Drapeau jaune : Cet article demande quelques connaissances mathématiques de base et un peu d’abstraction pour être entièrement saisi.

Les vacances ont débuté pour certains, arrivent bientôt pour d’autres. Peut-être prendrez-vous la route cet été, qui sait ?

Vous connaissez certainement ce slogan : celui qui conduit, c’est celui qui ne boit pas. Une statistique donne en effet le ton : l’alcool est en cause dans près de 30% des accidents mortels.

Seulement, dans ce cas, après un rapide calcul, on se rend compte que cela signifie que 70% des accidents sont causés par des personnes ayant bu de l’eau. C’est donc que l’eau est plus meurtrière que le vin !

Alors, vraiment dangereux l’alcool ? C’est l’heure de l’article de maths rabat-joie !

Différences de fréquence

Ce raisonnement est bien évidemment absurde ! Lorsqu’on lit la phrase  » l’alcool est en cause dans près de 30% des accidents mortels », il ne faut pas comprendre qu’on a 30% de risque d’avoir un accident mortel si l’on a consommé de l’alcool. On parle en fait d’un événement conditionnel : si l’on choisit uniformément au hasard un accident mortel – ce qui est quand même bien morbide, on ne va pas se le cacher -, la probabilité que l’alcool soit en cause dans celui-ci est d’environ 0.3, soit 30%.

Autrement dit, la probabilité que de l’alcool ait été consommé sachant qu’un accident a eu lieu est de 0.3, ce que l’on écrit de manière plus condensée P( Alcool | Accident ) = 0.3. Le | se lit alors « sachant ».

Rajoutons alors une information à notre énoncé : environ 2% des conducteurs prennent le volant alors qu’ils ont consommé de l’alcool, ce qui signifie qu’en prenant un conducteur au hasard, accident ou pas, on a une probabilité de 0.02 que celui-ci ait pris de l’alcool avant d’embarquer en voiture. On note alors P( Alcool ) = 0.02

D’entrée on remarque la différence des deux fréquences : quand l’on considère tous les conducteurs, on a 2% de personnes ayant consommé de l’alcool alors qu’en se restreignant à un plus petit groupe, on en trouve 30%. C’est donc que, vraisemblablement, il y a un lien entre ces deux groupes !

La formule de Bayes

Pour connaître « l’influence » de l’alcool sur la survenue d’accidents, il faudrait plutôt calculer la probabilité P( Accident | Alcool ). Et cette probabilité, c’est la formule de Bayes qui va nous la donner.

La Formule de Bayes

Pour plus d’informations et d’explications sur cette formule, n’hésitez pas à consulter ce billet très bien rédigé : http://dridk.me/le-theoreme-de-bayes.html

Dans notre cas, le « A » est l’accident, le « B » est la consommation d’alcool, et nous obtenons donc :

Nous n’avons pas accès à la probabilité d’avoir un accident en général. Toutefois, nous pouvons faire le même calcul pour les personnes ne consommant pas d’alcool :

La probabilité d’avoir un accident étant – hélas – non nulle, on peut alors diviser les membres de gauche et de droite de nos deux égalités.

Morale de l’histoire : en prenant de l’alcool, on a 21 fois plus de risques d’avoir un accident que lorsque l’on n’en prend pas.

Evidemment, tous ces calculs ont leur limite – on met dans le même sac les personnes ayant 0.5 g ou 5g d’alcool par litre de sang, on ne considère que des conducteurs seuls et on a une estimation pas forcément réaliste du nombre de personnes roulant malgré leur consommation d’alcool – mais ils permettent de mieux comprendre ces chiffres que l’on nous donne.

Allez, soyez prudents !