille différente – les fameux calculi – qu’ils plaçaient à l’intérieur d’une urne. Un petit cône représentait 1 animal, une petit bille en représentait 10, un grand cône, 60. Dans d’autres circonstances, on voyait aussi apparaître un grand cône percé qui valait 600, une grande bille, 3600 et une grande bille percée qui représentait 36000.

Cette urne était alors scellée, puis brisée au retour du berger : on vérifiait alors qu’on avait le même nombre de calculi que de têtes de bétail par exemple. Peu à peu, avec l’apparition de l’écriture aux alentours de -3000, on en vint à « dessiner » les jetons que l’on déposait dans l’urne.

Calculi, urne et tablettes d’argile originaires de Mésopotamie

Si vous trouvez louche de compter de 60 en 60, prenez un instant pour vous rappeler combien de secondes composent une minute. La base 60 est également utilisée de nos jours en astronomie ou dans le calculs des angles. Rappelons qu’un angle qui fait un tour complet à une valeur de 360°, soit 6 x 60. En réalité, 60 a le bon goût d’avoir de nombreux diviseurs qui serviront plus tard dans le cas des fractions

Par ailleurs, il est possible de compter jusqu’à 60 – et même un peu plus – en utilisant ses deux mains. Si l’on excepte le pouce, notre main possède en effet douze phalanges, ce qui nous permet de compter jusqu’à douze. Le pouce sert alors à pointer la phalange correspondante. Pour aller jusqu’à 60, il faut se servir de l’autre main libre : ici, un doigt levé revient à ajouter 12 à notre nombre.

Egypte

3000 ans avant notre ère, l’écriture des nombres en Egypte se fait à l’aide de hiéroglyphes tracées sur du papyrus ou gravés sur la pierre. Les égyptiens possèdent alors un symbole qui correspond à chaque puissance de 10 jusqu’à un million : une barre verticale vaut 1, une anse de panier vaut 10, une spirale compte pour 100, et ainsi de suite jusqu’à 100000. Ici encore, pour obtenir la valeur d’un nombre, il suffit d’additionner la valeur des différents symboles.

Ecriture égyptienne des nombres

Grèce

Les Grecs ne pouvaient d’empêcher de lier les nombres à la géométrie. C’est d’ailleurs d’eux que provient le mot anglais « figure » que les anglophones utilisent en arithmétique pour désigner un nombre. Les Grecs possédaient plusieurs systèmes de numération, suivant la région. L’un d’eux, appelé système acrophonique, utilisait les lettres de l’alphabet grec et leur faisait correspondre une valeur. La lettre utilisée était souvent la première lettre de l’écriture du nombre en lettres d’où ce nom d’acrophonique. Pour plus de commodités toutefois, les Grecs prirent l’habitude d’écrire les nombres en inscrivant les symboles de valeur plus élevée à gauche et ceux de valeur moins élevée à droite.

Une autre notation, appelé ionique ou alphabétique, utilisait tout l’alphabet grec à disposition, et attribuait encore une fois une valeur à celles-ci. Les neuf premières lettres étaient attribuées aux nombres 1 à 9, les neuf suivantes pour les nombres 10, 20, 30… et les neuf dernières servaient aux nombres 100, 200, 300 et ainsi de suite jusqu’à 900. L’alphabet grec, composé de 24 lettres, dut dans un premier temps s’agrémenter de trois nouveaux symboles pour couvrir toutes les possibilités. En outre, un tel modèle ne permettait de représenter que les nombres de 1 à 999. Pour les nombres supérieurs, les Grecs rajoutaient une petite apostrophe devant les lettres A à Θ, signifiant qu’il fallait les multiplier par 1000. Puis il fallait trouver un nouveau stratagème pour les dizaines de milliers, et ainsi de suite…

Certains grecs utilisaient un alphabet de 27 lettres pour représenter les nombres.

La numération additive présente de nombreux désagréments, notamment lorsqu’il s’agit d’additionner deux nombres. C’est ce souci que vient pallier la numération de position.

Numération de position

Ici, la valeur d’un symbole dépend de la place qu’il occupe dans le nombre. Notre numération actuelle est une numération de position. Ainsi, le chiffre 1 n’a pas la même importance dans le nombre 21 que dans le nombre 14.

Babylone

Le système babylonien est la directe évolution du système mésopotamien vu plus tôt. Seuls deux symboles sont alors utilisés : un « clou » ▼, ayant une valeur de 1, et un « chevron » < ayant une valeur de 10. Pour les nombres de 1 à 59, on utilise la numération additive classique : le nombre 23 s’écrit alors <<▼▼▼.

Seulement, lorsque le nombre souhaité est supérieur à 60, le nombre utilisera alors une notation positionnelle : le clou sera alors placé plus à gauche et représentera non pas le nombre 1, mais le nombre 60, soit une soixantaine. Deux clous à gauche valent alors deux soixantaines, soit 120.

Par exemple, pour écrire le nombre 144, on le décompose en 2 x 60 + 24 ou encore
2 x 60 + 2 x 10 + 4 x 1, et on l’écrira alors ▼▼ << ▼▼▼▼

Tablette Pimpton 322 qui présente des triplets pythagoriciens, bien avant le temps de Pythagore.

Seulement, avec cette écriture, comment distinguer le 1 du 60, puisque ces deux nombres s’écrivent seulement avec un clou ? Un nouveau symbole fera alors peu à peu son apparition pour signaler qu’il n’y a rien à la position donnée. Ce sont là les racines du zéro qui sont posées.

Mayas

Les mayas, eux, comptaient non pas par paquet de 10 ou de 60, mais par paquets de 20. On parle alors de base vigésimal – et si vous pensez encore une fois qu’une telle base est insensée, rappelez-vous comment est prononcé le nombre 80 en France.

Chaque nombre de 1 à 19 est ainsi représentée par une combinaison de points et de barres, et les vingtaines sont représentées de haut en bas,  de quoi rendre les calculs très pratiques ! En outre, les mayas ont également une représentation pour le 0, qu’ils considèrent ainsi comme un nombre à part entière.

De l’Inde à l’Europe

Nous y voici. 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 et 0, les symboles que nous connaissons et que nous appelons à tort « chiffres arabes » proviennent en réalité d’Inde et datent du cinquième siècle de notre ère. Ils ont en revanche voyagé avant d’arriver jusqu’en Europe, passant dans les ouvrages d’Al-Kwarizmi, le père de l’algèbre. Ces chiffres ne seront popularisés que grâce aux traités rédigés par le Pape Sylvestre II et par la promotion faite par la mathématicien Fibonacci.

Ce système, comme vous le savez, fonctionne par paquet de 10 : dizaines, centaines, milliers et ainsi de suite. Le zéro est alors amplement utilisé pour signifier l’absence de dizaine, d’unités etc.

Et il existe bien d’autres notations encore… Certaines combinent même ces deux notions d’addition et de position, comme la numération chinoise. Le nombre 467 s’y écrit alors 410061071, avec bien évidemment, des symboles différents des chiffres que nous utilisons.

Tout ceci pose alors les bases des mathématiques : il est désormais possible de compter des objets, des animaux à l’aide de chiffres et de nombres, c’est-à-dire des objets totalement abstraits, sans aucune existence matérielle.

Fort heureusement, la folle aventure des nombres se poursuit…

PS : Je travaille en ce moment à la conception d’un site à part entière pour Automaths, qui me permettra d’ajouter pas mal de fonctionnalités – et notamment des activités pour les lecteurs. Ce blog devrait toutefois continuer d’exister en parallèle.