Le carré magique de Bachet

Dans la catégorie des jeux mathématiques, je demande le fameux carré magique ! Le principe est simple et connu de beaucoup : prenez une grille carrée de côté n et placez-y tous les nombres de 1 à n x n, de telle sorte que la somme sur les lignes, les colonnes et les diagonales de ce carré soient les mêmes.

Simple à énoncer, ce problème l’est-il aussi à la résolution ? N’hésitez pas à réfléchir avant de passer à la suite…

En 1612, dans son livre Problèmes plaisants et délectables qui se font par les nombres, Claude-Gaspar Bachet de Méziriac propose une méthode de construction de carré magique pour toute grille carrée d’ordre impair (c’est-à-dire avec un nombre impair de cases sur le côté).

Méthode de Bachet de Méziriac pour construire un carré magique.

  • La première étape consiste à étendre le carré que l’on souhaite compléter en une grille « inclinée »
  • On place alors les nombres en progressant selon les diagonales de cette grille, en partant du haut et en allant vers le bas à droite.
  • Une fois cela fait, on déplace tous les nombres qui sont hors du carré de base. Ceux de gauche sont déplacés à droite, ceux du haut en bas et ainsi de suite pour combler les cases vides.

Cette méthode marche à tous les coups… Mais pourquoi ? C’est bien ce qui nous intéresse ici. Je ne ferai pas une démonstration rigoureuse de cette construction, j’en laisse le loisir aux plus acharnés : l’idée est simplement de présenter les arguments clés de ce principe.

Les diagonales

Avant de commencer, observons les diagonales, déjà remplies par cette méthode. Celles-ci ont toute la même somme – et c’est heureux ! En effet, la diagonale qui part du haut à gauche pour aller en bas à droite comporte des nombres qui progressent de 1 en 1, avec le nombre 25 au milieu.

L’autre diagonale, elle, présente des nombres qui augmentent de 7 en 7, toujours avec 25 au milieu. On parle aussi de progression arithmétique, mais cela n’a que peu d’importance.

Ce qui est important en revanche, c’est que d’une part, cette configuration n’est possible que parce que nous remplissons une grille d’ordre impair – sinon, les deux diagonales du carré ne se croisent pas !.

Aussi, la somme sur ces deux diagonales vaut 7 x 25, soit 175. 25 est en effet la médiane de tous les nombres à inscrire dans le carré – le nombre du milieu, si vous préférez. Bref, tout commence pour le mieux.

Les diagonales somment toutes les deux à 175

Revoir le problème

Nous allons désormais réécrire tous les nombres disposés sur notre carré. Voici notre nouvelle écriture :

Décomposition des nombres de la grille

Vous remarquerez alors que sur les diagonales qui descendent vers bas à gauche – ou qui montent en haut à droite, c’est selon -, tous les premiers chiffres sont les mêmes. Pour les diagonales qui descendent en bas à droite, c’est le second qui est en commun.

Chaque case de notre grille peut donc se traduire par un couple de nombres, le premier étant choisi parmi 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, le seconde parmi 0, 7, 14, 21, 28, 35, 42. Nous appellerons ces deux nombres les identifiants du nombre de départ. Le nombre 41 à placer dans le carré est identifié parle couple (6,35).

L’idée est donc la suivante : compléter les cases vides du carré de sorte que, sur chaque ligne et chaque colonne, les cases aient toutes un premier et un second identifiant différent, à la manière du sudoku. Par exemple, on pourrait aligner (3,21) et (2,14). En revanche, impossible de placer (1,7) et (5,7) sur la même ligne ou colonne, puisque leur deuxième identifiant est le même.

Commençons par regarder le carré intérieur, celui que nous souhaitons compléter. Sur chaque ligne, aucune de ces cases ne portent ni le premier, ni le second identifiant en commun. Il n’y a donc pas de problème pour le moment.

Passons aux nombres au-dessus du carré, et regardons par exemple (1,7). Tous les nombres ayant le 1 comme premier identifiant se trouve sur la diagonale qui descend vers la gauche en partant de cette case, tandis que tous les nombres qui portent 7 comme deuxième identifiant sont sur la diagonale qui descend à droite. Or, ces deux diagonales ne peuvent pas descendre de plus de 6 cases ! En descendant (1,7) de 7 cases, on est donc certain qu’aucune case sur la nouvelle ligne ne portera un identifiant en commun.

La case rouge ne peut avoir aucun identifiant en commun avec les cases de sa ligne et de sa colonne.

Ce raisonnement vaut par ailleurs pour tous les nombres au-dessus et en-dessous du carré.

Reste à s’occuper des nombres à gauche et à droite maintenant. Le raisonnement est très similaire, à cela près que certaines cases ont déjà été déplacées et qu’il faut faire attention que cela ne génère pas de nouveau obstacles.

Voilà tous nos nombres placés ! Il ne reste plus qu’à vérifier.

Sur chaque ligne et chaque colonne, tous les premiers identifiants et tous les seconds identifiants sont différents. Or, il n’y a que 14 places possibles, pour autant d’identifiants existants, c’est donc qu’ils figurent tous sur cette ligne/colonne. Autrement dit, la somme sur chaque ligne ou colonne vaut la somme de tous les identifiants possibles, à savoir la valeur 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 0 + 7 + 14 + 21 + 28 + 35 + 42, soit 175

Et voilà le travail !

Pour compléter

  • Claude-Gaspard Bachet de Méziriac, Problèmes plaisants et délectables qui se font par les nombres, consultable à cette adresse.
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2 commentaires pour Le carré magique de Bachet

  1. Intéressant et toujours amusant !

    En voulant créer un petit programme qui produise des carrés magiques de n’importe quelle taille, j’étais tombé sur une multitude de méthode, mais pas celle-ci. C’est dommage, elle me semble relativement facile à implémenter dans un algorithme : https://lehollandaisvolant.net/tout/tools/magic/

    Les méthodes sont différentes pour les tailles impaires ou paires. Et elles sont même plus simples pour les carrés de dimension pairement pair (divisible par 4).

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    • Automaths dit :

      Elle ne doit pas être très difficile, mais la siamoise me semble encore plus simple à implémenter et à expliquer.

      A la limite, la méthode de Bachet est un peu plus simple à comprendre d’un coup d’oeil, et c’est sans doute là son intérêt !

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